Całka podwójna
Zad.1. Wyznaczyć
granice całkowania w całce
( )
∫∫
D
dxdy
y
x
f
,
, jeśli:
1. D jest trójkątem o wierzchołkach: A(1,3) , B(
−
1,
−
1), C(2,
−
4),
2. D jest ograniczony liniami: x
−
y
=
1, x
+
y
=
1, x
≥
0,
3. D jest ograniczony krzywymi:
2
x
y
=
,
2
4
x
y
−
=
,
4. D jest ograniczony krzywymi: xy
=
6, x
+
y
=
7,
5. D jest ograniczony krzywymi: :
2
2x
y
=
,
0
4
=
−
−
y
x
.
Zad.2. Obliczyć
następujące całki:
1.
∫∫
D
xydxdy
, gdzie D – obszar ograniczony liniami: x
=
0, x
=
1, y
=
0, y
=
2,
2.
(
)
∫∫
−
D
dxdy
y
x
xy
, gdzie D – obszar ograniczony liniami: x
=
0, x
=
a, y
=
0, y
=
b, a, b
>
0,
3.
(
)
∫∫
+
+
D
dxdy
y
x
1
3
2
, gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach: A(1,3), B(
−
1,1), C(2,
−
4),
4.
( )
∫∫
D
dxdy
xy
sin
, gdzie D – obszar ograniczony liniami: x
=
0, y
=
x, y
=π,
5.
∫∫
+
D
dxdy
y
x
x
2
2
, gdzie
D – obszar ograniczony liniami:
2
2
x
y
=
,
y
=
x.
Zad.3. Korzystając z twierdzenia o zamianie zmiennych w całce podwójnej obliczyć:
1.
∫∫
D
dxdy
y
x
2
3
, gdzie
D
= {
(
x, y):
4
2
2
≤
+
y
x
,
1
2
2
≥
+
y
x
,
y
≥
x
},
2.
∫∫
+
D
y
x
dxdy
e
2
2
, gdzie
D:
1
2
2
≤
+
y
x
,
x
≥
0,
y
≥
0,
3.
∫∫
+
D
dxdy
y
x
2
2
, gdzie
D – obszar ograniczony prostymi: y
=
x,
x
y
3
=
i okręgiem
1
2
2
=
+
y
x
,
4.
∫∫
−
−
D
dxdy
y
x
R
2
2
2
, gdzie D
= {
(x, y):
0
2
2
≤
−
+
Rx
y
x
, y
≤
0, R
>
0
},
5.
∫∫
+
D
dxdy
y
x
x
2
2
, gdzie
( )
{
}
0
,
0
2
:
,
2
2
≥
≤
−
+
=
x
y
y
x
y
x
D
.
Zad.4. Obliczyć
pola obszarów płaskich ograniczonych krzywymi:
1.
x
x
y
−
=
2
,
y
=
x, 2. xy
=
4,
x
+
y
=
5,
3.
x
e
y
=
,
x
e
y
2
=
,
x
=
1, 4.
3
x
y
=
,
1
2
+
+
−
=
x
x
y
,
5.
y
=
0,
y
=
x,
0
2
2
2
=
−
+
x
y
x
, 6.
0
2
2
2
=
−
+
y
y
x
,
0
4
2
2
=
−
+
y
y
x
.
Zad.8. Obliczyć
objętość
bryły ograniczonej powierzchniami:
1.
2
2
y
x
z
+
=
, x + y = 2, x = 0, y =0, z =0, 2. z = 3x,
4
2
2
=
+
y
x
, x
≥
0,
3.
z = 10 – x – y,
4
2
2
=
+
y
x
, x = 0, y = 0, z =0, 4.
2
2
4
y
x
z
−
−
=
, z = 0,
5.
4
2
2
2
=
+
+
z
y
x
,
3
=
z
,
(
3
≥
z
) ,
6.
4
2
2
=
+
y
x
,
2
2
16
4
y
x
z
−
−
=
,
z
=
0.
Zad.9. Obliczyć
pole płata wyciętego walcem:
1.
x
y
x
4
2
2
=
+
z paraboloidy
2
2
2
y
x
z
+
=
,
2.
16
2
2
=
+
y
x
z półsfery
2
2
25
y
x
z
−
−
=
.