AM semestr II wykład 3 7.03.2012
10
S
ZEREGI
F
OURIERA
Zakładamy, że funkcja f jest całkowalna w przedziale
l
l,
, gdzie l jest pewną liczbą dodatnią.
D
EF
:
Szeregiem Fouriera funkcji f nazywamy szereg trygonometryczny
1
0
sin
cos
2
1
n
n
n
x
l
n
b
x
l
n
a
a
gdzie współczynniki
0
a ,
n
a ,
n
b dla
N
n
są określone wzorami
l
l
dx
x
f
l
a
)
(
1
0
l
l
n
xdx
l
n
x
f
l
a
cos
)
(
1
N
n
l
l
n
xdx
l
n
x
f
l
b
sin
)
(
1
N
n
.
Fakt, że szereg odpowiada funkcji f zapisujemy
1
0
sin
cos
2
1
~
)
(
n
n
n
x
l
n
b
x
l
n
a
a
x
f
.
Interesuje nas czy szereg odpowiadający danej funkcji f jest zbieżny, a jeżeli jest zbieżny to czy jego
suma jest równa funkcji f.
U
WAGI
Jeżeli funkcja f jest parzysta, to
l
dx
x
f
l
a
0
0
)
(
2
l
n
xdx
l
n
x
f
l
a
0
cos
)
(
2
N
n
.
0
n
b
N
n
.
Jeżeli funkcja f jest nieparzysta, to
0
0
a
0
n
a
N
n
l
n
xdx
l
n
x
f
l
b
0
sin
)
(
2
N
n
.
W celu skrócenia zapisu jednostronne granice funkcji w punkcie oznaczymy dalej symbolami
)
(
lim
)
(
x
f
c
f
c
x
,
)
(
lim
)
(
x
f
c
f
c
x
.
Załóżmy, że funkcja f jest ograniczona na przedziale
b
a,
.
Mówimy, że funkcja f jest przedziałami ciągła i monotoniczna na przedziale
b
a,
wtedy i tylko
wtedy, gdy albo funkcja f jest ciągła i monotoniczna wewnątrz przedziału
b
a,
, albo gdy można
podzielić przedział
b
a,
na skończoną liczbę podprzedziałów, wewnątrz których funkcja f jest ciągła
i monotoniczna.
