1
ZALICZANIE STATYSTYKI SEM. 3 (WZMS; A.M.KACZYŃSKI)
13 22 18 22 23 8 21 17 33 22 a) Podać tabelę szeregu rozdzielczego, wykreślić histogram
25 18 16 17 18 24 26 21 19 20 i dystrybuantę empiryczną oraz obliczyć podstawowe
16 22 29 23 22 15 17 19 20 18 statystyki opisowe próbki (średnią
x i odchylenie standardowe s)
16 22 11 21 22 19 26 20 18 38 b) Zweryfikować hipotezę
9
:
1
H
wobec alternatywnej
9
:
1
K
21 16 26 17 15 27 12 19 23 14 przyjmując poziom istotności
0, 04
15 20 17 28 16 22 19 13 21 24 c) Zweryfikować hipotezę
:
,
H X
N x s
przyjmując
0,1
10 26 24 19 17 18 20 21 23 14
17 27 23 25 24 20 15 21 12 30
14 27 20 24 18 24 16 19 17 20
15 18 19 23 28 21 28 11 19 16
Szkic rozwiązania (PATRZ PRZYKŁAD 25, STR. 326):
a)
Grupowanie
klasa
grupowanie
4,5;9,5
7
/
9,5;14,5
12
/ / /
1
/
i
i
x
n
/ / / /
14,5;19,5
17
10
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
/ /
19,5; 24,5
2
37
2
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
/
24,5; 29,5
27
36
/ / / / / / / /
13
2
/ / /
29,5;34.5
32
/ /
34,5;39,5
37
/
1
100
Tabela szeregu rozdzielczego
Nr
klasy
Klasa
Środek klasy
Liczność
Częstość
Liczebność
skumulowana
Częstość
skumulowana
i
,
i
i
a b
2
i
i
i
a
b
x
i
n
i
i
n
f
n
:
i
i
j i
cn
n
:
i
i
cn
F
n
1
4, 5; 9,5
7
1
0,01
1
0,01
2
9, 5; 14,5
12
10
0,1
11
0,11
3
14, 5; 19, 5
17
37
0,37
48
0,48
4
19, 5; 24,5
22
36
0,36
84
0,84
5
24, 5; 29, 5
27
13
0,13
97
0,97
6
29, 5; 34,5
32
2
0,02
99
0,99
7 = k
34, 5; 39, 5
37
1
0,01
100
1
2
Wykresy
histogram dystrybuanta empiryczna (poprawiona)
Podstawowe charakterystyki (statystyki opisowe próbki)
średnia (ważona) z próbki dla szeregu rozdzielczego:
tw.
1
1
k
k
i
i
i
i
d R
i
i
n x
n x
d
x
d
n
n
,
gdzie za d wstawia się tzw. dominantę, czyli tę wartość
i
x
, dla której liczebność
i
n
jest największa
wariancja z próbki dla szeregu rozdzielczego:
2
2
2
2
1
1
1
1
k
k
i
i
i
i
i
i
n x
x
n x
d
n x
d
s
n
n
odchylenie standardowe:
2
s
s
Pomocnicza tabela (
17
d
):
2
2
17
17
17
17
7
10
100
1
10
100
12
5
25
10
50
250
17
0
0
37
0
0
22
5
25
36
180
900
27
10
100
13
130
1300
32
15
225
2
30
450
37
20
400
1
20
400
100
300
3400
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
n
n x
n x
stąd
2
2
3400 10
20
25, 25
0 17
5, 02
20
300
17
,
,
100
99
5
x
s
s
.
2
7
12
17
22
27
32
37
0
x
10
40
60
80
0,1
0,4
0,6
0,8
y
cn
i
cn
i
n
20
0,2
100
1,0
= F
i
3
b)
(patrz przykład
29
str. 339 i model 1b) str. 331)
Rozwiązanie dwoma sposobami: za pomocą zbioru krytycznego lub przedziału ufności
Stawiamy hipotezę zerową
0
:
19
H
wobec hipotezy alternatywnej
9
:
1
K
.
Statystyka testowa (sprawdzian)
asympt.
~
0,1
/
n
n
n
X
U
N
S
n
.
Wartość sprawdzianu dla zadanej próbki wynosi:
0
obs.
20 19
1,99
5,025
1
:
/
0
n
n
x
u
s
n
.
Zbiór krytyczny
W
, odpowiadający odrzuceniu hipotezy zerowej i przy przyjętej hipotezie alternatywnej,
wyznacza się z warunku:
n
n
P U
W
P U
u
, co prowadzi do
,
,
W
u
u
i
1
1
2
u
(z tabl. 4.4 mamy
0,01 0,02 0,03
0,05
2,58
2,33 2,
0
1
,0
7
4
2
1,96
,05
u
).
Równoważnie, dwustronny przedział ufności na średnią
przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej
otrzymuje się z warunku:
1
n
P U
, co daje
;
n
n
n
n
S
S
X
u
X
u
n
n
.
W obu przypadkach istotna jest więc wartość krytyczna
u
, która dla założonego poziomu istotności
0, 04
wynosi
0,04
2, 05
u
.
Zatem zbiór krytyczny jest postaci:
0,04
; 2,05
2,05;
W
lub
dla zadanej próbki realizacja 96-procentowanego dwustronnego przedziału ufności na średnią wynosi
pu;
5,025
5,025
20 2,05
; 20 2, 05
18,97; 21, 03
10
10
,
:
n
n
n
n
s
s
x
u
x
u
X
n
n
.
3. Podejmujemy decyzję:
obs.
0,04
1,99
u
W
lub
0
pu; 0,04
19
X
, więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.
4
c)
(patrz przykład
31 str. 344)
Stawiamy hipotezę zerową
:
~
,
H X
N
, gdzie nie znamy
2
r
parametrów i
. Za ocenę tych
parametrów można przyjąć statystyki opisowe uzyskane na podstawie próbki:
,
20
5
x
s
.
Stosujemy test zgodności
2
, który wymaga połączenia klas skrajnych ze względu na małą liczność (musi
liczność klasy być przynajmniej 5). Wszystkie obliczenia prowadzące do znalezienia wartości
2
obs.
(przydatny
jest kalkulator) podaje tabelka:
2
1
2
obs.
,
/
1
,14,5
0,136
13,6
0, 497
2
14,5;19,5
37
0,324
32, 4
0,653
3
19,5; 24,5
36
0,356
35,6
0, 005
4
24,5;
0,184
18, 4
0,313
100 1,000
100,0
1, 468
11
16
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
A
a
a
n
p
n p
n
n p
n p
,
Przy
założeniu,
że
hipoteza
jest
prawdziwa,
tzn.
,
~
20 5
X
N
,
wartości
hipotetyczne
ˆ
,
1, 2,3, 4
i
i
p
P X
A
i
k
w powyższej tabelce obliczamy tak jak w rozkładzie
20,5
N
:
1
2
3
4
1
2
3
4
14,5
0,5
0,5
1,1
0,136;
19,5
14,5
0,1
1,1
0,324;
24,5
19,5
0,9
0,1
0,356 ;
24,5
1
0,184 lub
0,5
0,18
20
5
20
20
5
5
20
20
5
5
20
5
4.
p
p
p
p
p
p
p
p
Przy
0,1
i ˆ
1
2 1
ˆ
4
1
k
n
r
odczytujemy z tabl. 4.6
1
0,1
2
ˆ
;
2, 7
n
, więc zbiór krytyczny jest
postaci
0,1
2, 7 ;
W
.
Ponieważ
2
obs.
0,1
1, 468 W
, więc
dana próbka nie przeczy hipotezie, że rozkład X jest normalny
.