HYDROLOGIA, 

METEOROLOGIA 

I KLIMATOLOGIA

Cz. II – HYDROLOGIA

W 6 – Wody podziemne 3

 

 

M. Nawalany

 

 

Prawo zachowania masy

Objętość kontrolna, stan ustalony:

      - składowa x strumienia masy wody

x

q~















2

~

m

S

M

q

s

kg

gdzie:

M [kg/s] – wydatek (przepływ) masowy
S [m

2

] – pole powierzchni przez którą 

przepływa wydatek M

 

 

Prawo zachowania masy – c.d.

Związek pomiędzy strumieniem masowym a strumieniem  
objętościowym q :

q~

ρ

q

q~





gdzie: 



 [kg/m

3

] – gęstość cieczy.

Prawo ciągłości dla ośrodków porowatych ma postać:

 

 

q~

div

t

n











Z postaci tej widać, że woda może być gromadzona w ośrodku albo 
wskutek zmiany gęstości, albo wskutek zmiany geometrii ośrodka, czyli 
zmiany wartości n.

 

 

Przypadki prawa ciągłości

1. Przypadek ogólny:

2.   Przypadek szczególny - płyn nieściśliwy (



 = const.), brak 

zmian geometrii ośrodka (n =const.), 

stąd

                   oraz 

czyli:

0

z

q

y

q

x

q

z

y

x



















    Człon               reprezentuje nadmiar masy wpływającej nad masą  
wypływająca z  elementarnej objętości  w jednostce czasu.

 

q

div ~



 

 

q~

div

t

n











 

0







t

n



 

0

q

div



 

 

0

~





q

div

q

div



 

 

Prawo Darcy

Eksperyment Darcy:

W doświadczeniu 
zaobserwowano, że:

Q ~ A,

Q ~ 

H = H

2

 – H

1

,

Q ~ 1/L 

Wynika stąd, że:

L

H

k

A

Q

q











 

 

Prawo Darcy – c.d.

Prawo Darcy w najprostszej postaci :

x

k

q

x











y

k

q

y











z

k

q

z











 

 

Równanie przepływu wód podziemnych 

Po wstawieniu prawa Darcy do prawa ciągłości otrzymuje się 
trójwymiarowe równanie przepływu dla wód podziemnych:















































































z

k

z

y

k

y

x

k

x

t

S

S

Dwuwymiarowe przybliżenie płaskie przepływu wód podziemnych:

)

(

)

(

~

~

~

2

1

z

q

z

q

y

T

y

x

T

x

t

S

z

z



























































gdzie:
S [-] – współczynnik wodopojemności sprężystej: S = S

S 

l,

T

i

 [m

2

/s] – współczynnik przewodności hydraulicznej: T

i

 = k

i 

l

















2

1

,

,

,

1

,

,

~

z

z

dz

t

z

y

x

l

t

y

x

–

 wysokość hydrauliczna uśredniona po 

miąższości warstwy wodonośnej

 

 

Przykład – dopływ do rowu 

Dla przepływu ze swobodnym zwierciadłem T = k H. Ustalony przepływ swobodny 
jednowymiarowy w jednorodnej warstwie wodonośnej przy braku  zasilania 
infiltracyjnego oraz podsiąku opisany jest prostym równaniem Laplace’a.

0

x

)

x

(

H

2

2

2







 

 

Przykład – dopływ do rowu – c.d.

Rozwiązanie ogólne ma postać:

C

Bx

x

H





)

(

2

Dla rozpatrywanego równania i warunków brzegowych  H(0) = H

1

 , H(L) 

= H

2

 - parametry B oraz C wynoszą odpowiednio:

,

2

1

2

2

L

H

H

B





2

1

H

C



Stąd rozwiązanie szczególne:

2

1

2

1

2

2

2

)

(

H

x

L

H

H

x

H







Rozwiązanie to nazywa się PARABOLĄ DUPUITA. 

Dopływ do rowu wyznaczony z paraboli Dupuita wynosi:

x

x

H

Dk

x

x

H

x

DkH

Q

x

















)

(

2

1

)

(

)

(

~

2

















L

H

H

kD

Q

x

2

2

2

1

2

~

 

 

Równanie transportu masy w strumieniu wód podziemnych

Mechanizmy transportu masy wyrażone jako strumienie masy (kg/m

2

/s):

1.

Transport adwekcyjny

2.

Transport dyfuzyjny

3.

Transport dyspersyjny

VC

J

adw



x

C

D

J

dyf

x

dyf









y

C

D

J

dyf

y

dyf









z

C

D

J

dyf

z

dyf









x

C

D

J

dysp

xx

x

dysp









,

y

C

D

J

dysp

yy

y

dysp









,

z

C

D

J

dsp

zz

z

dysp

zz









,

,

Po podstawieniu sumy trzech strumieni do prawa zachowania masy: 
równanie transportu masy w wodach podziemnych.

r

C

V

z

C

V

y

C

V

x

z

C

D

z

y

C

D

y

x

C

D

x

t

C

z

y

x

zz

yy

xx



























































































 

 

Przykład – dopływ zanieczyszczeń do studni

Dana jest studnia zupełna ujmująca wodę w obszarze rolniczym z warstwy 
wodonośnej o zwierciadle napiętym. Warstwa wodonośna jest jednorodna i 
izotropowa. Zasilanie pochodzi z wód opadowych. Wody te infiltrując wymywają z 
powierzchni pestycydy używane do ochrony roślin. W warstwie wodonośnej 
pestycydy ulegają biodegradacji  zgodnie z prawem rozpadu:

 

t

exp

C

)

t

(

C

0







Czyli:

5

.

0

2

ln

T





gdzie:                   - okres połowicznego rozpadu.

5

.

0

T

Dane są: H, n, k, T

0.5

, Q

0

, c

0

. 

Poszukuje się stężenia wody 
pobieranej przez studnię   przy 
założeniu, że jedynym 
mechanizmem transportu masy 
pestycydu jest adwekcja.

1

N

Hn

1

c

Q

M

c

0

0

w









Stężenie pestycydu w wodzie 
pobieranej w studni wynosi:

[kg/m

3

]