Prawdopodobieństwo i statystyka
5.10.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu gamma o
gęstości
1
2
,
, ,
,
n
X X
X
K
K
4
16
gdy
0
( )
0
gdy
0.
x
xe
x
p x
x
−
⎧
>
= ⎨
≤
⎩
Niech N będzie zmienną losową niezależna od zmiennych
spełniającą
1
2
,
, ,
,
n
X X
X
K
K
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
0
i
1
2
3
2
6
P N
P N
P N
P N
=
=
= =
=
=
=
= .
Niech
1
0
gdy
0
gdy
0.
N
i
i
N
S
X
N
=
=
⎧
⎪
= ⎨
>
⎪⎩
∑
Wtedy
jest równe
(
3
E S
ES
−
)
(A)
1
16
(B)
7
16
(C)
3
16
(D)
6
16
(E)
9
16
1
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.10.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi każda z rozkładu wykładniczego
o wartości oczekiwanej 1.
Niech
i
.
2
U
X
Y
=
+
Y
X
V
−
=
Wtedy prawdopodobieństwo
jest równe
(
)
(0,6)
(0,6)
P U
V
∈
∧ ∈
(A)
1
1 2e
−
−
(B)
(
)
3
4
1
4
3
2
e
e
−
−
−
(C)
(
)
3
4
1
1 4
3
2
e
e
−
−
−
+
(D)
3
1 e
−
−
(E)
1
1 2e
−
−
2
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.10.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Niech
1
2
,
, ,
n
X X
X
K
, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie gamma z
gęstością
2
0
( )
0
x
xe
gdy x
f x
gdy x
θ
θ
θ
−
⎧
>
= ⎨
≤
⎩
0
Budujemy estymator wariancji czyli funkcji
2
2
( )
v
θ
θ
=
postaci ˆ
ENW( ( ))
v
c
v
θ
= ⋅
,
gdzie ENW( ( ))
v
θ
oznacza estymator największej wiarogodności funkcji v. Jeśli
wiadomo, że jest nieobciążony, to stała c jest równa
ˆv
(A)
1 2
n
n
+
(B)
2n
(C)
1 2n
n
+
(D)
2
1 2
n
n
+
(E)
1 2
2
n
n
+
3
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.10.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Rozpatrzmy następujący model regresji liniowej bez wyrazu wolnego:
i
i
i
x
Y
ε
β
+
⋅
=
(
1,....,16
i
=
),
gdzie są znanymi liczbami,
0
i
x
>
β
jest nieznanym parametrem, zaś
i
ε
są błędami
losowymi. Zakładamy, że
i
ε
są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach
normalnych i
0
]
[
=
i
E
ε
i
2
[ ]
i
Var
x
ε
i
=
(
1,....,16
i
=
).
Niech będzie estymatorem parametru
β
ˆ
β
o następujących własnościach:
β
ˆ jest liniową funkcją obserwacji, tzn. jest postaci
16
1
ˆ
i i
i
c Y
β
=
=
∑
,
β
ˆ jest nieobciążony,
β
ˆ
ma najmniejszą wariancję spośród estymatorów liniowych i nieobciążonych.
Wyznaczyć stałą c taką, że spełniony jest warunek
(
)
ˆ
0,95
P
c
β β
−
<
=
.
(A)
0, 49
c
=
(B)
16
1
7,84
i
i
c
x
=
=
∑
(C)
1,64
c
=
(D)
16
1
0, 49
i
i
c
=
=
∑
x
(E)
16
1
1,96
i
i
c
x
=
=
∑
4
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.10.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Niech
1
,...,
n
X
X , będzie próbką z rozkładu jednostajnego o gęstości danej
wzorem:
1,
n
>
1/
dla 0
;
( )
0 w przeciwnym przypadku,
x
f x
θ
θ
θ
≤ ≤
⎧
= ⎨
⎩
gdzie
0
θ
>
jest nieznanym parametrem.
Zmienne losowe
1
,...,
n
X
X nie są w pełni obserwowalne. Obserwujemy zmienne
losowe
, gdzie M jest ustaloną liczbą dodatnią. Oblicz estymator
największej wiarogodności parametru
min( ,
)
i
i
Y
X
=
M
θ
ˆ
θ
jeśli wiadomo, że w próbce
, jest
K obserwacji o wartościach mniejszych niż M i
1
,...,
n
Y
Y
{
}
1, 2, ,
1
K
n
∈
−
K
.
(A) ˆ
n
M
K
θ
=
+
(B)
ˆ Mn
K
θ
=
(C)
ˆ
Mn
n
K
θ
=
−
(D) ˆ
n
K
M
n
θ
−
=
+
(E) nie
można zastosować metody największej wiarogodności w tym modelu
5
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.10.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Rozważmy następujące zagadnienie testowania hipotez statystycznych. Dysponujemy
próbką
z rozkładu normalnego o nieznanej średniej
n
X
X ,...,
1
μ
i znanej wariancji
równej 4. Przeprowadzamy najmocniejszy test hipotezy
0
:
0
=
μ
H
przeciwko
alternatywie
1
:
H
1
μ
= − na poziomie istotności
2
/
1
=
α
. Niech
n
β
oznacza
prawdopodobieństwo błędu drugiego rodzaju, dla rozmiaru próbki .
n
Wybierz poprawne stwierdzenie:
(A)
lim
1
n
n
n
β
→∞
=
(B) lim
1
n
n
n
β
→∞
=
(C)
8
lim
1
n
n
n
e
β
→∞
=
(D)
8
lim
1
2
n
n
n
e
n
π
β
→∞
=
(E)
8
lim
1
4 2
n
n
n
e
π
β
→∞
=
6
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.10.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
7.
W urnie znajduje się 20 kul białych, 20 kul czarnych i 20 kul niebieskich. Losujemy
bez zwracania 24 kule. Niech
• X oznacza liczbę wylosowanych kul białych,
• Y oznacza liczbę wylosowanych kul czarnych,
• Z oznacza liczbę wylosowanych kul niebieskich.
Współczynnik korelacji zmiennych losowych
2
X
Y
+
i Z ,
,
(
2 ,
corr X
Y Z
+
)
jest równy
(A)
1
−
(B)
3
2
−
(C)
3
4
−
(D) 0
(E)
1
2
−
7
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.10.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
8.
Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
rozkładzie Pareto o gęstości
,...
,...,
1
n
X
X
(
)
1
gdy
0
1
( )
0
w przeciwnym przypadku,
x
x
f x
θ
θ
+
⎧
>
⎪ +
= ⎨
⎪
⎩
gdzie
1
θ
>
jest ustalone.
Niech
będzie zmienną losową niezależną od
, o rozkładzie
geometrycznym
N
,...
,...,
1
n
X
X
(
)
(1
) gdy
0,1, 2, ,
n
P N
n
q q
n
=
= −
=
K
gdzie
jest ustaloną liczbą.
(
0,1
q
∈
)
Niech
{
}
1
min
,...,
,
0;
0
0.
N
X
X
gdy
N
Z
gdy
N
⎧
>
= ⎨
=
⎩
Oblicz
przy założeniu, że
.
( |
)
E N Z
z
=
0
z
>
(A)
(
)
(
)
2 1
1
z
z
q
θ
θ
+
+
+
(B)
(
)
(
)
2 1
1
z
z
q
θ
θ
+
+
−
(C)
(
)
(
)
1
3
1
z
q
z
q
θ
θ
+
+
+
+
(D)
(
)
(
)
1
1
z
q
z
q
θ
θ
+
+
+
−
(E)
(
)
(
)
1
1
z
z
q
θ
θ
+
+
−
8
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.10.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
9.
Rozważamy łańcuch Markowa
na przestrzeni stanów
,...
,
2
1
X
X
{
}
0,1, 2
o macierzy
przejścia
1 1
0
2 2
1
3
0
,
4
4
1 1 1
3 3 3
P
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
(gdzie
dla
(
)
1
P
|
ij
n
n
P
X
j X
i
+
=
=
=
,
0,1, 2
i j
=
).
Niech będzie ciągiem zmiennych losowych o wartościach w zbiorze
, niezależnych od siebie nawzajem i od zmiennych
, o
jednakowym rozkładzie prawdopodobieństwa:
,...
,...,
,
2
1
n
Z
Z
Z
{ }
1
,
0
,...
,...,
,
2
1
n
X
X
X
3
P(
1)
4
i
Z
= = i
1
P(
0)
4
i
Z
=
= .
Niech
. Wtedy
jest równy
i
i
i
X
Z
Y
⋅
=
1
lim P(
)
n
n
n
Y
Y
+
→∞
>
A)
32
144
(B)
57
144
(C)
35
144
(D)
26
144
(E)
41
144
9
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.10.2009 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie
10.
Niech
będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
1
2
,
, ,
n
X X
X
K
(
)
( )
0
x
e
gdy x
f x
gdy x
θ
θ
θ
θ
− −
⎧
≥
= ⎨
<
⎩
gdzie
R
θ
∈
jest nieznanym parametrem. Zbudowano test jednostajnie najmocniejszy
dla weryfikacji hipotezy
0
: 0
H
θ
= przy alternatywie
1
: 0
H
θ
≠ na poziomie
istotności (0,1)
α
∈
.
Obszar krytyczny tego testu jest równy
(A)
{
} (
)
1
2
ln
min
,
, ,
,0
,
n
X X
X
n
α
⎧
−
⎛
⎞
∈ −∞
∪
+∞
⎨
⎬
⎜
⎟
⎝
⎠
⎩
⎭
K
⎫
(B)
{
}
1
2
ln
ln
min
,
, ,
,
,
n
X X
X
n
n
α
α
⎧
−
⎛
⎞ ⎛
∈ −∞
∪
+∞
⎨
⎬
⎜
⎟ ⎜
⎝
⎠ ⎝
⎩
⎭
K
⎫
⎞
⎟
⎠
(C)
{
}
1
2
ln(1
)
min
,
, ,
0,
n
X X
X
n
α
⎧
−
⎛
⎞
∈
⎨
⎬
⎜
⎟
⎝
⎠
⎩
⎭
K
−
⎫
(D)
{
}
1
2
1
ln 2 ln
min
,
, ,
,
ln 1
,
2
n
X X
X
n
n
α
α
⎧
⎫
⎛
−
⎞
−
⎛
⎞
⎛
⎞
∈ −∞
−
∪
+∞
⎨
⎬
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎩
⎭
K
(E)
{
}
1
2
ln(1
)
min
,
, ,
,
n
X X
X
n
α
⎧
−
⎛
⎞
∈ −∞ −
⎨
⎬
⎜
⎟
⎝
⎠
⎩
⎭
K
⎫
10
Prawdopodobieństwo i statystyka
5.10.2009 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
Arkusz odpowiedzi
*
Imię i nazwisko : ................. K L U C Z O D P O W I E D Z I ..........................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
Odpowiedź Punktacja
♦
1 B
2 C
3 D
4 A
5 B
6 D
7 B
8 D
9 E
10 A
*
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
♦
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11