Skalary i wektory
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Politechniki Rzeszowskiej
Skalary i wektory
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Politechniki Rzeszowskiej
Okre
ś
lenie skalara
Skalary: wielko
ś
ci fizyczne, które charakteryzowane s
ą
przy
pomocy jednej liczby. Skalarem jest np. temperatura T, masa m,
energia U i ci
ś
nienie p.
Wa
Ŝ
ny skalar: g
ę
sto
ść
cz
ą
stek
ρ
Obszar
Ω
V
o obj
ę
to
ś
ci V (te
Ŝ
skalar) i zawiera N
cz
ą
stek (nast
ę
pny skalar), cz
ą
stki te maj
ą
mas
ę
m (te
Ŝ
skalar).
Ω
Ω
Ω
Ω
V
G
ę
sto
ść
cz
ą
stek:
Ś
rednia obj
ę
to
ść
przypadaj
ą
ca na cz
ą
stk
ę
:
G
ę
sto
ść
masy:
N
V
ρ =
0
V
1
1
v
N
N / V
=
=
=
ρ
M
V
µ =
Wymiar fizyczny
ρ
:
[ ]
[ ]
[ ]
(
)
3
L
3
N
N
1
L
k
3
V
V
L
−
ρ =
=
=
=
= −
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
( )
( )
( )
(
)
0
0
0
v
v
v
3
0
L
M
T
V
V
v
V
L
k
3, k
0, k
0
N
N
=
=
=
=
=
=
=
Skalar ci
ś
nienie
Σ
S
F
Na element powierzchni
Σ
S
o polu S działa siła
prostopadła do tego elementu.
F
Ci
ś
nienie p wywierane na t
ę
powierzchni
ę
F
p
S
S
=
=
F
Jednostka ci
ś
nienia paskal (Pa):
2
N
1Pa
1
,
m
=
2
m
1N (niuton)
1kg
s
=
gdzie N jest niutonem – sił
ą
, która masie 1 kg nadaje
przy
ś
pieszenie 1 m/s
2
:
Wymiar fizyczny ci
ś
nienia:
[ ]
[ ]
[ ]
2
1
2
2
2
F
F
ML / T
M
p
L MT
S
S
L
LT
−
−
=
=
=
=
=
k
L
=-1, k
M
=1, k
T
=-2
Równo
ść
skalarów
1
V
1
1
1
1
1
V , N ,
N / V
Ω
ρ =
2
V
2
2
2
2
2
V , N ,
N / V
Ω
ρ =
3
3
1
2
m
m
−
−
ρ
= ρ
Dwa skalary
δ
i
η
s
ą
sobie równe wtedy i tylko wtedy gdy w
wybranym układzie jednostek
δ
=
η
.
Przykład
V
1
<V
2
N
1
<N
2
Wektory
Wektorami nazywamy wielko
ś
ci, które w wybranym układzie
jednostek charakteryzuje jedna liczba i kierunek w przestrzeni.
Mo
Ŝ
na rozpatrywa
ć
kierunki w przestrzeni trójwymiarowej (3D),
dwuwymiarowej (2D) (np. na płaszczy
ź
nie) i jednowymiarowej
(1D) (na osi).
Przestrzenie o wymiarze mniejszym ni
Ŝ
3 s
ą
obecnie istotne dla
fizyki i elektroniki, bo fizycy i elektronicy buduj
ą
kwantowe układy
2D i 1D. Tranzystory polowe s
ą
2D gazami elektronów.
Budowane s
ą
układy 0D (kropki kwantowe – sztuczne atomy).
Kosmologia i fizyka cz
ą
stek elementarnych potrzebuje
przestrzeni o liczbie wymiarów wi
ę
kszej od 3:
Kosmologia (3+1)D, Teoria strun 11D!
Wektor
Wektor – obiekt geometryczny, istotny w in
Ŝ
ynierii i fizyce maj
ą
cy moduł
(zwany te
Ŝ
długo
ś
ci
ą
), kierunek i zwrot okre
ś
laj
ą
cy orientacj
ę
wzdłu
Ŝ
danego
kierunku. Cz
ę
sto przedstawia si
ę
go graficznie jako odcinek o okre
ś
lonym
kierunku, lub jako strzałk
ę
, ł
ą
cz
ą
c
ą
pocz
ą
tek b
ą
d
ź
punkt zaczepienia oraz
koniec wektora. Dla danych punktów pocz
ą
tkowego A i ko
ń
cowego B wektor
oznacza si
ę
symbolem
AB
Przykład: wektor poło
Ŝ
enia cz
ą
stki
x
y
z
r
ˆr
ˆr
=
r
r
r
ˆ
ˆ
r,
;
1
r
r
r
r
=
=
=
=
= =
r
r
r
r
r
r
r
ˆr
r
1
Składowe wektora
x
y
z
r
⊥
r
Wektor ma trzy składowe: x,y,z
r
(
)
(
)
x
y
z
x, y, z
r , r , r
=
=
r
Niech wektory o długo
ś
ci jednostkowej okre
ś
laj
ą
kierunki osi układu współrz
ę
dnych. Wtedy
ˆ ˆ ˆ
, ,
x y z
ˆ
ˆ
ˆ
x
y
z .
=
+
+
r
x
y
z
⊥
r
jest rzutem wektora na
płaszczyzn
ę
xy
r
Inny sposób zadania wektora
w przestrzeni 3D
x
y
z
r
⊥
r
ϕ
θ
(
)
r, ,
=
θ ϕ
r
Poło
Ŝ
enie punktu o wektorze wodz
ą
cym jednoznacznie
okre
ś
la trójka liczb, np. x, y, z albo (r,
θ
,
ϕ
).
r
Długo
ść
wektora
3
2
2
2
2
x
y
z
1
A
A
A
A
A
α
α=
=
=
+
+
=
∑
A
A
x
A
y
A
z
A
⊥
A
x
y
z
Niech w wybranym układzie
współrz
ę
dnych wektor ma
składowe A
x
, A
y
, A
z
. Długo
ść
A
wektora jest równa:
A
A
Długo
ść
wektora nie zale
Ŝ
y od wyboru układu współrz
ę
dnych.
( )
3
2
/
1
A
A
.
α
α=
=
∑
Rzut wektora na o
ś
Wektor wyznacza kierunek osi
a
o
ś
ˆ
b
d
d
b
Rzut wektora na o
ś
ˆ
b
d
( )
b
d
d cos d, b
=
Rzut sumy wektorów
jest sum
ą
ich rzutów
n
1
2
n
i
i 1
=
= + + +
=
∑
R
F
F
F
F
…
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
n
1
2
n
i
i 1
n
s
s
s
s
1
2
n
i
i 1
ˆ
ˆ
ˆ
F
F
F
F .
=
=
⋅ =
+ + +
⋅ =
⋅ =
=
+
+
=
∑
∑
R s
F
F
F
s
F s
…
…
Wymiar wektora
[ ] [ ]
F
1
ˆ
ˆ
F
F
F
F .
=
=
=
=
F
F
F
Wymiar wektora jest wymiarem jego długo
ś
ci
Wymiar wektora jest wymiarem jego składowej
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
3
3
3
3
1
1
1
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
F
F
F
F
F
F .
α α
α α
α
α
α
α
α
α=
α=
α=
α=
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
F
r
r
r
Dodawa
ć
mo
Ŝ
na tylko wielko
ś
ci o jednakowym wymiarze
Równo
ść
dwóch wektorów
Dwa wektory s
ą
w wybranym układzie jednostek
równe wtedy i tylko wtedy gdy skierowane s
ą
w
tym samym kierunku i maj
ą
jednakow
ą
długo
ść
i
a b
=
a
b
(
)
ˆ
ˆ
,
a
b .
=
⇒
=
=
=
a
b
a
b a
b
Dwa wektory s
ą
w wybranym układzie jednostek
równe wtedy i tylko wtedy gdy ich składowe s
ą
równe
i
a b
=
a
b
x
x
y
y
z
z
a
b , a
b , a
b .
= ⇔
=
=
=
a
b
Wektory swobodne, ruchome
i zaczepione
Je
Ŝ
eli znaczenie ma tylko moduł i kierunek (ze zwrotem) wektora,
to punkt pocz
ą
tkowy (punkt zaczepienia) nie jest istotny. Wektor
taki nazywa si
ę
wtedy wektorem swobodnym.
Je
Ŝ
eli punkt pocz
ą
tkowy i punkt ko
ń
cowy wektora s
ą
ustalone to
mamy do czynienia z wektorem zaczepionym.
Pojemnik z gazem zamkni
ę
ty ruchomym
tłokiem. Na tłoku stawiamy odwa
Ŝ
nik
ˆmg
= −
F
z
Mno
Ŝ
enie wektora przez skalar
= µ
A
B
A
B
A
Wektory i s
ą
równoległe
B
x
y
z
ˆ
ˆ
ˆ
A
A
A
= µ
+ µ
+ µ
A
x
y
z
Ka
Ŝ
da składowa zostaje pomno
Ŝ
ona przez skalar.
Dodawanie i odejmowanie
wektorów – reguła równoległoboku
= +
A
B C
A
B
C
= −
D
B C
B
−
C
D
(
)
(
)
(
)
x
x
y
y
z
z
ˆ
ˆ
ˆ
B
C
B
C
B
C
=
+
+
+
+
+
A
x
y
z
(
)
(
)
(
)
x
x
y
y
z
z
ˆ
ˆ
ˆ
B
C
B
C
B
C
=
−
+
−
+
−
D
x
y
z
Porównanie sumy i ró
Ŝ
nicy
wektorów
Nowe oznaczenia
1
2
3
ˆ
ˆ
ˆ
,
,
≡
≡
≡
x
e y
e
z
e
Wtedy
3
1
F
α α
α=
=
∑
F
e
Przemienno
ść
dodawania wektorów
(
)
prawo przemiennosci
+ = +
A
B
B
A
(
)
(
)
3
3
3
3
1
1
1
1
A
B
A
B
B
A
α
α
α α
α
α
α
α
α
α
α=
α=
α=
α=
+ =
+
=
+
=
+
= +
∑
∑
∑
∑
A
B
e
e
e
e
B
A
Dowód:
(
)
m
n
m
n
+
=
+
A
A
A
u
u
u
u
1
2
u
i 1
i 1
m
m
m
m
m
=
=
=
=
+
+ +
∑
∑
A
A
A
A
A
…
(
)
(
) (
)
prawo lacznosci dodawania
+ + =
+
+ = +
+
=
+
+
A
B C
A
B
C
A
B C
A C
B
Rozkład dowolnego wektora na trzy
niekomplementarne wektory
m
n
p
=
+
+
d
a
b
c
, ,
a b c
Je
Ŝ
eli wektory nie le
Ŝą
w tej samej płaszczy
ź
nie
to dowolny wektor mo
Ŝ
na zapisa
ć
w postaci
kombinacji liniowej
d
Iloczyn skalarny wektorów
Dwóm wektorom , które tworz
ą
k
ą
t
α
przyporz
ą
dkowujemy skalar nazwany iloczynem
skalarnym
i
A B
⋅
A B
AB cos
.
⋅ ≡
=
α
A B
AB
Iloczyn skalarny mo
Ŝ
na tak
Ŝ
e zapisa
ć
przy pomocy
składowych wektorów
x
x
y
y
z
z
A B
A B
A B .
=
+
+
AB
Zmiana kolejno
ś
ci składników iloczynu wektorowego
nie zmienia iloczynu skalarnego.
Zwi
ą
zek pracy z iloczynem skalarnym
W – praca
( )
x
x
F
ˆ
W
x
F cos
x
F x
= ∆ =
∆ =
=
α ∆ = ∆
F x
Fx
x
∆
x
αααα
F
∆
x
F - długo
ść
wektora siły,
∆
x – długo
ść
wektora przesuni
ę
cia
[
] [ ][ ][
]
[W]
F x cos
F
x cos
= ∆
α =
∆
α
ˆ
x
∆ = ∆
x
x
K
ą
t pomi
ę
dzy dwoma wektorami
A
ϕ
B
( )
cos
cos
,
AB
ϕ =
=
AB
A B
arccos
AB
ϕ =
AB
arccos
ϕ
jest funkcj
ą
odwrotn
ą
do cosinusa
Iloczyn skalarny wektora i
wektorów osi współrz
ę
dnych
(
)
( )
( )
( )
x
y
z
x
y
z
x
1
0
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A
A
A
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
A
A
A
A ,
ˆ
ˆ
0,
0.
=
+
+
=
=
+
+
=
=
=
Ax
x
y
z x
xx
yx
zx
Ay
Az
Iloczyn wektorowy
Parze dwóch wektorów tworz
ą
cym k
ą
t
ϕ
przyporz
ą
dkowujemy wektor prostopadły
do płaszczyzny, na której le
Ŝą
te dwa wektory o
długo
ś
ci
i
A
B
×
A B
( )
ABsin
,
ABsin
.
× =
=
ϕ
A B
A B
Pole równoległoboku
( )
( )
/
b
b cos
/ 2
a, b
b sin
a, b
=
π −
=
∡
∡
Pole równoległoboku o bokach a i b równe jest polu
prostok
ą
ta o bokach a i b.
( )
/
b, b
∡
a
b
b
/
( )
a, b
∡
Pole prostok
ą
ta: S
p
=ab
/
Pole równoległoboku:
( )
/
r
S
ab
ab sin
a, b
=
=
∡
Zwi
ą
zek modułu iloczynu wektorowego
z polem równoległoboku
a
b
/
b
=
a
b
a
/
b
Pole S równoległoboku
rozpi
ę
tego na wektorach
i
a b
Pole S’ prostok
ą
ta rozpi
ę
tego
na wektorach
/
i
a b
( )
S
ab sin
,
=
a b
∡
Iloczyn dwóch takich samych
wektorów jest wektorem zerowym
2
A sin 0
0.
× =
=
A A
A
A
K
ą
t jaki tworz
ą
te dwa wektory jest
równy 0, sin0=0
0
× =
A A
Zwrot wektora iloczynu wektorowego
Nakładamy wektor na wektor
przez mniejszy k
ą
t. Kierunek ruchu
ko
ń
ca tak obracanej
ś
ruby
prawoskr
ę
tnej okre
ś
la zwrot
wektora iloczynu wektorowego.
A
B
A
B
×
A B
Iloczyn wektorowy zmienia zwrot po
zmianie kolejno
ś
ci wektorów
.
× = − ×
B A
A B
A
B
×
B A
Iloczyny wektorów okre
ś
laj
ą
cych
kierunki osi współrz
ę
dnych
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0,
0,
0,
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
,
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ.
× =
× =
× =
× = − × =
× = − × =
× = − × =
x x
y y
z z
x y
y x
z y z
z y
x
z x
x z
y
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
x
y
z
x
y
z
y
z
z
y
z
x
x
z
x
y
y
x
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A
A
A
B
B
B
ˆ
ˆ
ˆ
A B
A B
A B
A B
A B
A B
× =
+
+
×
+
+
=
=
−
+
−
+
−
A B
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
ˆ
ˆ
ˆ
A
A
A .
B
B
B
=
x
y
z
Symboliczny zapis
iloczynu wektorowego
x
y
z
x
y
z
ˆ
ˆ
ˆ
A
A
A
B
B
B
× =
x
y
z
A B
Jest to zapis mnemotechniczny, bo elementami
wyznacznika mog
ą
by
ć
tylko skalary!
wektory
Iloczyn dwóch takich samych
wektorów jest wektorem zerowym
Inny argument: przestawiamy wektory.
0
×
⇒
× = − ×
⇒
× =
A A
A A
A A
A A
Własno
ś
ci iloczynu wektorowego
( )
× + = × + ×
a
b
c
a b a c
( )
+ × = × + ×
b
c
a
b a c a
r
s
r
s
i
j
i
j
i 1
j 1
i 1 j 1
=
=
=
=
×
=
×
∑
∑
∑∑
a
b
a b
( )
m
b
mn
×
=
×
a n
a b
Trójce wektorów mo
Ŝ
na przypisa
ć
skalar i wektor
, ,
a b c
Iloczyn mieszany - skalar
( )
⋅ ×
a b c
Podwójny iloczyn wektorowy - wektor
( )
× ×
a
b c
Mieszany iloczyn wektorów
×
b c
×
b c
jest wektorem do płaszczyzny, w której le
Ŝą
wektory
. równe polu podstawy równoległoboku G
bc
.
⊥
i
b
c
Obj
ę
to
ść
graniastosłupa:
abc
bc
V
G h .
=
.a
G
bc
Pole podstawy graniastosłupa G
bc
:
( )
bc
G
=
×
b c
h jest wysoko
ś
ci
ą
graniastosłupa
o podstawach równoległych.
Zwi
ą
zek iloczynu mieszanego trzech
wektorów z obj
ę
to
ś
ci
ą
graniastosłupa
na nich rozpi
ę
tego
( )
abc
bc
V
G h
h .
=
=
×
b c
( )
abc
V
× ×
=
a
b c
( )
abc
V
× × = ±
a
b c
Własno
ś
ci iloczynu mieszanego
Iloczyn mieszany jest niezmienniczy wzgl
ę
dem cyklicznego
przestawiania składników
( )
(
)
( )
.
⋅ × = ⋅ × = ⋅ ×
b c a
c
b
c
a
a b
(
)
( )
( )
( )
1
2
1
2
.
+
⋅ × = ⋅ × + ⋅ ×
a
a
b c
a
b c
a
b c
( )
x
y z
x
z
y
y
z
x
y
x
z
z
x
y
z
y
x
x
y
z
x
y
z
x
y
z
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
a
a
a
b
b
b .
c
c
c
⋅ × =
−
+
−
+
−
=
=
a b c