1
Istnienie rozwiązań układu równań liniowych
Definicja
Rozwiązać układ równań liniowych, to znaczy wyznaczyć zbiór jego rozwiązań, a więc
podać zbiór ciągów spełniających układ lub uzasadnić, że ten zbiór jest pusty (nie
istnieje żadne jego rozwiązanie).
Istnienie i ilość rozwiązań takiego układu rozstrzyga twierdzenie pochodzące od
Kroneckera i Capellego:
Twierdzenie
Dany jest układ m równań liniowych o n niewiadomych A
m x n
⋅
X
n
= B
m
. Ten układ ma
rozwiązanie jedynie wtedy, gdy rząd macierzy A
m x n
współczynników układu jest równy
rzędowi macierzy uzupełnionej [A
m x n
| B
m
], czyli: R(A) = R([A|B]) = r.
Twierdzenie to rozstrzyga problem istnienia rozwiązań. Z niego wynika, że jeśli te rzędy
nie są równe, to układ nie ma rozwiązań.
Przykład 1.
Układ
=
+
=
+
8
6
4
5
3
2
y
x
y
x
nie ma rozwiązań, bo
a)
macierz współczynników A =
6
4
3
2
można przekształcić (operacje elementarne –
od w
2
odejmujemy 2 w
1
) do postaci
0
0
3
2
, i dalej
0
0
0
1
, a więc jej rząd jest 1.
b)
macierz uzupełnioną [A|B] =
8
6
4
5
3
2
przekształcamy do postaci
8
0
0
5
3
2
,
i dalej
0
1
0
0
0
1
co oznacza, że jej rząd jest 2.
Przykład 2.
Natomiast układ
=
+
=
+
10
6
4
5
3
2
y
x
y
x
ma rozwiązanie, bo:
