MECHANIKA CIAŁ STAŁYCH – EGZAMIN CZĘŚĆ II

1. Zarys mechaniki pełzania

Pełzanie  –   zachodzi   przy   naprężeniach   mniejszych   niż   naprężenia   uplastyczniające.   Proces   związany   jest
ze   zwiększaniem   się   odkształcenia   w   czasie   stałego   obciążenia,   które   wywołuje   naprężenia   o   intensywności
mniejszej niż  σ

p

. Symbole wielkości związanych z pełzaniem posiadają indeks - „c” - creep. Prędkość pełzania

wynosi 10

-5 

%/h. 

Pełzanie właściwe – zmiana stanu odkształcenia pod wpływem stałego lub zmiennego stanu naprężenia.
Relaksacja – zmiana stanu naprężenia przy ustalonym stanie odkształcenia i w ustalonej temperaturze.
Materiały lepko – plastyczne – materiały, których uplastycznienie jest czułe na prędkość odkształcenia.
Krzywa pełzania – zależność odkształcenia pełzania ε 

c

 (t) oraz prędkości pełzania έ 

c

 (t) od czasu.

Spadek   prędkości   odkształcenia    έ  

c  

w   pierwszym   etapie   pełzania   jest   spowodowane   umocnieniem

odkształceniowym.   Wzrost wartości  έ  

c   

w trzecim etapie jest wynikiem nagromadzenia się wad materiałowych

(pory, pęknięcia) powstałych we wcześniejszych etapach pełzania.

STOSOWANE TEORIE PEŁZANIA:

Teoria pełzania należy do mechaniki ośrodków ciągłych i zajmuje się badaniem procesów bardzo powolnych. 

Rozważania teoretyczne i badania dotyczą między innymi zależności między ε 

c 

a σ wywołującym pełzanie.

Prędkość pełzania:

d ϵ

c

dt

=

f (σ)

                   

f (σ)=B

1

σ

m

    B

1

 , m  - współczynniki wyznaczone drogą aproksymacji

W celu zwiększenia zgodności krzywej teoretycznej pełzania z doświadczeniem, stałą B

1

 zastępuje się funkcją B(t)

oraz   wprowadza   się   człon   opisujący   prędkość   odkształcenia   sprężystego   :     (

1

E

d σ

dt

)

wynikający   z   prawa

Hooke'a. 

1

ϵ=

1

E

σ

d ϵ

dt

=

1

E

d σ

dt

˙ϵ

c

=

d ϵ

c

dt

=

1

E

d σ

dt

+

B (t) σ

m

Teorie starzenia:

Odkształcenie   pełzania  ε 

c

  (w  ustalonej   temperaturze)   opisuje   się   funkcją   naprężenia   i   czasu:    ε 

c  

=   f(σ,   t)  

i dodatkowo uwzględnia się odkształcenie sprężyste: ε = σ/E:

ϵ

c

= σ

E

+

f (σ , t)

przyjmuje się, że f(σ, t) jest funkcją potęgową od σ oraz liniową od t, co można zapisać:

f(σ, t) =  σ

m

 B t  

b = const., i w efekcie:

ϵ

c

= σ

E

+

B t σ

m

Czas „t” odgrywa rolę parametru, więc zmienne własności materiału w czasie interpretujemy jako starzenie.

Teoria Nadaia:

Przyjmuje się, że przy odkształceniu strukturalnie statecznych materiałów przyrosty odkształcenia dε związane są 

z przyrostem naprężenia dσ:

 

d σ = ∂ σ

∂ ϵ

d ϵ+ ∂ σ

∂ ˙ϵ

d ˙ϵ

d σ −różniczka zupełna 2 zmiennych : ϵ i ˙ϵ ,

∂ σ
∂ ϵ

−

odkształceniowe umocnienie materiału ,

∂ σ

∂ ˙ϵ

−

prędkościowe umocnienie materiału.

Ponieważ wiele materiałów nie wykazuje struktury statycznej, uwzględnia się to przez dodanie do prawej strony

równania członu:  ∂ σ

∂

t

dt .

TEORIA PŁYNIĘCIA A PEŁZANIE:

W procesie pełzania występuje odkształcenie plastyczne, więc do opisu płynięcia przy pełzaniu można zastosować

teorię Levy – Misesa. Zakładamy, że w przestrzeni naprężeń  σ

ij  

(x

i

) istnieje potencjał pełzania  σ

c

(σ

ij  

). Prawo

prędkości pełzania możemy zapisać analogicznie jak w prawie L-M: 

2

̂˙ϵ

ij

c

= ˙λ

∂ σ

c

(σ

ij

)

∂ σ

ij

 

gdzie :

̂˙ϵ

ij

c

−

dewiator tensora prędkości odkształcenia przy pełzaniu ,

˙λ−parametr zależny od σ

H

oraz od intensywności prędkości pełzania ˙ϵ

H

c

,

σ(σ

ij

)−

potencjał pełzania.

Parametr ˙λ przez analogię do prawa Levy−Misesa możemy wyznaczyć ze wzoru :

˙λ=3

2

˙ϵ

H

c

σ

H

 

gdzie :

˙ϵ

H

c

−

intensywność prędkości pełzania,

σ

H

−

intensywność naprężeń

Prawo płynięcia przy pełzaniu materiału ściśliwego:

̂˙ϵ

ij

c

= ˙λ ̂

σ

ij

 Dla materiałów nieściśliwych:

̂˙ϵ

ij

c

= ˙λ ˙ϵ

ij

c

i wówczas prawo płynięcia przy pełzaniu stowarzyszone z warunkiem pełzania dla materiału ściśliwego przyjmuje 

postać:

˙ϵ

ij

c

= ˙λ ̂

σ

ij

2. Elementy teorii plastyczności metalicznych ciał nieściśliwych

 

Do opisu zachowania się ciał podczas odkształcenia zostały wprowadzone wyidealizowane ich modele:

•

model ciała sztywno – idealnie plastycznego,

•

model ciała sztywno – plastycznego ze wzmocnieniem,

•

model ciała sztywno – lepkoplastycznego ze wzmocnieniem,

•

model ciała sprężysto – idealnie plastycznego.

Stosowana teoria plastyczności nieściśliwych ciał oparta jest na pojęciu plastycznego potencjału Misesa, który jest 

funkcją stanu naprężenia:

F = F(I

1

, I

2

, I

3

)

3

Po osiągnięciu wartości krytycznej, stałej dla danego materiału, plastyczny potencjał określa warunek 

plastyczności:

F=F(I

1

, I

2

, I

3

)=σ

p

2

Związki między przyrostami odkształcenia i naprężenia w stanie plastycznym, czyli tzw. prawa plastycznrgo 

płynięcia opisuje zależność:

d ϵ

ij

=

d λ

∂

F (σ

ij

)

∂ σ

ij

Współczynnik proporcjonalności dλ określany jest zależnością:

d λ =3

√

E

2

' '

σ

p

Szczególnym przypadkiem warunku plastyczności Misesa, dla nieściśliwych izotropowych siał, jest jego postać 

kwadratowa:

3I

2

'

=σ

p

2

Hydrostatyczna składowa stanu naprężenia σ

m

 = I

1

/3 nie ma wpływu na plastyczne płynięcie. Dla pełnego opisu

plastycznego   płynięcia   nieściśliwych   ciał   należą   ponadto   warunki   równowagi   które   bez   uwzględnienia   sił

masowych i bezwładnościowych mają postać:

∂ σ

ij

∂

x

i

=

0

oraz warunek nieściśliwości:

d ε

ii 

= 0

Jednoznaczne   rozwiązanie   problemów   mechaniki   plastycznego   odkształcania   ciał   nieściśliwych   jest

w   większości   przypadków   niemożliwe.   Do   ich   rozwiązania   stosuje   się   różne   metody,   np.   metodę   równań

różniczkowych równowagi, metody energetyczne oraz metodę elementów skończonych.

Klasyczna mechanika plastycznego płynięcia, z przyjętymi modelami ciał plastycznych, nie pozwala opisać

zjawisk   zachodzących   w   odkształcanych   plastycznie   materiałach   ściśliwych,   do   których   zalicza   się   spiekane

materiały metaliczne.

4

3. Elementy teorii plastyczności metalicznych ciał porowatych

WARUNKI PLASTYCZNOŚCI MATERIAŁÓW ŚCIŚLIWYCH:

Metalicznym materiałom zmieniającym podczas odkształcenia w sposób trwały objętość poświęca się

w ostatnim czasie dużo uwagi, głównie w aspekcie przejścia takiego materiału w stan plastyczny. Wychodząc

z założenia, że plastyczny potencjał jest funkcją niezmienników tensora naprężenia, przedstawiono teorię 

plastycznego płynięcia izotropowych, ściśliwych materiałów, a funkcję płynięcia opisano równaniem w postaci:

1) Warunek plastyczności Kuhna – Downeya:

5

2) Warunek plastyczności Greena:

 

6

3) Warunek plastyczności Oyane:

4) Energetyczny warunek plastyczności:

 

7

 

8

Warunki plastyczności określone zależnościami (1.68), (1.72) i (1.74) wyprowadzone zostały dla ściśliwych ciał

przy założonych modelach porów (walec wydrążony, kula wydrążona, kostka wydrążona).

9

A – model walca wydrążonego poddany skręcaniu oraz hydrostatycznemu ścinaniu (założenie dla warunku

plastyczności Hirschvogla):

 

r – naprężenie ścinające,
σ

0

 – ściskające naprężenie hydrostatyczne.

 

B – model kuli wydrążonej poddanej ściskaniu hydrostatycznemu:

Naprężenie σ

M

 potrzebne do zamknięcia pora wyrażone jest wzorem:

σ

M

= σ

0

ln

R

r

C – model kostki sześciennej wydrążonej (założenie dla warunku plastyczności Oyane):

10

D – dodatkowo: model porów sferycznych w materiale izotropowym (założeniu dla warunku plastyczności

Greena):

Przy   ich   wyprowadzeniu   uwzględniono   oddzielnie   stanu   hydrostatycznego   ściskania   i   czystego   ścinania.

Zależności   dla   tych   stanów   naprężenia   wykorzystano   do   sformułowania   postaci   matematycznej   warunków

plastyczności przy założeniu, że powierzchnia płynięcia jest elipsoidą obrotową. Warunki te uwzględniają, przy

przejściu materiału ściśliwego w stan plastyczny, wpływ drugiego niezmiennika dewiatora naprężenia, pierwszego

niezmiennika   tensora   naprężenia   I

1

,   porowatości  η  (lub   gęstości  ρ

w

)   oraz   naprężenia   uplastyczniającego  σ

p

materiału osnowy lub ciała porowatego  σ. Tylko warunek plastyczności Kuhna – Downeya nie jest związany z

modelem pora, lecz z cechami materiałowymi tj. granicą plastyczności i liczbą Poissona.

ANALIZA WARUNKÓW PLASTYCZNOŚCI:

11

12

13

 

14

4. Elementy mechaniki kompozytów

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

E C 

K O Ń