Ekonometria – ćwiczenia 9 z 24-02-2001 r.
1
Ekonometria – ćwiczenia nr 9 z dnia 24-02-2001 r.
Budowa modeli liniowych za pomocą procedur sekwencyjnych. Uogólniona metoda
najmniejszych kwadratów.
Zadanie 1.
Na podstawie 17 obserwacji oszacowano model opisujący zależność zmiennej Y od zmien-
nych X
1
, X
2
, X
3
, X
4
435
,
0
45
,
3
28
,
0
87
)
(
022
,
0
11
,
2
135
,
0
233
10
4
3
2
1
a
S
X
X
X
X
Y
+
+
+
+
=
przy poziomie istotności
γ
= 0,1 proszę wskazać którą ze zmiennych X
1
, X
2
, X
3
, X
4
należy
wyeliminować jako pierwszą z modelu
)
(a
S
a
I
=
051
,
0
435
,
0
022
,
0
612
,
0
45
,
3
11
,
2
482
,
0
28
,
0
135
,
0
678
,
2
87
233
4
3
2
1
=
=
=
=
=
=
=
=
I
I
I
I
782
,
1
)
1
,
0
;
12
(
)
;
(
*
*
=
=
−
=
I
k
n
I
γ
W związku z tym, że
4
}
{
min
I
I
i
i
=
jako pierwszą należy wyeliminować zmienną X
4
Jeżeli
∧
>
i
I
I
i
*
nie należy eliminować żadnej zmiennej
Zadanie 2.
Niech a
1
i a
2
oznaczają oceny parametrów strukturalnych modelu liniowego standaryzowanej
zmiennej Y względem standaryzowanych zmiennych X
1
i X
2
. Niech będą dane współczynniki
korelacji :
r
1
= r(Y,X
1
) r
2
= r(Y,X
2
) r
12
= r(X
1
,X
2
)
przy czym:
r
1
>0
r
2
>0
r
12
<r
2
r
12
<1
Proszę wykazać, że jeśli
2
1
12
r
r
r
>
to a
1
<0 i a
2
>0
Ekonometria – ćwiczenia 9 z 24-02-2001 r.
2
sign r
1
≠
sign a
1
=
=
=
=
=
−
2
1
0
12
12
21
12
2
1
0
1
1
1
1
1
r
r
R
r
r
r
r
R
a
a
a
R
R
a
−
−
−
=
−
−
=
−
=
−
1
1
1
1
1
1
1
det
12
12
2
12
1
12
12
2
12
r
r
r
R
r
r
R
r
R
D
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
2
12
1
12
2
2
12
2
12
1
1
12
2
2
12
1
2
12
2
1
12
12
2
12
>
<
−
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
a
1. 1-r
12
2
jest zawsze większe od zera gdyż zgodnie z założeniem r
12
<1
2. aby pokazać, że r
1
-r
12
r
2
<0 należy skorzystać z założenia:
1
2
12
2
2
1
12
*
/*
r
r
r
r
r
r
r
>
>
3. aby pokazać, że r
2
-r
12
r
1
>0, należy skorzystać z założenia, że r
12
<r
2
i r
12
<1
Pokazaliśmy, że jeżeli występuje efekt katalizy to przy zapisanych warunkach będzie brak
koincydencji.
Zadanie 3.
Proszę omówić wszystkie znane zależności modelu opisującego zależność pomiędzy ilością
sprzedanej energii elektrycznej, a długością linii przesyłowych i liczbą odbiorców energii.
Wartość parametrów strukturalnych modelu została oszacowana podczas ćwiczeń 2 i 3.
580
,
4
647
,
2
702
,
1
197
,
0
227
,
0
458
,
0
9
,
0
6
,
0
78
,
0
)
(
)
(
2
1
^
a
a
I
S
X
X
Y
+
+
−
=
R
2
=0,99 n
=
10
a) przy 7 stopniach swobody na poziomie istotności
γ
= 0,05 I
*
= 2,365 a to oznacza, że
parametry
α
1
oraz
α
2
są istotne statystycznie – parametr
α
0
nie jest istotny statystycz-
nie.
b) Model opisuje zmienność zmiennej objaśnianej w 99%
c) Koincydentność modelu
Ekonometria – ćwiczenia 9 z 24-02-2001 r.
3
=
9899
,
0
9799
,
0
0
R
sign r
1
= sign a
1
sign r
2
= sign a
2
model jest koincydentny
d) zmienne katalizatory
9623
,
0
9899
,
0
9899
,
0
9799
,
0
1
9623
,
0
9623
,
0
1
2
1
>
=
=
=
r
r
R
w modelu nie ma zmiennych katalizatorów
e) natężenie efektu katalizy
0013
,
0
9887
,
0
99
,
0
9887
,
0
1
1
12
2
1
12
2
1
3
32
31
3
3
2
=
−
=
=
+
+
+
=
+
=
−
=
U
r
r
r
r
H
h
h
H
H
R
U
natężenie efektu katalizy = 0,0013
f) losowość składników
n
1
= 5
n
2
= 5
S = 6
*
2
*
1
*
2
*
1
9
2
S
S
S
S
S
<
<
=
=
losowość występuje
g) autokorelacja składników losowych
- nie
możemy zastosować testu Durbina-Wodsona; stosujemy więc test istotno-
ści współczynnika korelacji
r
1
= -0,089
*
1
1
*
2
1
1
1
265
,
0
)
05
,
0
;
7
(
)
05
,
0
;
3
(
236
,
0
1
3
I
I
n
I
r
n
r
I
<
=
=
−
=
−
−
=
brak zjawiska autokorelacji
Ekonometria – ćwiczenia 9 z 24-02-2001 r.
4
Zadanie 4.
Na podstawie danych:
t
1 2 3 4 5 6 7
y
t
10 11 20 15 30 21 40
oszacowano metodą najmniejszych kwadratów trend liniowy
t
Y
286
.
4
857
.
3
^
+
=
reszty tego trendu wynoszą:
t
1 2 3 4 5 6 7
e
t
1,86 -1,43 3,28 -6,00 4,71 -8,57 6,14
za pomocą Uogólnionej Metody Najmniejszych Kwadratów proszę oszacować parametry
strukturalne trendu liniowego zmiennej Y przyjmując za elementy macierzy V wartości bez-
względne reszt trendu oszacowanego klasyczną metodą najmniejszych kwadratów
Wariancja reszt nie jest stała w czasie – w takiej sytuacji nie będzie spełniony warunek homo-
scedastyczności składnika losowego – czyli występuje heteroscedastyczność . W takim przy-
padku nie można stosować Klasycznej Metody Najmniejszych Kwadratów.
Można zastosować Uogólnioną Metodę Najmniejszych Kwadratów
y
V
X
X
V
X
a
T
T
1
1
1
)
(
−
−
−
=
=
14
,
6
0
0
0
0
0
0
0
57
,
8
0
0
0
0
0
0
0
71
,
4
0
0
0
0
0
0
0
0
,
6
0
0
0
0
0
0
0
28
,
3
0
0
0
0
0
0
0
43
,
1
0
0
0
0
0
0
0
86
,
1
V
=
−
10
,
0
0
0
0
0
0
0
0
12
,
0
0
0
0
0
0
0
0
21
,
0
0
0
0
0
0
0
0
17
,
0
0
0
0
0
0
0
0
3
,
0
0
0
0
0
0
0
0
7
,
0
0
0
0
0
0
0
0
54
,
0
1
V
I
V
V
v
v
i
i
=
=
−
−
1
1
1
=
=
40
21
30
15
20
11
10
7
6
5
4
3
2
1
1
1
1
1
1
1
1
y
X
T
=
403
,
4
931
,
3
a
Ekonometria – ćwiczenia 9 z 24-02-2001 r.
5
Uogólniona metoda najmniejszych kwadratów
t
Y
403
,
4
931
,
3
^
+
=
Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów
t
Y
286
,
4
857
,
3
^
+
=