Twierdzenie 

Superpozycja przebiegów harmonicznych jest przebiegiem 
harmonicznym. 

 

Jeżeli 

u

i

(t) = U

i

 sin ( 

ωt + α

i

 ) 

 

to wtedy 

 

1

( )

n

i

i

u t

=

=

∑

U sin ( 

ωt + α )            (*) 

 

Dowód: 

Korzystając z tożsamości trygonometrycznej 

 

sin(

α+β) = sinαcosβ + sinβcosα 

 

Prawa strona równania  

(*) 

 równa się 

 

1

1

cos

sin

sin

cos

n

n

i

i

i

i

i

i

U

t

U

t

α

ω

α

ω

=

=









+

















∑

∑

 

natomiast lewa strona równania

  

(*)

 

 

  równa

 się 

 

cos

sin

sin

cos

U

t

t U

t

t

α

ω

α

ω

+

 

zatem 

1

cos

cos

n

i

i

i

U

U

α

α

=

=

∑

 

 

1

sin

sin

n

i

i

i

U

U

α

α

=

=

∑

 

Podnosząc oba równania do kwadratu i dodając stronami otrzymamy 

2

2

1

1

cos

sin

n

n

i

i

i

i

i

i

U

U

U

α

α

=

=









+















=



∑

∑

 

natomiast dzieląc drugie równanie przez pierwsze otrzymamy 

1

1

1

sin

cos

n

i

i

i

n

i

i

i

U

tg

U

α

α

α

−

=

=























=



∑

∑

 

 

cbdo.