GEOMETRIA I GRAFIKA IN

ŻYNIERSKA

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI I INFORMATYKI

KATEDRA URZĄDZEŃ ELEKTRYCZNYCH I TECHNIKI ŚWIETLNEJ

Przykładowe zadania z rozwi

ązaniami - część 1

Zad. 1. Dane rzuty: poziomy i piono-
wy prostej i punktu. Wyznaczyć
rzeczywistą odległość między prostą

a

 i punktem 

A

. Wykreślić rzuty tej

odległości.

Należy zauważyć, że na rysunku rzut
poziomy prostej 

a

 leży nad osią 

x

 a

pionowy pod osią 

x

 (w większej

części). Wysokości i głębokości
punktów leżących w tych częściach
prostej będą zatem ujemne.

Aby wykonać kolejne rzuty
prostej, należy na tej
prostej obrać przynajmniej
dwa dowolne punkty.
Niech to będą punkty 

1

 i 

2

.

Rzuty tych punktów muszą
leżeć na tych samych
prostych prostopadłych do
osi 

x

.

Tak samo rzuty punktu 

A

leżą na tej samej prostej
prostopadłej do osi.

Aby wyznaczyć odległość między punktem i prostą należy skorzystać z niezmiennika o rzuto-
waniu kąta prostego, ponieważ między odcinkiem będącym odległością punktu od prostej
i prostą, jest kąt prosty. Aby rzut kąta prostego był również kątem prostym należy zrzutować
go na rzutnię równoległą do jednego ramienia tego kąta. W naszym przypadku tym ramieniem
jest prosta, odległość musimy dopiero wyznaczyć. Dla wykonania rzutu najlepiej wykorzystać
rzutnię w postaci płaszczyzny pionowo- lub poziomo rzutującej.

Stawiamy płaszczyznę pros-
topadłą do rzutni poziomej
i równoległą do prostej 

a

(może ona również przecho-
dzić przez prostą 

a

). Kra-

wędź przecięcia nowej rzutni
z rzutnią poziomą (

x

1

) będzie

równoległa do 

a’

 (rzutu po-

ziomego prostej 

a

).

Rysujemy proste rzutujące
prostopadłe do nowej osi 

x

1

od punktów z indeksem
prim. Wyznaczamy położe-
nia trzecich rzutow punktów
w odległości, od nowej osi,
równej ich wysokościom
(odległościom rzutów piono-
wych od osi 

x

). Jeżeli przyj-

miemy zasadę, że dodatnie
wysokości odmierzamy w
dół a głębokości w górę, to
z punktami 

1

 i 

2

 musimy

postąpić odwrotnie.  Wyso-
kości punktów 

1

 i 

2

 są ujem-

ne.  Wysokość punktu 

A

 jest

dodatnia.

Punkty 

1’’’

  i 

2’’’

  wyzna-

czają  trzeci  rzut  prostej 

a

.

Kąt 

między 

odcinkiem

będącym  trzecim  rzutem
odległości  punktu 

A

  od

prostej 

a

  a  trzecim  rzutem

prostej 

będzie 

również

kątem  prostym.  Rysujemy
odcinek  od  punktu 

A’’’

prostopadle do rzutu prostej

a’’’

.  Oznaczamy  drugi  ko-

niec  tego  odcinka,  leżący
na  prostej,  przez 

B’’’

.

Otrzymaliśmy  rzut  odleg-
łości 

A’’’B’’’

 który nie jest

jeszcze  równy  rzeczywis-
tej  odległości.  Aby  wyz-
naczyć  rzeczywistą  odle-
głość  należy  ją  zrzutować
na  płaszczyznę  do  niej
równoległą.

Stawiamy  nową  rzutnię  prosto-
padłą  do  poprzedniej  i  równoległą
do  odległości  czyli  do  odcinka

A’’’B’’’

.  Prowadzimy  od  punktów

1’’’

, 

2’’’

, 

A’’’

  i 

B’’’

  proste

rzutujące  prostopadłe do nowej osi

x

2

. Na prostych rzutujących odmie-

rzamy  odległości  rzutów  pozio-
mych  poszczególnych  punktów  od
osi 

x

1

  (ponieważ  rzutnia  pozioma  i

czwarta  rzutnia  są  prostopadłe  do
rzutni  trzeciej).    Długość  odcinka

A

IV

B

IV

  jest  rzeczywistą  odległoś-

cią punktu 

A

 od prostej 

a

.

Aby  wyznaczyć  rzuty  poziomy  i  pio-
nowy  tej  odległości,  należy  zrzutować
punkt 

B

 na rzutnię poziomą i pionową

za  pomocą  prostych  rzutujących.
Odcinek 

A’B’

  jest  rzutem  poziomym

odległości, a odcinek 

A’’B’’

 jej rzutem

pionowym.

Zad. 2. Mając dane rzuty: poziomy
i pionowy dwóch prostych równo-
ległych, wyznaczyć rzeczywistą
odległość między tymi prostymi.
Wykreślić rzut poziomy i pionowy
tej odległości.

Rozwiązanie zadania zaczynamy
od wybrania dwóch dowolnych
punktów leżących na każdej z tych
prostych. Są to punkty 

1

 i 

2

 leżące

na prostej 

a

 i punkty 

3

 i 

4

 leżące na

prostej 

b

. Rzuty pionowe i pozio-

me danego punktu leżą na jednej
prostej prostopadłej do osi 

x

.

Aby wyznaczyć odległość między
prostymi należy skorzystać z niez-
miennika o rzutowaniu kąta proste-
go, ponieważ między odcinkiem
będącym odległością a prostymi
jest kąt prosty. Aby rzut kąta
prostego był również kątem pros-
tym należy zrzutować go na rzut-
nię równoległą do prostych.

Stawiamy nową rzutnię prostopadle
do rzutni poziomej i równolegle do
prostych. Krawędź przecięcia tej
rzutni z rzutnią poziomą będzie
równoległa do rzutów poziomych
tych prostych.
Dla wyznaczenia trzecich rzutów
punktów 

1

,

 2

, 

3

 i 

4

, odmierzamy

wysokości tych punktów (czyli
odległości rzutów pionowych od osi

x

) na prostych rzutujących

prostopadłych do nowej osi.
Otrzymujemy trzecie rzuty prostych
rysując linie przechodzące przez
trzecie rzuty przynależnych do nich
punktów.
Dowolny odcinek 

A’’’B’’’

 łączący

trzecie rzuty prostych i prostopadły
do tych prostych, określa nam
odległość między prostymi 

a

 i 

b

.

Ze względu na szczególne ułożenie
prostych - ich rzuty poziome
pokrywają się - jest to rzeczywista
odległość między prostymi.

A’’’B’’’

⊥ 

a’’’|| b’’’

Rzut  poziomy  odległości  wyznaczamy
rzutując  punkty 

A

  i 

B

  na  rzutnię  poziomą.

Prowadzimy  od  trzecich  rzutów  punktów
proste  rzutujące  prostopadłe  do  osi 

x

1

.  Na

rzutach  poziomych  prostych  otrzymujemy
rzuty  poziome 

A’

  i 

B’

  punktów 

A

  i 

B

.

Odcinek 

A’B’

  jest  rzutem  poziomym

odległości.
Podobnie  wyznaczamy  rzuty  pionowe.  Od
punktów 

A’

  i 

B’

  prowadzimy  proste

rzutujące prostopadłe do osi 

x

. Znajdujemy

punkty 

A’’

  i 

B’’

  i  rysujemy  rzut  pionowy

odległości 

A’’B’’

.

Zad.3. Wyznaczyć rzut poziomy
trójkąta 

ABC

 wiedząc, że kąt przy

wierzchołku 

A

 tego trójkąta jest

kątem prostym.

Mamy dany rzut pionowy trójkąta i
rzuty poziome dwóch wierzchołków

A

 i 

B

. Zadanie będzie rozwiązane

jeżeli znajdziemy położenie rzutu
poziomego wierzchołka 

C

.

Punkty 

C’

 i 

C’’

 będą leżały na tej

samej prostej prostopadłej do osi 

x

.

Aby wyznaczyć odległość rzutu 

C’

od osi 

x

 (głębokość punktu 

C

)

musimy skorzystać z niezmiennika o
rzutowaniu kąta prostego.

Rzutujemy trójkąt 

ABC

 na

płaszczyznę równoległą do boku 

AC

(lub 

AB

) i prostopadłą do rzutni

pionowej - jednego z ramion kąta
prostego.

Rysujemy nową oś 

x

1

 równolegle do rzutu piono-

wego boku 

AC

 trójkąta. Rzuty pionowe i trzecie

rzuty punktów 

A

, 

B

 i 

C

 leżeć będą na tych samych

prostych prostopadłych do osi 

x

1

. Położenia rzutów

A’’’

 i 

B’’’

 znajdujemy odmierzając od osi 

x

1

 w górę,

głębokości punktów A i B, czyli odległości rzutów
poziomych 

A’

 i 

B’

 od osi 

x

.

Na trzecim rzucie trójkąta 

ABC

 kąt przy wierzchołku

A’’’

 jest kątem prostym - rzutnia trzecia jest równo-

legła do jednego ramienia kąta prostego. Rysujemy
prostą prostopadłą do 

A’’’B’’’

 w punkcie 

A’’’

.

W miejscu przecięcia tej prostej z prostą rzutującą
punkt 

C

, znajdujemy położenie wierzchołka 

C’’’

trzeciego rzutu trójkąta.

Położenie rzutu poziomego 

C’

 wierzchołka 

C

znajdujemy odmierzając głębokość punktu C
(odległość 

C’

 od osi 

x

) równą odległości rzutu 

C’’’

od osi 

x

1

.

Zad.4. Wyznaczyć rzeczywistą odległość punktu od płaszczyzny określonej dwoma prostymi
równoległymi. Wykreślić rzuty tej odległości.

Sposób 1

W celu wykonania kolejnych rzutów prostych, należy na każdej z nich obrać dwa punkty.
Proste rzutujące prostopadłe do osi 

x

 łączą rzuty pionowe i poziome obranych punktów

(rysunek z prawej).

Odległość tworzy z płaszczyzną określoną prostymi równoległymi kąt prosty. Aby narysować
odcinek stanowiący rzeczywistą odległość punktu od tej płaszczyzny, należy wykonać rzut tej
płaszczyzny na rzutnię do niej prostopadłą. Aby móc taką rzutnię postawić należy najpierw
dokonać rzutu prostych na płaszczyznę do nich równoległą. Na rysunku poniżej, stawiamy nową
rzutnię równoległą do prostych i prostopadłą do rzutni poziomej.

Rzuty poziome i trzecie rzuty
punktów leżą na tych samych prostych
prostopadłych do osi 

x

1

. Odległości

trzecich rzutów od osi 

x

1

 są równe ich

wysokościom, czyli odległościom
rzutów pionowych od osi 

x

.

Trzeci rzut odległości będzie prosto-
padły do trzecich rzutów prostych, ale
nie znamy jeszcze położenia końca
tego odcinka leżącego na płaszczyźnie
określonej przez te proste. Musimy
więc wykonać kolejny rzut prostych i
punktu na płaszczyznę prostopadłą do
prostych i prostopadłą do rzutni
trzeciej.

x

1

 || a’ || b’

Odcinek 

A

IV

B

IV

 jest

czwartym rzutem szukanej
odległości i jego długość
odpowiada rzeczywistej
odległości. Odległości
czwartych rzutów punk-
tów od osi 

x

2

 są równe

odległościom rzutów
poziomych tych punktów
(

1’

, 

2’

, ...) od osi 

x

1

.

Płaszczyzna, którą tworzą
proste równoległe, została
zaznaczona linią
kreskową.

Rzuty czwarte prostych są
punktami bo proste te są
prostopadłe do rzutni.
Aby zakończyć zadanie
należy jeszcze wyznaczyć
rzuty odległości, czyli
znaleźć rzuty 

B’’’

, 

B’

i 

B’’

.

Położenie punktu 

B’’’

 tworzy

punkt przecięcia prostej rzutu-
jącej (od punktu 

B

IV

) i prostej

prostopadłej do prostych 

a’’’

i 

b’’’

 poprowadzonej od punktu

A’’’

.

Odległość punktu 

B’

 od osi 

x

1

jest równa odległości punktu 

B

IV

od osi 

x

2

, a odległość punktu 

B’’

od osi 

x

 jest równa odległości

B’’’

 od osi 

x

1

.

Sposób 2   

Sposób drugi polega na uzyskaniu rzutu płaszczyzny (określonej prostymi równoległymi) na
rzutnię do niej prostopadłą która niekoniecznie musi być prostopadła także do tych prostych.
Wykorzystamy pomocniczy element w postaci odcinka równoległego do płaszczyzny poziomej
(jego rzut pionowy jest równoległy do osi 

x

) i należącego do płaszczyzny określonej danymi

prostymi równoległymi. Końce 

1

 i 

2

 tego odcinka leżą na tych prostych. Na rysunku po prawej

pokazano rzut pionowy i poziomy tego odcinka.

Rzutujemy punkt i proste na płaszczyznę prostopadłą do rzutni poziomej i prostopadłą do
odcinka (

x

1

 prostopadłe do 

1’2’

). Trzecie rzuty otrzymujemy przez odmierzenie wysokości

rzutowanych punktów (czyli odległości rzutów pionowych od osi 

x

) na prostych rzutujących od

osi 

x

1

. Płaszczyzna określona prostymi równoległymi jest prostopadła do rzutni trzeciej, zatem

odległość będzie określona odcinkiem 

A’’’B’’’

 prostopadłym do trzecich rzutów prostych.

x

1

 ⊥ 

1’2’

Rzut poziomy punktu 

B

 (

B’

) znajduje się w punkcie przecięcia prostej rzutującej prostopadłej

do osi 

x

1

 prowadzącej od punktu 

B’’’

 i prostej poprowadzonej prostopadle do odcinka 

1’2’

 i

przechodzącej przez punkt 

A’

. Punkt 

B’’

 (rzut pionowy punktu 

B

) wyznaczamy odmierzając od

osi 

x

, na promieniu rzutującym prostopadłym do osi 

x

, odległość równą  odległości punktu 

B’’’

od osi 

x

1

.

Dzi

ękuję za uwagę