Politechnika Warszawska, IIM   w  Płocku – 

Laboratorium z  Podstaw  Elektrotechniki i Elektroniki 

 

 

 

1

BADANIE ODBIORNIKÓW   R, L, C W OBWODZIE 

PR DU SINUSOIDALNEGO  

 

Cel  wiczenia 

 

 

Celem  wiczenia jest poznanie metod technicznych wyznaczania podstawowych parametrów 

pojedynczych odbiorników o charakterze R, L, C i ich układów poł cze  przy zasilaniu napi ciem 

sinusoidalnie zmiennym.  

 

Program  wiczenia: 

 

♦  pomiary parametrów pojedynczych odbiorników o charakterze R, L, C, 

♦  pomiary parametrów układu szeregowo poł czonych odbiorników R, L, C,  

♦  pomiary parametrów układu równolegle poł czonych odbiorników R, L, C, 

 

1.  CHARAKTERYSTYKA IDEALNYCH ELEMENTÓW   R, L, C 

 

 

Odbiorniki  o  charakterze  R,  L,  C  (elementy  rzeczywiste),  mo na  przedstawi   za  pomoc  

schematów zast pczych, w których wyst puj  poł czenia elementów idealnych, tak np. odbiornik o 

charakterze L przy niezbyt du ych cz stotliwo ciach mo na przedstawi  jako szeregowe poł czenie 

idealnej indukcyjno ci L i idealnej rezystancji R (rezystancja cewki). 

 

Idealne  elementy  R,  L,  C  przyjmowane  w  analizie  obwodów  elektrycznych  s  

idealizowanymi  liniowymi  modelami  matematycznymi  fizycznych  elementów  obwodu.  Idealne 

elementy  R,  L,  C  s   w  tym  sensie,  e  ka dy  jest  całkowicie  wolny  od  wła ciwo ci  dwóch 

pozostałych  oraz  e  ich  zale no   mi dzy  napi ciem  na  ich  zaciskach,  a  pr dem  jest  liniowa. 

Oznacza  to,  e  zale no   u(i)  jest  opisana  przez  liniowe  równania  ró niczkowe  oraz  e 

współczynniki tych równa  s  stałe. R, L, C s  stałymi obwodu, a ich warto  jest niezale na od 

pulsacji oraz amplitudy pr du i napi cia.  

 

1.1.  Opornik idealny 

 

Je eli do zacisków o napi ciu u = U

m

sin(

ωt) zostanie wł czony opornik idealny (rys. 1), to 

zgodnie z prawem Ohma w obwodzie popłynie pr d: 

i

U

R

t

I

t

m

m

=

=

sin( )

sin( )

ω

ω

 

który ma t  sam  faz , co wywołuj ce go napi cie.  

Amplituda pr du wynosi: 

, 

za  warto  skuteczna: 

 

 

 

 

R

U

I

m

m

=

R

U

R

U

I

m

=

=

2

Politechnika Warszawska, IIM   w  Płocku – 

Laboratorium z  Podstaw  Elektrotechniki i Elektroniki 

 

 

 

2

 

Rys. 1. Opornik idealny w obwodzie pr du sinusoidalnego: 

a) schemat poł cze , b) wykres czasowy napi cia i pr du, c) wykres wskazowy 

 

 

Na  rys.  1b  i  1c  przedstawiono  przebieg  sinusoidalny  napi cia  i  pr du  oraz  ich  wykresy 

wskazowe. Wektory U i I maj  te same zwroty, iloczyn RI nazywa si  napi ciem czynnym. 

 

1.2.  Cewka idealna 

 

Je eli  do  zacisków  o  chwilowej  warto ci  napi cia  u  (rys.  2a)  zostanie  wł czona  idealna 

cewka,  to  popłynie  przez  ni   pr d,  którego  zmiana  w  czasie  spowoduje  indukowanie  si   na 

zaciskach cewki siły elektromotorycznej samoindukcji: 

e

L

di

dt

L

= −

 

Niech pr d płyn cy przez cewk  b dzie równy: 

i I

t

m

=

sin( )

ω

 

Poniewa  na zaciskach cewki u = -u

L

, to: 

u L

di

dt

LI

t

LI

t

U

t

m

m

m

=

=

=

+

=

+

ω

ω

ω

ω

ω

cos( )

sin(

)

sin(

)

Π

Π

2

2

 

Z porównania równa  wynika,  e napi cie u na zaciskach cewki wyprzedza w fazie przepływaj cy 

przez ni  pr d i o k t fazowy 

ϕ

= Π

2

  

Amplituda napi cia: 

U

m

 = 

ω

Li

m   

za  warto  skuteczna: 

U = 

ω

LI = X

L

I 

 

 

Równanie powy sze ma posta  podobn  do prawa Ohma dla pr du stałego (U = RI), dlatego 

przez analogi  X

L

 nazwano oporem indukcyjnym lub reaktancj  indukcyjn . 

X

L

 = 

ω

L = 2

Π

fL 

 

 

W  obwodzie  w  którym  znajduje  si   idealna  cewka,  wyst puje  przy  przepływie  pr du  tylko 

indukcyjny  spadek  napi cia  U  =  X

L

I,  natomiast  nie  wyst puje  strata  mocy,  poniewa   R  =  0,  za  

moc, jak wiadomo, wynosi RI

2

. Iloczyn X

L

I nazywa si  napi ciem indukcyjnym. 

 

Politechnika Warszawska, IIM   w  Płocku – 

Laboratorium z  Podstaw  Elektrotechniki i Elektroniki 

 

 

 

3

 

Rys. 2. Cewka idealna w obwodzie pr du sinusoidalnego: 

a) schemat poł cze , b) wykres czasowy napi cia i pr du, c) wykres wskazowy 

 

1.3.  Kondensator idealny 

 

Je eli kondensator przył czony b dzie do  ródła napi cia przemiennego, to jego elektrody 

b d   na  przemian  ładowane  i  rozładowywane,  wobec  czego  w  przewodach  popłynie  pr d 

przemienny (rys. 3a). 

Warto  chwilowa pr du ładowania kondensatora wynosi: 

i

dq

dt

=

 

Poniewa  Q = CU, wi c przyrostowi ładunku dq odpowiada przyrost napi cia du w czasie dt, czyli: 

dq = C du   

po podstawieniu otrzymujemy

: 

 

i C

du

dt

=

 

Je eli kondensator wł czony jest do napi cia  u = U

m

sin(

ωt), to warto  chwilowa pr du ładowania 

wyniesie: 

(

)

i C

du

dt

C

d

dt

U

t

C U

t

m

m

=

=

=

sin( )

cos( )

ω

ω

ω

 

lub: 

i CU

t

I

t

m

m

=

+

=

+

sin(

)

sin(

)

ω

ω

Π

Π

2

2

 

z równania tego wynika,  e pr d ładowania kondensatora wyprzedza napi cie o k t fazowy: 

ϕ

= Π

2

  

 

Politechnika Warszawska, IIM   w  Płocku – 

Laboratorium z  Podstaw  Elektrotechniki i Elektroniki 

 

 

 

4

 

Rys. 3. Kondensator idealny w obwodzie pr du sinusoidalnego: 

a) schemat poł cze , b) wykres czasowy napi cia i pr du, c) wykres wskazowy  

Amplituda pr du ładowania wynosi: 

I

CU

U

C

U

X

m

m

m

m

c

=

=

=

ω

ω

1

 

za  warto  skuteczna: 

I

U

C

U

X

c

=

=

1

ω

 

Równanie  powy sze  ma  posta   prawa  Ohma,  wi c  wielko   X

C

  nazywa  si   oporem  biernym 

pojemno ciowym lub reaktancj  pojemno ciow . 

X

C

fC

C

=

=

1

1

2

ω

Π

 

Iloczyn  X

C

I  nazywa  si   napi ciem  pojemno ciowym;  równa  si   on  napi ciu  przyło onemu  do 

zacisków kondensatora. 

 

2.  ELEMENTY RZECZYWISTE R, L, C 

 

2.1 . Odbiornik o charakterze R 

 

Przy  niezbyt  du ych  cz stotliwo ciach  odbiornik  taki  mo na  przedstawi   jako  szeregowe 

poł czenie idealnej rezystancji R i idealnej indukcyjno ci L (rys. 4a). 

 

Rys. 4. Odbiornik o charakterze R: 

a)  schemat zast pczy, b) wykres wskazowy pr du i napi  

Politechnika Warszawska, IIM   w  Płocku – 

Laboratorium z  Podstaw  Elektrotechniki i Elektroniki 

 

 

 

5

 

 

Przy szeregowym poł czeniu elementów R i L suma napi  chwilowych na tych elementach 

wynosi: 

u = u

R

 + u

L

 

K t przesuni cia fazowego pomi dzy napi ciem, a pr dem mo na najłatwiej wyznaczy  wykre lnie 

(rys. 4b), dodaj c geometrycznie wskazy U

R

 oraz U

L

. Budow  wykresu wskazowego rozpoczyna si  

od wskazu pr du I, który jako wskaz wyj ciowy odkłada si  zgodnie z dodatnim kierunkiem osi x. 

Wskaz napi cia U

R

 = RI jest w fazie z wskazem pr du I. Do wskazu U

R

 dodaje si  wskaz napi cia 

U

L

 = X

L

I, który wyprzedza w fazie wskaz  pr du o k t +

Π/2. 

 

2.2.  Odbiornik o charakterze L 

 

Przy  niezbyt  du ych  cz stotliwo ciach  odbiornik  taki  mo na  przedstawi   jako  szeregowe 

poł czenie  idealnej  indukcyjno ci  L  i  idealnej  rezystancji  R  analogicznie  jak  dla  odbiornika  o 

charakterze R, z t  ró nic ,  e X

L

 >> R. 

Wykres wskazowy dla tego przypadku przedstawiono na rys. 5. 

 

 

 

Rys. 5. Wykres wskazowy pr du i napi  

 dla odbiornika o charakterze L  

 

 

 

 

 

 

2.3.  Odbiornik o charakterze C, kondensator rzeczywisty 

 

 

Kondensator  rzeczywisty  przy  doprowadzeniu  do  niego  napi cia  sinusoidalnego  wydziela 

ciepło.  Jest  to  spowodowane  pr dem  upływowym  nagrzewaj cym  izolacj .  Ponadto  wyst puj  

straty  energii  na  rezystancji  słu cej  do  rozładowywania  kondensatora.  Przy  doprowadzeniu  do 

okładzin napi cia sinusoidalnie zmiennego wyró niamy dwa rodzaje pr du kondensatora: 

pr d pojemno ciowy, wyprzedzaj cy w fazie napi cie o k t prosty, 

pr d upływowy, b d cy w fazie z napi ciem. 

 

Odpowiednio  do  tych  dwóch  rodzajów  pr du  przyporz dkowujemy  kondensatorowi 

rzeczywistemu  schemat  zast pczy  równoległy  przedstawiony  na  rys.  6a,  zło ony  z  dwóch 

elementów idealnych R, C i znajduj cych si  pod tym samym napi ciem U. 

Na rys. 6b przedstawione s  wskazy pr dów: 

pr du upływowego, b d cego w fazie z napi ciem i maj cego charakter pr du czynnego 

I

U

R

cz

=  

pr du  pojemno ciowego,  wyprzedzaj cego  w  fazie  napi cie  o  k t  prosty  i  maj cego 

charakter pr du biernego. 

I

b

 = 

ωCU 

 

Politechnika Warszawska, IIM   w  Płocku – 

Laboratorium z  Podstaw  Elektrotechniki i Elektroniki 

 

 

 

6

 

Rys. 6. Układ zast pczy równoległy kondensatora rzeczywistego: 

a) schemat układu, b) wykres wskazowy 

 

 

Pr d  w  gał zi  głównej,  czyli  pr d  płyn cy  przez  kondensator  rzeczywisty,  jest  sum  

geometryczn  powy szych składowych. 
 

Układ  ten  ma  charakter  pojemno ciowy,  wobec  czego  k t  przesuni cia  fazowego 

ϕ  jest 

ujemny. Oznaczony przez 

δ k t dopełniaj cy warto  bezwzgl dn  |ϕ| do k ta prostego nazywamy 

k tem strat, a tg(

δ) - współczynnikiem strat. 

 

3.  Ł CZENIE ELEMENTÓW R, L, C 

 

3.1.  Szeregowe poł czenie elementów R, L, C 

 

Dla szeregowego poł czenia elementów R, L, C (rys. 7a) suma napi  chwilowych na tych 

elementach wynosi: 

u = u

R

 + u

L

 + u

C

 

Je eli pr d płyn cy przez obwód zmienia si  sinusoidalnie: 

i = I

m

sin(

ωt) 

To  napi cie  przyło one,  równe  sumie  trzech  sinusoidalnych  napi   składowych,  b dzie  równie  

funkcj  sinusoidaln , któr  mo na przedstawi  jako: 

u = U

m

sin(

ωt + ϕ) 

 

Warto  skuteczn  napi cia przyło onego U oraz k t przesuni cia fazowego 

ϕ pomi dzy napi ciem, 

a pr dem mo na wyznaczy  wykre lnie (rys. 7b) dodaj c geometryczne wskazy U

R

, U

L

, oraz U

C

. 

Rysunek  wykonano  dla  przypadku  X

L

>X

C

.  Dla  ka dego  elementu  przesuni cie  fazowe  pomi dzy 

pr dem i napi ciem jest takie same jak w przypadku rozpatrywania tego elementu jako jedynego w 

obwodzie. 

Napi cie wypadkowe oblicza si  z zale no ci geometrycznych (trójk t OAB, rys. 7b): 

U

U

U

U

R

L

C

=

+

−

2

2

(

)  

lub: 

U

RI

X

X

I

I R

X

X

L

C

L

C

=

+

−

=

+

−

2

2 2

2

2

(

)

(

)  

Wielko  

R

X

X

L

C

2

2

+

−

(

)  

oznacza  si   przez  Z  i  nazywa  si   impedancj   lub  oporem  pozornym  gał zi  szeregowej  R,  L,  C. 

Zastosowanie impedancji pozwala zapisa  prawo Ohma w postaci: 

U = ZI 

Politechnika Warszawska, IIM   w  Płocku – 

Laboratorium z  Podstaw  Elektrotechniki i Elektroniki 

 

 

 

7

Impedancj  zast pcz  mo na wyznaczy  równie  z trójk ta oporów (rys. 7c).  Rysunek wykonano 

dla przypadku X

L

>X

C

 

 

Rys. 7. Szeregowe poł czenie elementów R, L, C: 

a)  schemat poł cze , b) wykres wskazowy napi , c) trójk t oporów 

 

3.2.  Równoległe poł czenie elementów R, L, C 

 

Przy  równoległym  poł czeniu  elementów  R,  L,  C  (rys.  8a)  wyst puje  zagadnienie 

wyznaczania pr du w ka dym odbiorniku, a tak e wypadkowego pr du płyn cego z sieci. 

Warto  chwilowa pr du płyn cego z sieci jest według I prawa Kirchhoffa równa sumie warto ci 

chwilowych pr dów poszczególnych odbiorników: 

i = i

R

 + i

L

 + i

C

 

Je eli napi cie sieci zmienia si  sinusoidalnie: 

u = U

m

sin(

ωt + ϕ) 

to  pr d  płyn cy  z  sieci,  równy  sumie  trzech  sinusoidalnych  pr dów  składowych,  b dzie  równie  

funkcj  sinusoidaln , któr  mo na przedstawi  jako: 

i = I

m

sin(

ωt + ϕ) 

Warto   skuteczn   pr du  wypadkowego  I  najpro ciej  wyznacza  si   wykre lnie  (rys.  8b)  dodaj c 

geometrycznie wektory pr dów I

R

, I

L

, I

C

. Rysunek wykonano dla przypadku B

L

>B

C

. 

 

Rys. 8. Równoległe poł czenie elementów R, L, C: 

a)  schemat poł cze , b) wykres wskazowy pr dów, c) trójk t przewodno ci 

 

Politechnika Warszawska, IIM   w  Płocku – 

Laboratorium z  Podstaw  Elektrotechniki i Elektroniki 

 

 

 

8

4.  WYKONANIE  WICZENIA 
4.1.  Pomiary  i  obliczenia  rezystancji,  reaktancji,  mocy  czynnej,  mocy  biernej  i  pozornej 

oraz cosϕϕϕϕ dla pojedynczych odbiorników o charakterze R, L, C 

1.  Nastawi  pokr tło autotransformatora w lewym skrajnym poło eniu. 

2.  Ustawi  

woltomierze na zakres pomiarowy 300V, amperomierze na zakres 2A i watomierz 

na zakres pomiarowy 

200W. 

Uwaga!  Przy  odczycie  z  mierników  zwróci   uwag   na  ustawienia  zakresu  pomiarowego  i 

ewentualnie wskazania miernika odpowiednio pomno y  lub podzieli  np. dla amperomierza 

przy ustawieniu zakresu na 2A nale y wskazanie pomno y  przez 2. 

3.  W  celu wykonania pomiarów nale y do 

zacisków autotransformatora podł czy  układ w/g 

rys. 9. 

Zaciski watomierza oznaczone gwiazdk  podł czy  do wyj cia amperomierza. 

 

Rys. 9. Schemat ideowy układu do pomiaru parametrów odbiorników  R, L, C 

4. 

Po  zestawieniu  poł czenia  dla  odbiornika  R  wezwa   prowadz cego  celem  sprawdzenia 

poprawno ci wykonanych poł cze .  

5.  Po  weryfikacji  poł cze   zał czy   zasilanie  główne  stanowiska  i  przekr caj c  pokr tło 

autotransformatora  w  prawo  stopniowo  zwi ksza   napi cie  zasilania  do  warto ci 

220V, 

obserwowa   wskazania  przyrz dów  pomiarowych.  Skorygowa   ustawienia  zakresu 

pomiarowego przyrz dów, tak aby dokona  pomiarów dla mo liwie najdokładniejszego zakresu.  

6.  Wyniki pomiarów dla poszczególnych odbiorników nale y zestawi  w tabeli. 

Uwaga! Po wykonaniu pomiaru ustawi  pokr tło autotransformatora w lewe skrajne poło enie i 

wył czy  zasilanie stanowiska. Pomiary dla pozostałych odbiorników wykona  w/g punktu 4 i 5. 

 

Pomiary 

Obliczenia 

Odbior-

niki

 

U [V]  I [A]  P[W]  f[Hz]  R[

Ω]  L [H]  C [F]  S[VA]  Q[var]  cosϕ  ϕ 

R 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wzory do oblicze : 

 

 

Na 

podstawie 

oblicze  

wykona   

wykresy wskazowe pr dów i napi . 

 

.

cos

,

,

2

,

2

1

,

,

,

2

2

2

2

2

S

P

Z

R

P

S

Q

f

X

L

fX

C

R

Z

X

I

U

Z

I

P

R

C

C

=

=

−

=

Π

=

Π

=

−

=

=

=

ϕ

Politechnika Warszawska, IIM   w  Płocku – 

Laboratorium z  Podstaw  Elektrotechniki i Elektroniki 

 

 

 

9

 

 

4.2.  Pomiary  parametrów  obwodu  zło onego  z  szeregowo  poł czonych  odbiorników  o 

charakterze R, L, C 

1.   Analogicznie do pkt. 4.1 wykona  pomiary dla szeregowo poł czonych odbiorników RLC 

w/g rys. 10. 

2. 

Uwaga!    Po  ka dym  zestawieniu  poł cze   wezwa   prowadz cego  celem  sprawdzenia 

wykonanych poł cze .  

 

 

 

Rys. 10. Schemat ideowy układu do pomiaru parametrów obwodu zło onego z szeregowo 

poł czonych odbiorników o charakterze R, L, C 

 

Wyniki pomiarów nale y zestawi  w tabeli. 

 

Pomiary 

Obliczenia

 

Odbior-

niki

 

U

1

 

I 

P 

U

2

  U

3

  U

4

 

Z 

R 

X 

S 

Q  cos

ϕ  ϕ 

R+L 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R+C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R+L+C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Na  podstawie  wyników  pomiarów  wykona   wykresy  wskazowe  pr dów  i  napi   oraz  trójk ty 

oporno ci i mocy. Przy wykonywaniu wykresów nale y uwzgl dni  charakter odbiorników ustalony 

w p. 5.1. 

 

 

 

Politechnika Warszawska, IIM   w  Płocku – 

Laboratorium z  Podstaw  Elektrotechniki i Elektroniki 

 

 

 

10

 

4.3. Pomiary parametrów obwodu zło onego z równolegle poł czonych odbiorników R, L, C 

 

1. 

Analogicznie do pkt 4.1 i  4.2 wykona  pomiary dla równolegle poł czonych odbiorników. 

 

 

Rys. 11. Schemat ideowy układu do pomiaru parametrów obwodu zło onego z równolegle 

poł czonych odbiorników o charakterze R, L, C 

 

Wyniki pomiarów nale y  zestawi  w tabeli. 

 

Pomiary

 

Obliczenia

 

 

Odbiorniki

  U  I

1

 

p 

I

2

 

I

3

 

I

4

 

G 

Y 

B 

S 

Q  cos

ϕ  ϕ 

R||L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R||C 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R||C||L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wzory do oblicze : 

G

R

P

U

Y

I

U

B

Y

G

Q

S

P S U I

P

S

=

=

=

=

−

=

−

= ⋅

=

1

2

2

2

2

2

1

,

,

,

,

,cos

.

ϕ

 

2.  Na podstawie wyników pomiarów nale y wykona  wykresy wskazowe pr dów i napi  oraz 

trójk ty przewodno ci i mocy. Nale y uwzgl dni  charakter odbiorników ustalony w p. 4.1. 

3.  Na zako czenie rozł czy  zestawione poł czenia.