Matematyka ekonomiczna
Lista 5
Zad. 1. Zinterpretować poniższe wzory:
t
p
x
=
l
x+t
l
x
(1)
t
q
x
=
l
x
− l
x+t
l
x
(2)
u|1
q
x
≡
u|
q
x
=
l
x+u
− l
x+u+1
l
x
=
d
x+u
l
x
(3)
u|t
q
x
=
l
x+u
− l
x+u+t
l
x
=
u
p
x
−
u+t
p
x
(4)
Zad. 2. Wykorzystując tablice trwania życia, obliczyć następujące prawdopodobieństwa:
• przeżycia kolejnego roku przez kobietę 70 letnią mieszkającą w mieście i na wsi,
• przeżycia mężczyzny w wieku 35 lat dalszych 40 lat (wieś),
• że kobieta w wieku 40 lat umrze przed osiągnięciem 75 lat (miasto),
• że mężczyzna 40 letni umrze miedzy 50 a 60 rokiem życia (miasto).
Zad. 3. Obliczyć wysokość jednorazowej składki netto dla osoby 50 letniej, w 15-letnim ubezpieczeniu na wypadek
śmierci (płatne natychmiast po śmierci), jeśli intensywność umieralności jest stała i wynosi 0.02, natomiast
stopa procentowa przy kapitalizacji δ = 0.05. Rozważyć osobno przypadek kobiety i mężczyzny.
Zad. 4. Wyznaczyć wysokość jednorazowej składki netto dla zadania 3, przyjmując ubezpieczenie na całe życie
– wypłata natychmiastowa w chwili śmierci ubezpieczonego, niezależnie od czasu, kiedy ta śmierć nastąpiła.
Zad. 5. Obliczyć wysokość jednorazowej składki netto w 4-letnim ubezpieczeniu na wypadek śmierci (płatne na
koniec roku, w którym nastąpiła śmierć) dla osoby 60 letniej, jeśli techniczna stopa procentowa wynosi 5%
a suma ubezpieczenia 10 tyś. zł. Rozważyć osobno przypadek kobiety i mężczyzny.
Zad. 6. O ile zmieni się składka wyznaczona w zadaniu 5, jeśli zmienimy rodzaj ubezpieczenia na: ubezpieczenie
na wypadek śmierci i dożycie.
Zad. 7. W celu zabezpieczenia 10-letniego kredytu zawarto 10-letnie ubezpieczenie na życie. Wyznaczyć wysokość
jednorazowej składki netto, jeśli:
(i) świadczenie płatne jest na moment śmierci,
(ii) suma ubezpieczenia maleje jednostajnie wraz z upływem czasu od 1000 do zera,
(iii) natężenie oprocentowania δ = 0.04,
(iv) natężenie zgonów jest stałe i opisane funkcją µ
x+t
= 1/50.
1