Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”
WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2009/2010
1. [4p.] Obliczyć objętość bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograniczonego
krzywą o równaniu
f
(x) =
|x| dla x ∈ h−1, 1i
1
x
2
dla pozostałych x
oraz prostą y = 0. Wykonać rysunek otrzymanej bryły.
2. [4p.] a) W zależności od parametru λ podać liczbę rozwiązań układu równań
x
+ λy + z = 1
2x + y + z = λ
x
+ y + λz = λ
2
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy trójkątnej górnej i macierzy diagonalnej stopnia
n
4 oraz obliczyć wartości wyznaczników tych macierzy.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Znaleźć punkt symetryczny do punktu A(1, −2, 0) względem płaszczyzny o równaniu
2x − y + 3z − 1 = 0.
[2p.] b)Podać (wraz z uzasadnieniem) po jednym przykładzie wektorów kolinearnych i koplanarnych
w R
3
.
4. [4p.] Wyznaczyć funkcję holomorficzną f (z), jeśli dana jest jej część rzeczywista
u
(x, y) =
x
x
2
+ y
2
− 2x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = e
x−y
(y
2
− 2x
2
).
[2p.] b) Pokazać, że nie istnieje granica funkcji
lim
(x,y)→(0,0)
x
2
− y
2
(x + y)
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. [4p.] Obliczyć
Z
D
Z
cos
q
x
2
+ y
2
dxdy
gdzie obszar D opisany jest nierównościami: x
2
+ y
2
¬ π
2
, x
2
+ y
2
π
2
4
i y |x| . Wykonać
odpowiedni rysunek.
7. *) [dla chętnych] [3p.] Rozwiązać w płaszczyźnie zespolonej równanie z
3
+ ki = 0, gdzie
k
=
√
3 − i
2
!
12