CAŁKA PODWÓJNA W PROSTOKĄCIE

Niech

 





d

y

c

b

x

a

y

x

P











,

:

,

R



P

f :

 f – funkcja ograniczona

a

b

P

c

d

 

P

2

 

P

3

 

P

1

 

P

k

 

P

n

y

x

Tworzymy następujący podział prostokąta P i oznaczamy 

n

 .

•

prostokąt P dzielimy na n prostokatów 

k

P  o polach 

n

k

k

,...,

1

,





•

w każdym z prostokatów 

k

P  wybieramy punkt 





k

k

k

k

P

y

x

A



,

•

następnie tworzymy sumę całkową





k

n

k

k

k

n

y

x

f

S











1

,

Wprowadzamy oznaczenia
d

k

 – długość przekątnej prostokąta P

k

k

 – średnica podziału 

n

 , gdzie 

k

  jest największą długością przekątnej;

       

k

n

k

n

d







1

max

:



Tworzymy ciąg podziałów 

 

N





n

n

 prostokąta P.

Definicja

Ciąg 

 

N





n

n

 nazywamy 

ciągiem normalnym podziałów

, jeśli odpowiadający mu ciąg średnic

dąży do 0, tzn.

0



 







n

n



Definicja 

(całki podwójnej)

Jeśli dla każdego ciągu normalnego podziałów prostokąta P ciąg sum całkowych 

 

N

n

n

S



 jest

zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów A

k

, to granicę tę

nazywamy 

całką podwójną 

funkcji 

 

y

x

f ,

 w prostokącie P i oznaczamy

 



P

d

y

x

f



,

Zatem

 

n

P

S

d

y

x

f

n

0

lim

:

,











.

1

Uwaga

Ograniczoność funkcji 

 

y

x

f ,

 jest warunkiem koniecznym istnienia całki, lecz nie jest to

warunek wystarczający.

Twierdzenie 

(

o całkowalności funkcji dwóch zmiennych

)

Z: 

)

,

( y

x

f

 – funkcja ograniczona w prostokącie P oraz ciągła poza zbiorem miary 0,

          tzn. poza zbiorem punktów, który można pokryć skończoną liczbą prostokątów 
          o dowolnie małej sumie pól (mniejszej niż ε).

T: f  jest całkowalna w prostokącie P.

Wniosek

Z twierdzenia wynika:



1  f  – ciągła w P z wyjątkiem punktów położonych na krzywej, będącej wykresem

     funkcji 

 











b

a

C

x

y

,

gdzie

),

(





      f – całkowalna w P
 

     Uzasadnienie: 
    zbiór 

 





 





b

a

x

x

x

,

:

,





 jest zbiorem miary 

    zero (można go pokryć skończoną liczbą 
    prostokątów o dowolnie małych polach)



2  f  – ciągła w P z wyjątkiem punktów położonych na krzywej, będącej wykresem

     funkcji 

 











d

c

C

y

x

,

gdzie

),

(





      f – całkowalna w P
 

c

d

x=ψ(y)

P

x

y

Wniosek 

Funkcja może nie być ciągła na brzegu prostokąta, a mimo to będzie całkowalna.

opracował Mateusz Targosz

2

a

b

y=φ(x)

P

x

y