Wykład 21
Witold Obłoza
3 marca 2011
Wykład 21
Witold Obłoza
3 marca 2011
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane b
,
ed
,
a prosta i płaszczyzna równaniami
k :
x = a + ut
y = b + vt
z = c + wt
π : Ax + By + Cz + D = 0
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż
,
a w jednej płaszczyźnie i
pokrywaj
,
a si
,
e b
,
adź nie maj
,
a punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaj
,
a si
,
e wtw gdy maj
,
a dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane b
,
ed
,
a prosta i płaszczyzna równaniami
k :
x = a + ut
y = b + vt
z = c + wt
π : Ax + By + Cz + D = 0
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż
,
a w jednej płaszczyźnie i
pokrywaj
,
a si
,
e b
,
adź nie maj
,
a punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaj
,
a si
,
e wtw gdy maj
,
a dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane b
,
ed
,
a prosta i płaszczyzna równaniami
k :
x = a + ut
y = b + vt
z = c + wt
π : Ax + By + Cz + D = 0
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż
,
a w jednej płaszczyźnie i
pokrywaj
,
a si
,
e b
,
adź nie maj
,
a punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaj
,
a si
,
e wtw gdy maj
,
a dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane b
,
ed
,
a prosta i płaszczyzna równaniami
k :
x = a + ut
y = b + vt
z = c + wt
π : Ax + By + Cz + D = 0
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż
,
a w jednej płaszczyźnie i
pokrywaj
,
a si
,
e b
,
adź nie maj
,
a punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaj
,
a si
,
e wtw gdy maj
,
a dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTA I PŁASZCZYZNA
UWAGA 306
Dwie proste
k :
x = a
1
+ u
1
t
y = b
1
+ v
1
t
z = c
1
+ w
1
t
l :
x = a
2
+ u
2
t
y = b
2
+ v
2
t
z = c
2
+ w
2
t
s
,
a równoległe jeżeli wektory [u
1
, v
1
, w
1
] oraz [u
2
, v
2
, w
2
] s
,
a równoległe.
DEFINICJA 307
Mówimy, że dwie proste s
,
a skośne wtw gdy nie maj
,
a punktów wspólnych
i nie leż
,
a w jednej płaszczyźnie.
PROSTA I PŁASZCZYZNA
UWAGA 306
Dwie proste
k :
x = a
1
+ u
1
t
y = b
1
+ v
1
t
z = c
1
+ w
1
t
l :
x = a
2
+ u
2
t
y = b
2
+ v
2
t
z = c
2
+ w
2
t
s
,
a równoległe jeżeli wektory [u
1
, v
1
, w
1
] oraz [u
2
, v
2
, w
2
] s
,
a równoległe.
DEFINICJA 307
Mówimy, że dwie proste s
,
a skośne wtw gdy nie maj
,
a punktów wspólnych
i nie leż
,
a w jednej płaszczyźnie.
ODLEGŁOŚCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x
0
, y
0
, z
0
) od płaszczyzny
π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si
,
e wzorem
d(P, π) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) od prostej l przechodz
,
acej przez punkt P
i równoległej do wektora v wyraża si
,
e wzorem d(P, l) =
|v × P P
0
|
|v|
.
UWAGA 310
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i równoległa
do wektora n
l
. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj
,
acej prost
,
a l.
ODLEGŁOŚCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x
0
, y
0
, z
0
) od płaszczyzny
π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si
,
e wzorem
d(P, π) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) od prostej l przechodz
,
acej przez punkt P
i równoległej do wektora v wyraża si
,
e wzorem d(P, l) =
|v × P P
0
|
|v|
.
UWAGA 310
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i równoległa
do wektora n
l
. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj
,
acej prost
,
a l.
ODLEGŁOŚCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x
0
, y
0
, z
0
) od płaszczyzny
π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si
,
e wzorem
d(P, π) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) od prostej l przechodz
,
acej przez punkt P
i równoległej do wektora v wyraża si
,
e wzorem d(P, l) =
|v × P P
0
|
|v|
.
UWAGA 310
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i równoległa
do wektora n
l
. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj
,
acej prost
,
a l.
ODLEGŁOŚCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x
0
, y
0
, z
0
) od płaszczyzny
π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si
,
e wzorem
d(P, π) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) od prostej l przechodz
,
acej przez punkt P
i równoległej do wektora v wyraża si
,
e wzorem d(P, l) =
|v × P P
0
|
|v|
.
UWAGA 310
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i równoległa
do wektora n
l
. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj
,
acej prost
,
a l.
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 311
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora −
→
n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i
równoległa do wektora −
→
n
l
. Odległość prostych k i l wyraża si
,
e wzorem
d(k, l) =
[−
→
n
k
, −
→
n
l
,
−
−
→
KL]
|−
→
n
k
× −
→
n
l
|
.
TWIERDZENIE 312
Jeżeli dwie proste
k :
x = a
1
+ u
1
t
y = b
1
+ v
1
t
z = c
1
+ w
1
t
l :
x = a
2
+ u
2
t
y = b
2
+ v
2
t
z = c
2
+ w
2
t
przecinają się to kąt α między
nimi spełnia równanie cos α =
|[u
1
, v
1
, w
1
] ◦ [u
2
, v
2
, w
2
]|
|[u
1
, v
1
, w
1
]| · |[u
2
, v
2
, w
2
]|
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 311
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora −
→
n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i
równoległa do wektora −
→
n
l
. Odległość prostych k i l wyraża si
,
e wzorem
d(k, l) =
[−
→
n
k
, −
→
n
l
,
−
−
→
KL]
|−
→
n
k
× −
→
n
l
|
.
TWIERDZENIE 312
Jeżeli dwie proste
k :
x = a
1
+ u
1
t
y = b
1
+ v
1
t
z = c
1
+ w
1
t
l :
x = a
2
+ u
2
t
y = b
2
+ v
2
t
z = c
2
+ w
2
t
przecinają się to kąt α między
nimi spełnia równanie cos α =
|[u
1
, v
1
, w
1
] ◦ [u
2
, v
2
, w
2
]|
|[u
1
, v
1
, w
1
]| · |[u
2
, v
2
, w
2
]|
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 311
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora −
→
n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i
równoległa do wektora −
→
n
l
. Odległość prostych k i l wyraża si
,
e wzorem
d(k, l) =
[−
→
n
k
, −
→
n
l
,
−
−
→
KL]
|−
→
n
k
× −
→
n
l
|
.
TWIERDZENIE 312
Jeżeli dwie proste
k :
x = a
1
+ u
1
t
y = b
1
+ v
1
t
z = c
1
+ w
1
t
l :
x = a
2
+ u
2
t
y = b
2
+ v
2
t
z = c
2
+ w
2
t
przecinają się to kąt α między
nimi spełnia równanie cos α =
|[u
1
, v
1
, w
1
] ◦ [u
2
, v
2
, w
2
]|
|[u
1
, v
1
, w
1
]| · |[u
2
, v
2
, w
2
]|
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 313
Jeżeli prosta k :
x = a + ut
y = b + vt
z = c + wt
przebija płaszczyznę
π : Ax + By + Cz + D = 0
to kąt α między nimi spełnia równanie sin α =
|[u, v, w] ◦ [A, B, C]|
|[u, v, w| · |A, B, C]|
.
NORMA
DEFINICJA 314
Norm
,
a w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub
K = C nazywamy funkcj
,
e
k · k: V 3 v −→k v k∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) ∀v ∈ V k v k= 0 ⇒ v = 0,
2) ∀λ ∈ K ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k,
3) ∀v, w ∈ V k v + w k≤k v k + k w k .
NORMA
DEFINICJA 314
Norm
,
a w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub
K = C nazywamy funkcj
,
e
k · k: V 3 v −→k v k∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) ∀v ∈ V k v k= 0 ⇒ v = 0,
2) ∀λ ∈ K ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k,
3) ∀v, w ∈ V k v + w k≤k v k + k w k .
NORMA
DEFINICJA 314
Norm
,
a w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub
K = C nazywamy funkcj
,
e
k · k: V 3 v −→k v k∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) ∀v ∈ V k v k= 0 ⇒ v = 0,
2) ∀λ ∈ K ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k,
3) ∀v, w ∈ V k v + w k≤k v k + k w k .
NORMA
DEFINICJA 314
Norm
,
a w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub
K = C nazywamy funkcj
,
e
k · k: V 3 v −→k v k∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) ∀v ∈ V k v k= 0 ⇒ v = 0,
2) ∀λ ∈ K ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k,
3) ∀v, w ∈ V k v + w k≤k v k + k w k .
NORMA
DEFINICJA 314
Norm
,
a w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub
K = C nazywamy funkcj
,
e
k · k: V 3 v −→k v k∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) ∀v ∈ V k v k= 0 ⇒ v = 0,
2) ∀λ ∈ K ∀v ∈ V k λv k= |λ| k v k,
3) ∀v, w ∈ V k v + w k≤k v k + k w k .
NORMA
PRZYKŁAD 315
Niech v = (v
1
, v
2
, . . . v
n
) ∈ R
n
. Funkcje określone następującymi
wzorami s
,
a normami w R
n
k v k
√
·
=
s
n
P
k=1
v
2
k
,
k v k
P
=
n
P
k=1
|v
k
|,
k v k
max
=
max
k∈{1,2,...,n}
|v
k
|.
NORMA
PRZYKŁAD 315
Niech v = (v
1
, v
2
, . . . v
n
) ∈ R
n
. Funkcje określone następującymi
wzorami s
,
a normami w R
n
k v k
√
·
=
s
n
P
k=1
v
2
k
,
k v k
P
=
n
P
k=1
|v
k
|,
k v k
max
=
max
k∈{1,2,...,n}
|v
k
|.
NORMA
PRZYKŁAD 315
Niech v = (v
1
, v
2
, . . . v
n
) ∈ R
n
. Funkcje określone następującymi
wzorami s
,
a normami w R
n
k v k
√
·
=
s
n
P
k=1
v
2
k
,
k v k
P
=
n
P
k=1
|v
k
|,
k v k
max
=
max
k∈{1,2,...,n}
|v
k
|.
NORMA
PRZYKŁAD 315
Niech v = (v
1
, v
2
, . . . v
n
) ∈ R
n
. Funkcje określone następującymi
wzorami s
,
a normami w R
n
k v k
√
·
=
s
n
P
k=1
v
2
k
,
k v k
P
=
n
P
k=1
|v
k
|,
k v k
max
=
max
k∈{1,2,...,n}
|v
k
|.
METRYKA
DEFINICJA 316
Metryk
,
a w zbiorze X nazywamy funkcj
,
e
% : X × X 3 (x, y) −→ %(x, y) ∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) %(x, y) = 0 ⇔ x = y,
2) %(x, y) = %(y, x)
3) %(x, z) ≤ %(x, y) + %(y, z).
TWIERDZENIE 317
W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem
%(x, y) = kx − yk jest metryk
,
a.
METRYKA
DEFINICJA 316
Metryk
,
a w zbiorze X nazywamy funkcj
,
e
% : X × X 3 (x, y) −→ %(x, y) ∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) %(x, y) = 0 ⇔ x = y,
2) %(x, y) = %(y, x)
3) %(x, z) ≤ %(x, y) + %(y, z).
TWIERDZENIE 317
W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem
%(x, y) = kx − yk jest metryk
,
a.
METRYKA
DEFINICJA 316
Metryk
,
a w zbiorze X nazywamy funkcj
,
e
% : X × X 3 (x, y) −→ %(x, y) ∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) %(x, y) = 0 ⇔ x = y,
2) %(x, y) = %(y, x)
3) %(x, z) ≤ %(x, y) + %(y, z).
TWIERDZENIE 317
W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem
%(x, y) = kx − yk jest metryk
,
a.
METRYKA
DEFINICJA 316
Metryk
,
a w zbiorze X nazywamy funkcj
,
e
% : X × X 3 (x, y) −→ %(x, y) ∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) %(x, y) = 0 ⇔ x = y,
2) %(x, y) = %(y, x)
3) %(x, z) ≤ %(x, y) + %(y, z).
TWIERDZENIE 317
W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem
%(x, y) = kx − yk jest metryk
,
a.
METRYKA
DEFINICJA 316
Metryk
,
a w zbiorze X nazywamy funkcj
,
e
% : X × X 3 (x, y) −→ %(x, y) ∈ R spełniaj
,
ac
,
a warunki
1) %(x, y) = 0 ⇔ x = y,
2) %(x, y) = %(y, x)
3) %(x, z) ≤ %(x, y) + %(y, z).
TWIERDZENIE 317
W przestrzeni unormowanej funkcja % określona wzorem
%(x, y) = kx − yk jest metryk
,
a.
GRANICA
DEFINICJA 318
Niech b
,
edzie dany ci
,
ag {x
k
}
k∈N
w przestrzeni metrycznej X.
Mówimy, że a ∈ X jest granic
,
a ci
,
agu {x
k
)}
k∈N
w przestrzeni metrycznej
(X, %) przy k zmierzającym do nieskończoności wtedy i tylko wtedy gdy
lim
k→∞
%(x
k
, a) = 0.
Zapisujemy
lim
k−→∞
x
k
= a.
GRANICA
DEFINICJA 318
Niech b
,
edzie dany ci
,
ag {x
k
}
k∈N
w przestrzeni metrycznej X.
Mówimy, że a ∈ X jest granic
,
a ci
,
agu {x
k
)}
k∈N
w przestrzeni metrycznej
(X, %) przy k zmierzającym do nieskończoności wtedy i tylko wtedy gdy
lim
k→∞
%(x
k
, a) = 0.
Zapisujemy
lim
k−→∞
x
k
= a.
GRANICA
DEFINICJA 318
Niech b
,
edzie dany ci
,
ag {x
k
}
k∈N
w przestrzeni metrycznej X.
Mówimy, że a ∈ X jest granic
,
a ci
,
agu {x
k
)}
k∈N
w przestrzeni metrycznej
(X, %) przy k zmierzającym do nieskończoności wtedy i tylko wtedy gdy
lim
k→∞
%(x
k
, a) = 0.
Zapisujemy
lim
k−→∞
x
k
= a.
KULE
DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, %) kul
,
a otwart
,
a o środku a
i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) < r}.
Kul
,
a domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór
K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) ≤ r}.
DEFINICJA 320
W przestrzeni metrycznej (X, %)
punkt w nazywamy punktem wewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(w, r) ⊂ D,
punkt z nazywamy punktem zewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(z, r) ⊂ X \ D,
punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli
∀r > 0 : K(b, r) ∩ D 6= ∅ oraz K(b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.
KULE
DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, %) kul
,
a otwart
,
a o środku a
i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) < r}.
Kul
,
a domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór
K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) ≤ r}.
DEFINICJA 320
W przestrzeni metrycznej (X, %)
punkt w nazywamy punktem wewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(w, r) ⊂ D,
punkt z nazywamy punktem zewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(z, r) ⊂ X \ D,
punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli
∀r > 0 : K(b, r) ∩ D 6= ∅ oraz K(b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.
KULE
DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, %) kul
,
a otwart
,
a o środku a
i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) < r}.
Kul
,
a domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór
K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) ≤ r}.
DEFINICJA 320
W przestrzeni metrycznej (X, %)
punkt w nazywamy punktem wewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(w, r) ⊂ D,
punkt z nazywamy punktem zewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(z, r) ⊂ X \ D,
punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli
∀r > 0 : K(b, r) ∩ D 6= ∅ oraz K(b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.
KULE
DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, %) kul
,
a otwart
,
a o środku a
i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) < r}.
Kul
,
a domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór
K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) ≤ r}.
DEFINICJA 320
W przestrzeni metrycznej (X, %)
punkt w nazywamy punktem wewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(w, r) ⊂ D,
punkt z nazywamy punktem zewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(z, r) ⊂ X \ D,
punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli
∀r > 0 : K(b, r) ∩ D 6= ∅ oraz K(b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.
KULE
DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, %) kul
,
a otwart
,
a o środku a
i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) < r}.
Kul
,
a domkniętą o środku a i promieniu r ≥ 0 nazywamy zbiór
K(a, r) = {x ∈ X : %(x, a) ≤ r}.
DEFINICJA 320
W przestrzeni metrycznej (X, %)
punkt w nazywamy punktem wewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(w, r) ⊂ D,
punkt z nazywamy punktem zewn
,
etrznym zbioru D ⊂ X jeżeli
∃r > 0 : K(z, r) ⊂ X \ D,
punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ⊂ X jeżeli
∀r > 0 : K(b, r) ∩ D 6= ∅ oraz K(b, r) ∩ (X \ D) 6= ∅.
ZBIORY OTWARTE
DEFINICJA 321
Wn
,
etrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów
wewn
,
etrznych.
Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.
Zbiór F nazywamy zbiorem domkni
,
etym jeśli X \ F jest zbiorem
otwartym.
TWIERDZENIE 322
Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, %).
1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.
2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór U
a
jest zbiorem otwartym to
S
a∈A
U
a
= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ U
a
} jest zbiorem otwartym.
3) Jeżeli dla k ∈ Z
n
U
k
jest otwarty to
n
T
k=1
U
k
= {x ∈ X : ∀k ∈ Z
n
, x ∈ U
k
} jest otwarty.
ZBIORY OTWARTE
DEFINICJA 321
Wn
,
etrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów
wewn
,
etrznych.
Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.
Zbiór F nazywamy zbiorem domkni
,
etym jeśli X \ F jest zbiorem
otwartym.
TWIERDZENIE 322
Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, %).
1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.
2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór U
a
jest zbiorem otwartym to
S
a∈A
U
a
= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ U
a
} jest zbiorem otwartym.
3) Jeżeli dla k ∈ Z
n
U
k
jest otwarty to
n
T
k=1
U
k
= {x ∈ X : ∀k ∈ Z
n
, x ∈ U
k
} jest otwarty.
ZBIORY OTWARTE
DEFINICJA 321
Wn
,
etrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów
wewn
,
etrznych.
Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.
Zbiór F nazywamy zbiorem domkni
,
etym jeśli X \ F jest zbiorem
otwartym.
TWIERDZENIE 322
Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, %).
1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.
2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór U
a
jest zbiorem otwartym to
S
a∈A
U
a
= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ U
a
} jest zbiorem otwartym.
3) Jeżeli dla k ∈ Z
n
U
k
jest otwarty to
n
T
k=1
U
k
= {x ∈ X : ∀k ∈ Z
n
, x ∈ U
k
} jest otwarty.
ZBIORY OTWARTE
DEFINICJA 321
Wn
,
etrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów
wewn
,
etrznych.
Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.
Zbiór F nazywamy zbiorem domkni
,
etym jeśli X \ F jest zbiorem
otwartym.
TWIERDZENIE 322
Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, %).
1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.
2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór U
a
jest zbiorem otwartym to
S
a∈A
U
a
= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ U
a
} jest zbiorem otwartym.
3) Jeżeli dla k ∈ Z
n
U
k
jest otwarty to
n
T
k=1
U
k
= {x ∈ X : ∀k ∈ Z
n
, x ∈ U
k
} jest otwarty.
ZBIORY OTWARTE
DEFINICJA 321
Wn
,
etrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów
wewn
,
etrznych.
Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.
Zbiór F nazywamy zbiorem domkni
,
etym jeśli X \ F jest zbiorem
otwartym.
TWIERDZENIE 322
Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, %).
1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.
2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór U
a
jest zbiorem otwartym to
S
a∈A
U
a
= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ U
a
} jest zbiorem otwartym.
3) Jeżeli dla k ∈ Z
n
U
k
jest otwarty to
n
T
k=1
U
k
= {x ∈ X : ∀k ∈ Z
n
, x ∈ U
k
} jest otwarty.
ZBIORY OTWARTE
DEFINICJA 321
Wn
,
etrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów
wewn
,
etrznych.
Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.
Zbiór F nazywamy zbiorem domkni
,
etym jeśli X \ F jest zbiorem
otwartym.
TWIERDZENIE 322
Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, %).
1) X oraz ∅ są zbiorami otwartymi.
2) Jeżeli dla każdego a ∈ A zbiór U
a
jest zbiorem otwartym to
S
a∈A
U
a
= {x ∈ X : ∃a ∈ A, x ∈ U
a
} jest zbiorem otwartym.
3) Jeżeli dla k ∈ Z
n
U
k
jest otwarty to
n
T
k=1
U
k
= {x ∈ X : ∀k ∈ Z
n
, x ∈ U
k
} jest otwarty.
Zn={1,2,...,n}