Część 2

1. WZORY TRANSFORMACYJNE  METODY PRZEMIESZCZEŃ

1

1.



1. WZORY TRANSFORMACYJNE METODY PRZEMIESZCZEŃ

1.1. Wstęp

Podstawowym   narzędziem   służącym   do   rozwiązywania   zadań   metodą   przemieszczeń   są   wzory

transformacyjne.   Pozwalają   one   określić   wartości   sił   przywęzłowych   na   podstawie   parametrów
geometrycznych pręta (sztywność 

EJ, długość l) oraz przemieszczeń węzłów pręta (liniowych i obrotowych).

Jeden ze sposobów wyznaczenia wzorów transformacyjnych polega na określeniu reakcji w podporach

belki  jednoprzęsłowej.  Będą   one  zależały  od  typu   podpór.   Zadanie  sprowadza   się  do  rozwiązania   belek
statycznie  niewyznaczalnych (rys. 1.1) metodą  sił.  Zakładamy  wpływy  zewnętrzne  w  postaci  klasycznych
osiadań podpór (przemieszczenia liniowe prostopadłe do osi belki, przemieszczenia kątowe).

a)

c)

b)

l

EJ

EJ

EJ

EJ

EJ

l

l

Rys. 1.1. Schematy belek statycznie niewyznaczalnych

Przed przystąpieniem do obliczeń należy przyjąć umowę dotyczącą znaków poszczególnych wielkości.

Najwygodniejsza   dla   metody  przemieszczeń   będzie   taka,   która   uprości   obliczenia   i   wyeliminuje  w   jak
największym stopniu różnice znaków poszczególnych wyrazów w równaniach.

W związku z tym będziemy traktować jako dodatnie:

•

momenty  działające  przy  węzłach  prętów  zgodnie  z   ruchem  wskazówek  zegara   (układ  prawoskrętny)
(rys. 1.2),

•

siły poprzeczne obracające odciętą część pręta zgodnie z ruchem wskazówek zegara (rys. 1.2),

•

kąty obrotu przekrojów węzłowych 

φ zgodne z ruchem wskazówek zegara (rys. 1.3),

•

przemieszczenia 

Δ zgodne z kierunkiem i zwrotem przyjętego układu współrzędnych (rys. 1.3).

Wielkości   ujemne  będą   miały   zwroty   przeciwne   w   stosunku   do   wymienionych.   Ponadto   tak   jak

dotychczas wykresy momentów zginających będziemy odkładać po stronie włókien rozciąganych, czyli od
wypukłej strony osi odkształconej.

T>0

T<0

M>0

M>0

M>0

M<0

Rys. 1.2. Znakowanie momentów zginających i sił poprzecznych

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 2

1. WZORY TRANSFORMACYJNE  METODY PRZEMIESZCZEŃ

2

i

k

k

i

Δ

i

>0

Δ

k

>0

φ

i

>0

φ

k

>0

z

x

Rys. 1.3. Znakowanie kątów obrotu φ i przemieszczeń pionowych Δ węzłów podporowych

Procedurę wyprowadzania wzorów transformacyjnych omówimy analizując różne przypadki podparcia

pręta.

1.2. Belka utwierdzona

Rozpatrzmy belkę  obustronnie  utwierdzoną o długości  

l  i  sztywności  EJ  (rys.  1.4), której  podpory

doznają przemieszczeń 

φ

i

, 

φ

k

, 

Δ

i

, 

Δ

k

.

i

k

Δ

i

Δ

k

φ

i

φ

k

z

x

EJ

l

Rys. 1.4. Schemat belki obustronnie utwierdzonej poddanej przemieszczeniom podpór

Narysujmy   stan   po   przemieszczeniu   podpór  

i,  k  o   zadane   wartości   (rys.   1.5).   W   rozważaniach

przemieszczenia podpór będą dowolne, lecz z uwagi na czynione uproszczenia przyjmujemy, że ich wartości
są niewielkie (małe w stosunku do wymiarów pręta).

i

k

Δ

i

Δ

k

φ

i

φ

k

z,w

x

Ψ

ik

Rys. 1.5. Stan po przemieszczeniu belki

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 2

1. WZORY TRANSFORMACYJNE  METODY PRZEMIESZCZEŃ

3

Na rys. 1.5 symbol 

ψ

ik

 oznacza obrót cięciwy wynikający z pionowych przemieszczeń podpór 

Δ:

tg



ik

=



k

−

i

l

=



k

l

−



i

l

(1.1)

ponieważ dla małych kątów 

tg ψ

ik

 ≈ 

ψ

ik

 , to możemy zapisać:



ik

=



k

l

−



i

l

=



k

−

i

l

(1.2)

Aby   rozwiązać   zadanie   metodą   sił   trzeba   przyjąć   układ   podstawowy   oraz   odpowiadające   mu   warunki
przemieszczeniowe.

X

1

X

2

Δ

i

Δ

k

φ

i

φ

k

X

3

Rys. 1.6. Układ podstawowy



1 

=0 



2 

=0 



3 

=0

Ponieważ  pomijamy  w  obliczeniach wpływ  sił  normalnych  współczynniki  

δ

3i

  (siła  

X

3

  wywołuje  tylko  siłę

normalną) będą równe zero, a układ równań kanonicznych ograniczy się do dwóch równań:



11

⋅X

1



12

⋅X

2



1



=0



21

⋅X

1



22

⋅X

2



2



=0

(1.3)

W celu obliczenia przemieszczeń z układu (1.3) narysujemy wykresy momentów w stanach 

X

1

 = 1 i X

2

 = 1.

X

1

=1

H = 0

l

R

k

(1)

=

R

i

(1)

=

1

M

1

[-]

X

2

=1

H = 0

l

R

k

(2)

=

R

i

(2)

=

1

M

2

[-]

i

k

i

k

1

l

1

l

1

l

1

l

Rys. 1.7. Reakcje i momenty zginające w stanach X

1

 = 1 i X

2

 = 1

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 2

1. WZORY TRANSFORMACYJNE  METODY PRZEMIESZCZEŃ

4

Obliczamy współczynniki macierzy podatności metodą Wiereszczagina-Mohra:



11

=

1

EJ

⋅



1
2

⋅1 ⋅l⋅

2
3

⋅1 



=

l

3 EJ



22

=

1

EJ

⋅



1
2

⋅1 ⋅l⋅

2
3

⋅1 



=

l

3 EJ



12

=

21

=

1

EJ

⋅



1
2

⋅1 ⋅l⋅

1
3

⋅1 



=−

l

6 EJ

A wyrazy wolne 

Δ

iΔ

 według wzoru:



i



=−

i

−

∑

j

R

j

i 

⋅

j

(1.4)

gdzie:



i

- rzeczywiste, narzucone przemieszczenie zgodne z kierunkiem niewiadomej 

X

i

,

R

j

i 

- reakcja w podporze j, w stanie 

X

i 

= 1,



j

- przemieszczenie narzucone po kierunki reakcji 

R

j

i 

.



1



=−

i

−

1

l

⋅

i



1

l

⋅

k

=−

i



ik



2



=−

k

−

1

l

⋅

i



1

l

⋅

k

=−

k



ik

Po podstawieniu otrzymanych wartości równanie kanoniczne (1.3) uzyskuje postać

l

3 EJ

⋅X

1

−

l

6 EJ

⋅X

2



ik

−

i

=0

−

l

6 EJ

⋅X

1



l

3 EJ

⋅X

2



ik

−

k

=0

(1.5)

Rozwiązanie układu (1.5) prowadzi do wartości sił nadliczbowych:

X

1

=

2 EJ

l

⋅2

i



k

−3

ik



(1.6)

X

2

=

2 EJ

l

⋅

i

2 

k

−3

ik



(1.7)

W   przyjętym   układzie   podstawowym   siły   nadliczbowe  

X

i

  oznaczają   reakcje   podporowe,   a   zarazem

równoważne im wewnętrzne siły przypodporowe (rys. 1.8). Można zapisać:

X

1

=M

ik

X

2

=M

ki

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 2

1. WZORY TRANSFORMACYJNE  METODY PRZEMIESZCZEŃ

5

gdzie:

M

ik

 to przęsłowy, przywęzłowy moment zginający w przekroju 

i,

M

ki

 to przęsłowy, przywęzłowy moment zginający w przekroju 

k.

i

k

M

ik

M

ki

M

k

M

i

Rys. 1.8. Momenty podporowe i przywęzłowe momenty zginające

Obliczmy jeszcze reakcje 

R

i

 i R

k

.

∑

M

i

=0

⇔

2 EJ

l

⋅2

i



k

−3

ik



2 EJ

l

⋅

i

2 

k

−3

ik

R

k

⋅l=0

(1.8)

R

k

=−

6 EJ

l

2

⋅

i



k

−2

ik



(1.9)

R

i

=−

6 EJ

l

2

⋅

i



k

−2

ik



(1.10)

Ponieważ reakcje węzłowe są równoważne wewnętrznym siłom przywęzłowym (rys. 1.9)

R

k

=T

ki

R

i

=T

ik

to siła tnąca wynosi:

T

ik

=T

ki

=−

6 EJ

l

2

⋅

i



k

−2

ik



(1.11)

gdzie:

T

ik

, T

ki

 oznaczają przęsłowe, przywęzłowe siły poprzeczne.

i

k

T

ik

T

ki

R

k

R

i

Rys. 1.9. Reakcje podporowe i przywęzłowe siły poprzeczne

Gdy znamy już wartości wszystkich sił, to możemy narysować wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych.

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 2

1. WZORY TRANSFORMACYJNE  METODY PRZEMIESZCZEŃ

6

X

1

=       (2φ

i

+φ

k

-3Ψ

ik

)

l

R

k

R

i

M[kNm]

i

k

X

2

=       (φ

i

+2φ

k

-3Ψ

ik

)

M

ik

M

k i

T[kN]

T

ik

=T

ki

=-        (φ

i

+φ

k

-2Ψ

ik

)

-

2EJ
  l

2EJ
  l

6EJ
  l

2

Rys. 1.10. Wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych dla belki obustronnie utwierdzonej, obciążonej

przemieszczeniami φ

i

, φ

k

, Δ

i

, Δ

k

Ostatecznie   dla   belki   obustronnie   utwierdzonej   (rys. 1.4)   otrzymaliśmy   komplet   wzorów

transformacyjnych:

M

ik

=

2 EJ

l

⋅2

i



k

−3

ik



M

ki

=

2 EJ

l

⋅

i

2 

k

−3

ik



(1.12)

T

ik

=−

6 EJ

l

2

⋅

i



k

−2

ik



T

ki

=−

6 EJ

l

2

⋅

i



k

−2

ik



(1.13)

Należy   przypomnieć,   że   wzory   transformacyjne   metody   przemieszczeń   zależą   od   warunków

brzegowych  belki   i   przedstawiają   relacje   między   przęsłowymi,   przywęzłowymi  siłami   wewnętrznymi,   a
uogólnionymi przemieszczeniami jej podpór.

1.3. Równanie osi odkształconej

Napiszemy   równanie   osi   odkształconego,   obustronnie   utwierdzonego   pręta   (rys.   1.5)   poddanego

wpływom osiadań podpór 

φ

i

, 

φ

k

, 

Δ

i

, 

Δ

k 

 (nie obciążonego siłami zewnętrznymi).

Aby rozwiązać to zadanie korzystamy z równania różniczkowego linii ugięcia.

[ EJ w' '  x]' '=q x

Ponieważ nie ma obciążeń zewnętrznych 

q x=0

 otrzymujemy równanie jednorodne

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 2

1. WZORY TRANSFORMACYJNE  METODY PRZEMIESZCZEŃ

7

[ EJ w' '  x]' '=0

które następnie całkujemy

[ EJ w' '  x]'=c

EJ w' '

 x=cxd

EJ w '

 x=c⋅

x

2

2

dxe

(1.14)

Ostatecznie funkcja osi odkształconej jest wielomianem trzeciego stopnia

EJ w

x=c⋅

x

3

6

d⋅

x

2

2

ex f

(1.15)

Stałe całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych, które dla belki przedstawionej na rys. 1.4 wyrazimy
przez wielkości kinematyczne (przemieszczenia):

{

w

x=0=

i

w '

x=0=

i

w

x=l =

k

w '

x=l =

k

(1.16)

Po podstawieniu warunków brzegowych (1.16) do równań (1.14) i (1.15) uzyskujemy układ równań:

{

EJ



i

= f

EJ



i

=e

EJ



k

=

cl

3

6



dl

2

2

el f

EJ



k

=

cl

2

2

dle

Podstawienie dwóch pierwszych związków do dwóch ostatnich równań

{

EJ



k

=

cl

3

6



dl

2

2

EJ 

i

⋅lEJ 

i

EJ



k

=

cl

2

2

d⋅lEJ 

i

po przekształceniach

d

⋅l=EJ 

k

−

cl

2

2

−EJ 

i

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 2

1. WZORY TRANSFORMACYJNE  METODY PRZEMIESZCZEŃ

8

d

=

EJ

l



k

−

cl

2

−

EJ

l



i

EJ



k

=

cl

3

6





EJ

l



k

−

cl

2

−

EJ

l



i



⋅

l

2

2

EJ 

i

⋅lEJ 

i

cl

3

6

−

cl

3

4

=EJ 

k

−EJ 

i

−EJ 

i

⋅l−

EJ

2



k

⋅l

EJ

2



i

⋅l

prowadzi do wartości stałych 

c i d:

c

=

6 EJ

l

2

⋅

i



k



12 EJ

l

3

⋅

i

−

k



d

=

EJ

l



k

−

EJ

l



i

−

l

2

⋅

[

6 EJ

l

2

⋅

i



k



12 EJ

l

3

⋅

i

−

k



]

d

=−

2 EJ

l



k

−

4 EJ

l



i

−

6 EJ

l

2

⋅

i

−

k



Równanie   osi   odkształconej   pręta   obustronnie   utwierdzonego   poddanego   przemieszczeniu   węzłów
podporowych wyraża się funkcją:

EJ w

 x=

[

6 EJ

l

2

⋅

i



k



12 EJ

l

3

⋅

i

−

k



]

⋅

x

3

6



[

−

2 EJ

l



k

2

i

−

6 EJ

l

2

⋅

i

−

k



]

⋅

x

2

2

EJ 

i

x

EJ 

i

w

 x=

[



i



k



2

l

⋅

i

−

k



]

⋅

x

3

l

2



[

−

k

2

i

−

3

l

⋅

i

−

k



]

⋅

x

2

l



i

⋅x

i

1.4. Belka utwierdzona jednostronnie

Rozpatrzmy belkę utwierdzoną z jednej strony (rys. 1.11), której podpory ulegają przemieszczeniom 

φ

i

,

Δ

i

, 

Δ

k

.   Poniższy  przykład   rozwiążemy  dwoma   metodami:  metodą   sił   (analogicznie  do  punktu   1.2)   oraz

korzystając z gotowych wyników otrzymanych w punkcie 1.2 (przyjmując odpowiednie warunki brzegowe).

Δ

i

Δ

k

φ

i

i

k

l

Rys. 1.11. Schemat belki jednostronnie utwierdzonej

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 2

1. WZORY TRANSFORMACYJNE  METODY PRZEMIESZCZEŃ

9

Metoda I – metoda sił

Zgodnie z zasadami metody sił przyjmujemy układ podstawowy 

Δ

i

Δ

k

φ

i

i

k

l

X

1

Rys. 1.12. Układ podstawowy

w którym przemieszczenie po kierunku zwolnionego więzu musi być równe zero (

δ

1

 = 0). Wynikające z tego

warunku równanie kanonicznych będzie miało następującą postać:



11

⋅X

1



1



=0

(1.17)

Aby obliczyć współczynniki równania narysujemy wykresy momentów w stanie 

X

1

 = 1 (analogicznie jak na

rys. 1.7).

i

k

l

X

1

=1

H = 0

1

M

1

[-]

1

l

1

l

Rys. 1.13. Reakcje i momenty zginające w stanie X

1

 = 1 

i wyznaczamy wartości przemieszczeń:



11

=

1

EJ

⋅



1
2

⋅1 ⋅l⋅

2
3

⋅1 



=

l

3 EJ



1



=−

i

−

1

l

⋅

i



1

l

⋅

k

=−

i



ik

Po podstawieniu otrzymanych wyników do równania kanonicznego (1.17) 

l

3 EJ

⋅X

1



ik

−

i

=0

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 2

1. WZORY TRANSFORMACYJNE  METODY PRZEMIESZCZEŃ

10

uzyskujemy wartość nadliczbowej siły

X

1

=

3 EJ

l

⋅

i

−

ik



(1.18)

Niewiadoma 

X

1

 jest reakcją podporową, której wartość odpowiada wewnętrznej sile przywęzłowej

X

1

=M

ik

M

ik

  to   przęsłowy,   przywęzłowy  moment   zginający   w   przekroju  

i.  Natomiast   przęsłowy,   przywęzłowy

moment zginający w przekroju 

k jest równy zero (przegub).

M

ki

=0

Obliczmy wartości reakcji 

R

i

 i R

k

.

∑

M

k

=0

⇔

3 EJ

l

⋅

i

−

ik

R

i

⋅l=0

R

i

=−

3 EJ

l

2

⋅

i

−

ik



(1.19)

R

k

=−

3 EJ

l

2

⋅

i

−

ik



(1.20)

które pokrywają się z wartościami sił tnących (przęsłowych, przywęzłowych)

T

ik

=T

ki

=−

3 EJ

l

2

⋅

i

−

ik



(1.21)

Znając wartość nadliczbowej 

X

1 

 możemy narysować wykres rzeczywistych sił wewnętrznych.

i

k

l

H=0

R

i

M

ik

X

1

=       (φ

ik

-Ψ

ik

)

M[kNm]

T[kN]

T

ik

=T

ki

=-       (φ

i

-Ψ

ik

)

R

K

-

3EJ
  l

3EJ
  l

2

Rys. 1.14. Wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych dla belki utwierdzonej z jednej strony,

obciążonej przemieszczeniami φ

i

, Δ

i

, Δ

k

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 2

1. WZORY TRANSFORMACYJNE  METODY PRZEMIESZCZEŃ

11

Metoda II

W tej metodzie wzory (1.12), (1.13) potraktujemy jako uniwersalne i po podstawieniu odpowiednich

warunków brzegowych wyprowadzimy wzory transformacyjne dla rozpatrywanego przypadku.

Wiemy, że dla belki (rys. 1.11) utwierdzonej z lewej strony i podpartej prętem ze strony prawej moment

przęsłowy, przywęzłowy 

M

ki

 = 0, a zatem na podstawie równania (1.12) możemy zapisać:

M

ki

=

2 EJ

l

⋅

i

2 

k

−3

ik

=0

(1.22)

Z równania tego wyznaczamy funkcję kąta obrotu 

φ

k

 



i

2 

k

−3

ik

=0



k

=

3



ik

−

i

2

(1.23)

Po podstawieniu funkcji  

φ

k

  do równań (1.12), (1.13) otrzymujemy komplet wzorów transformacyjnych dla

belki jednostronnie utwierdzonej (utwierdzenie z lewej strony):

M

ik

=

2 EJ

l

⋅



2



i



3



ik

−

i

2

−3

ik



=

3 EJ

l

⋅

i

−

ik



(1.24)

M

ki

=0

(1.25)

T

ki

=T

ik

=−

6 EJ

l

2

⋅





i



3



ik

−

i

2

−2

ik



=−

3 EJ

l

2

⋅

i

−

ik



(1.26)

Dla belki o podobnych podporach (rys.1.15) jednak ułożonych przeciwnie, czyli będącej lustrzanym

odbiciem układu z  rys. 1.11 można zapisać gotowe wzory transformacyjne.

Δ

i

Δ

k

φ

k

i

k

l

Rys. 1.15. Schemat belki utwierdzonej z prawej strony

M

ik

=0

(1.27)

M

ki

=

3 EJ

l

⋅

k

−

ik



(1.28)

T

ki

=T

ik

=−

3 EJ

l

2

⋅





k

−

ik



(1.29)

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 2

1. WZORY TRANSFORMACYJNE  METODY PRZEMIESZCZEŃ

12

1.5. Belka obustronnie utwierdzona z przesuwem

Rozpatrzmy belkę o schemacie przedstawionym na rys. 1.16, której podpory doznają przemieszczeń 

φ

i

,

φ

k

. Przemieszczenie pionowe podpory 

i o Δ

i

 spowoduje ruch całej belki i nie wywoła sił wewnętrznych, dlatego

ten wpływ pomijamy. Poniższy przykład taj jak poprzednio rozwiążemy dwoma metodami.

i

k

φ

i

φ

k

l

Rys. 1.16. Schemat belki utwierdzonej z przesuwem

Metoda I – metoda sił

Przyjmujemy układ podstawowy.

i

k

φ

i

φ

k

l

X

1

X

2

Rys. 1.17. Układ podstawowy

i zapisujemy równanie kanoniczne (nie uwzględniamy sił normalnych):



1 

=

11

⋅X

1



1



=0

(1.30)

Aby obliczyć współczynniki równania rysujemy wykres momentów w stanie 

X

1

 = 1.

i

k

l

X

1

=1

M

i

=1

H = 0

R

i

=0

M

1

[-]

1

Rys. 1.18. Reakcje i momenty zginające w stanie X

1

 = 1 

Obliczamy współczynniki równania kanonicznego.

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 2

1. WZORY TRANSFORMACYJNE  METODY PRZEMIESZCZEŃ

13



11

=

1

EJ

⋅



1 

⋅l⋅1



=

l

EJ



1



=−

k



i

Po podstawieniu otrzymanych wyników do równania (1.30) 

l

EJ

⋅X

1



i

−

k

=0

(1.31)

Otrzymujemy wartości nadliczbowej siły:

X

1

=

EJ

l

⋅−

i



k



(1.32)

Reakcja w podporze odpowiada momentowi zginającemu w przekroju podporowym:

M

ki

= X

1

=

EJ

l

⋅−

i



k



M

ki

  to   przęsłowy,  przywęzłowy  moment  zginający   w   przekroju  

k.  Natomiast  przęsłowy,   przywęzłowy

moment zginający w przekroju

 i wynosi.

M

ik

=−X

i

=

EJ

l

⋅

i

−

k



Siła tnąca przy braku obciążeń zewnętrznych jest równa reakcji

T

ik

=T

ki

=R

i

=0

(1.33)

Na koniec rysujemy wykresy  rzeczywistych sił wewnętrznych.

i

k

l

M[kNm]

X

1

=     (-φ

i

+φ

k

)

M

i

=     (-φ

i

+φ

k

)

T[kN]

0

EJ
 l

EJ
 l

M

k i

=     (-φ

i

+φ

k

)

EJ
 l

M

i k

=     (φ

i

-φ

k

)

EJ
 l

Rys. 1.19. Wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych dla belki obustronnie utwierdzonej,

obciążonej przemieszczeniami φ

i

, φ

k

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 2

1. WZORY TRANSFORMACYJNE  METODY PRZEMIESZCZEŃ

14

Metoda II

Wykorzystujemy  wzory (1.12),  (1.13)  (traktujemy je  jako  uniwersalne) i podstawiamy  odpowiednie

warunki brzegowe. W ten sposób otrzymujemy wzory transformacyjne dla rozpatrywanego przypadku.

Wiemy,   że   dla   belki  przedstawionej  na   rys.   1.16   siły   tnące  

T

ki 

= T

ik 

= 0,   a   zatem  na   podstawie

równania (1.13) możemy zapisać:

T

ik

=−

6 EJ

l

2

⋅

i



k

−2

ik

=0

(1.34)

Z równania (1.34) wyliczamy 

ψ

ik

 



i



k

−2

ik

=0

(1.35)



ik

=



i



k

2

(1.36)

Jeśli podstawimy 

ψ

ik

 do równań (1.12), to otrzymamy komplet wzorów transformacyjnych:

M

ik

=

2 EJ

l

⋅



2



i



k

−3 ⋅



i



k

2



=

EJ

l

⋅





i

−

k



(1.37)

M

ki

=

2 EJ

l

⋅





i

2 

k

−

3 

⋅

i



k

2



=

EJ

l

⋅



−

i



k



(1.38)

T

ik

=T

ki

=0

(1.39)

Dla belki o schemacie podanym na rys. 1.20 (lustrzane odbicie do rys. 1.16) wzory transformacyjne są takie
same jak w powyższym przykładzie.

i

k

φ

i

φ

k

l

i

k

M[kNm]

X

1

=      (φ

i

-φ

k

)

M

k

=     (φ

i

-φ

k

)

EJ
  l

EJ
  l

M

k i

=     (φ

k

-φ

i

)

EJ
  l

M

i

 

k

=     (φ

i

-φ

k

)

EJ
  l

T[kN]

0

Rys. 1.20. Schemat belki

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 2

1. WZORY TRANSFORMACYJNE  METODY PRZEMIESZCZEŃ

15

Wyniki  rozważań   zestawiono  w   tabeli   1.1.   Podano   wartości   przywęzłowych  sił   wewnętrznych  w

zależności od sposobu podparcia belki wywołane jednostkowymi przemieszczeniami węzłów podporowych.
Natomiast w tabeli 1.2 zestawiono wykresy sił wewnętrznych (przywęzłowych) dla trzech schematów belek od
obciążeń zewnętrznych (przęsłowych).

Uwaga: w tabelach narysowane są wykresy momentów zginających “po inżyniersku”, tzn. wykres po stronie
włókien  rozciąganych.   Natomiast   ich   wartości   podano   zgodnie  z   zasadami   metody  przemieszczeń,   tzn.
momenty dodatnie działają zgodnie z ruchem wskazówek zegara (prawoskrętnie).

Tabela 1.1. Wykresy momentów zginających i sił poprzecznych od jednostkowych przemieszczeń podporowych

Schemat belki

M

T

i

k

φ

i

=1

l

EJ

4EJ
   l

2EJ
   l

6EJ
   l

-

6EJ
   l

-

i

k

φ

k

=1

l

EJ

2EJ
  l

4EJ
  l

6EJ
   l

-

6EJ
   l

-

i

k

Δ

i

=1

l

EJ

6EJ
  l

2

6EJ
  l

2

12EJ
   l

3

-

12EJ
   l

3

-

i

k

Δ

k

=1

l

EJ

6EJ
  l

2

6EJ
  l

2

-

-

12EJ
   l

3

12EJ
   l

3

i

k

φ

i

=1

l

EJ

3EJ
  l

3EJ
  l

2

3EJ
  l

2

i

Δ

i

=1

l

EJ

3EJ
  l

2

3EJ
  l

3

3EJ
  l

3

i

k

Δ

k

=1

l

EJ

3EJ
  l

2

-

3EJ
  l

3

3EJ
  l

3

-

-

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 2

1. WZORY TRANSFORMACYJNE  METODY PRZEMIESZCZEŃ

16

Schemat belki

M

T

i

k

φ

i

=1

l

EJ

EJ
 l

EJ
 l

-

0

i

k

φ

k

=1

l

EJ

EJ
 l

-

EJ
 l

0

Tabela 1.2. Wykresy momentów zginających i sił poprzecznych od przęsłowych obciążeń

Schemat belki

M

T

P

l

2

l

2

Pl

 8

Pl

8

-Pl

 8

P

2

-

+

P

2

q

l

 ql

2

 12

-

 ql

2

 12

  ql
  2

-

+

  ql
  2

M

l

2

l

2

  M
  4

  M
  4

  3M
   2l

-

-

  3M
   2l

-

P

l

2

l

2

-3Pl

16

0

11P
16

-

+

5P
16

q

l

 ql

2

  8

-

0

  5ql
   8

+

  3ql
   8

-

M

l

2

l

2

  M
  8

  0

 9M
 16

 7M
 16

9M
 8l

-

9M
 8l

-

-

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater

Część 2

1. WZORY TRANSFORMACYJNE  METODY PRZEMIESZCZEŃ

17

Schemat belki

M

T

P

l

2

l

2

-3Pl

8

-Pl

8

P

+

q

l

 ql

2

  3

-

 ql

2

  6

-

  ql

+

M

l

2

l

2

 M

2

 M

2

0

P

ξ=

x

l

ξ'=

l-x

l

x

l

 Plξ'ξ

 

2

-Plξξ'

 

2

-Pξ

 

2

(3-2ξ)

-

+

Pξ'

 

(1+ξ-2ξ

 

2

)

ξ=

x

l

ξ'=

l-x

l

x

l

M

Mξ'

 

(2-3ξ'

 

)

Mξ(2-3ξ)

-

6M
  l

ξξ'

6M
  l

ξξ'

Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A. 

AlmaMater