Wojciech Młocek
Katedra Zastosowań Matematyki, UR w Krakowie
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2011/12
Maxima - przykładowe pytania na kolokwium
1.
Obliczyć (
√
3 − 3)
3
(
√
3 + 1)
5
. Podać wynik dokładny w najprostszej postaci.
2.
Obliczyć sin(23
◦
) + cos(
π
11
) + ctg(49
◦
).
3.
Niech g(x) =
arc tg(x−1) ln x
√
1+x
2
. Obliczyć g
00
(1).
4.
Obliczyć całkę oznaczoną
2
R
1
e
arc ctg x
dx.
5.
Znaleźć rozwiązania równania
1
2
x
3
−
1
4
x
2
− 2x + 1 = 4 cos x.
6.
Narysować w oknie Maximy na jednym obrazku wykres okręgu x
2
+ y
2
= 4 oraz asteroidy danej równaniami:
x = 2 cos
3
t, y = 2 sin
3
t, t ∈ [0, 2π].
7.
Narysować w oknie Maximy wykres rozwiązania równania różniczkowego
dy
dx
− 2y = 6e
4x
(cos(2x) − sin x),
y(0) = 3 w przedziale [−1, 1].
8.
Rozwiązać układ równań
3x + y +2z+4t = 3
−x −2y + z+ t = 1
−2x +4y −2z
= 1.
9.
Narysować wykres funkcji f (x) =
x
3
+2
x
3
−3x
2
−x+3
w przedziale [−4, 8].
10.
Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji g(x, y) =
√
1+x
2
+y
2
x+xy+2
.
11.
Narysować w oknie Maximy wykres funkcji f (x, y) = cos(e
x−y
) dla (x, y) ∈ [−
√
2,
√
2]
2
.
12.
Niech f (x) = e
−x
+ x
3
− 9x
2
+ 29x − 35. Znaleźć rozwiązania równania f (x) + f
0
(x) = 0.
13.
Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji: f (x) = x
2
− x − 6, g(x) = −x
2
+ 5x + 14.
14.
Znaleźć macierz A, by zachodziła równość
A ·
0 −1 1
1 −1 2
1
2 0
=
2 −1 3
1
2 0
2
3 1
.
15.
Znaleźć rozwiązania równania det
2x
1
2
1
0
x
2
−1
4
x
0
1
0
2
−2
0 x
= 0.
16.
Narysować na jednym obrazku w oknie Maximy wykres funkcji f (x) = | cos x| dla x ∈ [0, 3π] oraz wykres
liniowy złożony z punktów postaci (k, | cos
kπ
2
|), gdzie k = 0, 1, 2, . . . , 9.
17.
Sprawdzić, czy funkcja f (x, y) = e
x
y
+ y spełnia równość x
2 ∂
2
f
∂x
2
+ 2xy
∂
2
f
∂x∂y
+ y
2 ∂
2
f
∂y
2
= 0.
18.
Narysować wykres powierzchni danej równaniami: x = sin u, y = cos v, z = u
2
, (u, v) ∈ [−4, 4]
2
.
19.
Rozwiązać układ równań
(
(x
2
+ y
2
− 1)
3
= x
2
y
3
x
2
+ y
2
= 1,
w zbiorze R
2
, następnie zobrazować to rozwiązanie na wykresie.
20.
Narysować w oknie Maximy wykres rozety danej równaniami: x = sin(
√
3 t) cos t, y = sin(
√
3 t) sin t,
t ∈ [0, 12π].
21.
Niech f (t) = t arc tg(t). Przypisać zmiennej a wartość 0 lub 1, następnie wprowadzić instrukcję działającą
następująco: jeśli a = 0 to zwraca f
0
(t), jeśli a = 1 to zwraca
R
f (t)dt, w pozostałych przypadkach wyświetla
komunikat „informatyczne podstawy projektowania”.
22.
Niech f (x, y, z) = x
3
+ y
2
+ 2z
2
+ xy − 2zx + 3y − 1. Znaleźć rozwiązanie układu równań
∂f
∂x
(x, y, z) = 0
∂f
∂y
(x, y, z) = 0
∂f
∂z
(x, y, z) = 0.
23.
Napisać pętlę typu for ... thru obliczającą sumę
26
P
n = 4
n parzyste
arc tg(n+3)
√
n
2
+1
. Wynik przedstawić w postaci dzie-
siętnej.
1
c
° WM 2011/2012
Wojciech Młocek
Katedra Zastosowań Matematyki, UR w Krakowie
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2011/12
Maxima - przykładowe pytania na kolokwium
24.
Napisać pętlę typu for ... thru obliczającą iloczyn
24
Q
n = 5
n nieparzyste
2n−1
n+5
. Wynik przedstawić w postaci dziesięt-
nej.
25.
Napisać algorytm oparty na pętli typu for ... while, który znajdzie największą liczbę naturalną n spełniającą
nierówność
n−5
1+4
√
n
6 10.
26.
Napisać algorytm oparty na pętli w ramach funkcji block, który znajdzie najmniejszą liczbę naturalną n
spełniającą nierówność
√
n+3
ln(n+2)
> 5.
27.
Niech f (x) = cos
x
2
. Przez f
k
(x) oznaczmy pierwsze k wyrazów ze wzoru Taylora dla funkcji f w punkcie
x
0
= 0.
1
Narysować na jednym obrazku wykresy funkcji f , f
9
, f
11
w przedziale [−3π, 3π].
28.
Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji f (x) = −2x
2
+ x + 1, g(x) = e
2x
− 1.
29.
Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych det
z
1
2
−1 z − 1 2
0
1
z
= 0.
30.
Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji: f (x) = 6x
2
+
7
2
x − 5, g(x) = −12x
2
− 7x + 13.
31.
Narysować w oknie Maximy wykres lemniskaty Bootha opisanej równaniem (x
2
+ y
2
)
2
= 4x
2
+
1
16
y
2
.
32.
Napisać algorytm oparty na pętli typu for ... while, który znajdzie największą liczbę naturalną n spełniającą
nierówność
(n + 1) sin
1
n+11
< 0, 9876.
Odpowiedzi do zadań
1.
−96
√
3 − 144.
2.
2.21951.
3.
√
2.
4.
1.82998.
5.
x = −2.47194 ∨ x = −0.97375 ∨ x = 1.72735.
6.
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
7.
1
f
k
(x) =
k
P
n=0
f
(n)
(0)
n!
x
n
2
c
° WM 2011/2012
Wojciech Młocek
Katedra Zastosowań Matematyki, UR w Krakowie
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2011/12
Maxima - przykładowe pytania na kolokwium
-5
0
5
10
15
20
-1
-0.5
0
0.5
1
fun1
8.
x =
2%r1−3
4
, y = −
18%r1−19
20
, z = −
46%r1−43
20
, t = %r1.
9.
-6
-4
-2
0
2
4
6
-4
-2
0
2
4
6
8
(x
3
+2)/(x
3
-3*x
2
-x+3)
x
10.
∂
2
g
∂x
2
=
2(y+1)
2
√
y
2
+x
2
+1
(x y+x+2)
3
+
1
(xy+x+2)
√
y
2
+x
2
+1
−
2x(y+1)
(xy+x+2)
2
√
y
2
+x
2
+1
−
x
2
(xy+x+2)(y
2
+x
2
+1)
3
2
,
∂
2
g
∂y
2
=
2x
2
√
y
2
+x
2
+1
(xy+x+2)
3
+
1
(xy+x+2)
√
y
2
+x
2
+1
−
2xy
(xy+x+2)
2
√
y
2
+x
2
+1
−
y
2
(xy+x+2)(y
2
+x
2
+1)
3
2
,
∂
2
g
∂x∂y
=
∂
2
g
∂y∂x
= −
√
y
2
+x
2
+1
(xy+x+2)
2
+
2x(y+1)
√
y
2
+x
2
+1
(xy+x+2)
3
−
y(y+1)
(xy+x+2)
2
√
y
2
+x
2
+1
−
x
2
(xy+x+2)
2
√
y
2
+x
2
+1
−
xy
(xy+x+2)(y
2
+x
2
+1)
3
2
.
11.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
cos(%e
(
x-y))
12.
x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3.
13.
P =
343
3
.
14.
A =
−1 2 0
0 0 1
1 0 2
.
15.
x = −2 ∨ x =
4
3
.
3
c
° WM 2011/2012
Wojciech Młocek
Katedra Zastosowań Matematyki, UR w Krakowie
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2011/12
Maxima - przykładowe pytania na kolokwium
16.
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
x
abs(cos(x))
discrete2
17.
Tak.
18.
-1 -0.8
-0.6 -0.4
-0.2 0
0.2 0.4
0.6 0.8
1 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
[sin(u),cos(v),u
2
]
19.
x = −1
y = 0
∨
x = 1
y = 0,
∨
x = 0
y = −1,
∨
x = 0
y = −1.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
(y
2
+x
2
-1)
3
= x
2
*y
3
y
2
+x
2
= 1
20.
4
c
° WM 2011/2012
Wojciech Młocek
Katedra Zastosowań Matematyki, UR w Krakowie
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2011/12
Maxima - przykładowe pytania na kolokwium
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1
-0.5
0
0.5
1
sin(t)*sin(sqrt(3)*t)
cos(t)*sin(sqrt(3)*t)
22.
x = 1
y = −2
z =
1
2
,
∨
x = −
1
2
y = −
5
4
z = −
1
4
.
23.
1.59938.
24.
18.34033.
25.
n = 1629.
26.
n = 1274.
27.
-1
-0.5
0
0.5
1
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
y
x
f
f
9
f
11
28.
P =
6891
8867
.
29.
z
1
= 2, z
2
= −
1
2
−
√
3
2
i, z
3
= −
1
2
+
√
3
2
i.
30.
P =
15625
576
.
31.
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2
-1
0
1
2
y
x
32.
795.
5
c
° WM 2011/2012