PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI
PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI
1.4 WYKŁAD
1.4 WYKŁAD
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI
PODSTAWY TELEKOMUNIKACJI
1.4 WYKŁAD
1.4 WYKŁAD
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr Wojciech J. Krzysztofik
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.4 Podstawy Telekomunikacji
2
1.4.
WIDMO ENERGII SYGNAŁU
WIDMO ENERGII SYGNAŁU
Niech funkcje f
1
(t) i f
2
(t) b
ę
d
ą
bezwzgl
ę
dnie całkowalne, oraz
niech istniej
ą
całki z modułu tych funkcji.
Mo
Ŝ
na wówczas zapisa
ć
nast
ę
puj
ą
c
ą
relacj
ę
:
Podstawmy: z = t-
τ
; dz = dt
Po dokonaniu odwrotnego przekształcenia
ℑ
-1
{.} otrzymamy:
dt
e
]
d
)
t
(
f
)
(
f
[
d
]
dt
e
)
t
(
f
[
e
)
(
f
)
(
F
)
(
F
t
j
2
1
)
t
(
j
2
j
1
2
1
∫
∫
∫
∞
∞
−
ω
−
∞
∞
−
τ
−
ω
−
∞
∞
−
ωτ
−
τ
⋅
τ
−
⋅
τ
=
τ
⋅
⋅
τ
−
⋅
⋅
τ
=
ω
⋅
ω
∫
∫
∞
∞
−
ω
−
∞
∞
−
ωτ
−
⋅
τ
⋅
τ
⋅
τ
=
ω
⋅
ω
)
dz
e
)
(
f
(
)
d
e
)
(
f
(
)
(
F
)
(
F
z
j
2
j
1
2
1
ω
⋅
ω
⋅
ω
π
=
τ
⋅
τ
−
⋅
τ
ω
∞
∞
−
∞
∞
−
∫
∫
d
e
)
(
F
)
(
F
2
1
d
)
t
(
f
)
(
f
t
j
2
1
2
1
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.4 Podstawy Telekomunikacji
3
1.4.
WIDMO ENERGII SYGNAŁU
WIDMO ENERGII SYGNAŁU
Dla t=0, po zamianie
τ
na t otrzymujemy
Obliczmy
Zatem
ω
⋅
ω
⋅
ω
π
=
⋅
−
⋅
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
d
)
(
F
)
(
F
2
1
dt
)
t
(
f
)
t
(
f
2
1
2
1
( )
)
(
F
)
(
F
dt
e
)
t
(
f
dt
e
)
t
(
f
dt
e
)
t
(
f
}
t
f
{
2
2
t
j
2
t
j
2
t
j
2
2
ω
=
ω
−
=
⋅
=
⋅
−
=
⋅
−
=
−
ℑ
∗
∞
∞
−
ω
∞
∞
−
ω
∞
∞
−
ω
−
∫
∫
∫
ω
⋅
ω
−
⋅
ω
π
=
⋅
⋅
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
d
)
(
F
)
(
F
2
1
dt
)
t
(
f
)
t
(
f
2
1
2
1
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.4 Podstawy Telekomunikacji
4
1.4.
WIDMO ENERGII SYGNAŁU
WIDMO ENERGII SYGNAŁU
Przyjmujemy teraz f
1
(t) = f(t); f
2
(t)= f*(t), wówczas:
ω
⋅
ω
π
=
⋅
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
d
)
(
F
2
1
dt
)
t
(
f
2
2
RÓWNOŚĆ PARSEVAL’A
dla ciągłego
przekształcenia
Fourier’a
( 2.2.18)
G
Ę
STO
ŚĆ
WIDMOWA
G
Ę
STO
ŚĆ
WIDMOWA
ENERGII
ENERGII
ENERGIA SYGNAŁU
ENERGIA SYGNAŁU
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.4 Podstawy Telekomunikacji
5
1.4.1.
SZEROKOŚĆ PASMA
SZEROKOŚĆ PASMA
Nale
Ŝ
y podkre
ś
li
ć
,
Ŝ
e wszelkie problemy dotycz
ą
ce
szeroko
ś
ci widma mog
ą
by
ć
rozstrzygni
ę
te tylko na
drodze UMOWY, gdy
Ŝ
teoretycznie – widmo sygnału jest
rozło
Ŝ
one w całym przedziale
ω∈
ω∈
ω∈
ω∈
(-
∞
∞
∞
∞
,
∞
∞
∞
∞
)
.
Powszechnie przyjmuje si
ę
,
Ŝ
e graniczn
ą
cz
ę
stotliwo
ś
ci
ą
widma jest taka cz
ę
stotliwo
ść
, dla której w przedziale
(-
ω
dmax
,
,
ω
gmax
) zawarte jest
99 %
99 %
energii.
Korzystaj
ą
c z
RÓWNOŚCI PARSEVAL’A
mo
Ŝ
na zapisa
ć
:
∫
∫
∞
∞
−
ω
ω
−
=
ω
⋅
ω
π
dt
)
t
(
f
99
,
0
d
)
(
F
2
1
2
2
max
g
max
d
( 2.2.19)
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.4 Podstawy Telekomunikacji
6
1.4.1.
SZEROKOŚĆ PASMA
SZEROKOŚĆ PASMA
Doln
ą
i górn
ą
cz
ę
stotliwo
ść
graniczn
ą
wyznaczamy, odpowiednio:
DOLN
Ą
ω
d
GÓRN
Ą
ω
g
∫
∫
∞
∞
−
ω
ω
−
=
ω
⋅
ω
π
dt
)
t
(
f
005
,
0
d
)
(
F
2
1
2
2
d
d
(
2.2.20)
∫
∫
∞
∞
−
ω
ω
=
ω
⋅
ω
π
dt
)
t
(
f
995
,
0
d
)
(
F
2
1
2
2
g
d
Znajomość szerokości pasma
B =
ω
g
-
ω
d
zajętego przez widmo sygnału pozwala rozwiązać wiele problemów technicznych.
Znajomość szerokości pasma
Znajomość szerokości pasma
B =
B =
ω
ω
g
g
-
-
ω
ω
d
d
zajętego przez widmo sygnału pozwala rozwiązać wiele problemów t
zajętego przez widmo sygnału pozwala rozwiązać wiele problemów t
echnicznych.
echnicznych.
( 2.2.21)
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.4 Podstawy Telekomunikacji
7
1.4.2.
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
1.4.2.
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
Z pojęciem częstotliwości granicznej widma sygnału wiąŜe się
własność sygnałów polegająca na moŜliwości reprezentowania
sygnałów ciągłych (o ograniczonym widmie) za pomocą zbioru
dyskretnych próbek.
Niech będą zadane sygnał f (t) i jego widmo F (
ω
), zawarte w przedziale
(-
ω
g
,
ω
g
).
RozwaŜmy
SYGNAŁ SKWANTOWANY
czasowo, tzn.
Iloczyn sygnału f(t) oraz okresowego ciągu dystrybucji Delta-Dirac’a
f
p
(t) = f (t)
δ
T
(t)
Korzystając z własności iloczynu f (t) i
δ
(t) moŜna zapisać:
∑
∞
−∞
=
−
δ
⋅
=
k
p
p
p
)
kT
t
(
)
kT
(
f
)
t
(
f
( 2.2.22)
(
2.2.23)
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.4 Podstawy Telekomunikacji
8
1.4.2.
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
1.4.2.
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
p
T
2
π
T
p
t
f
p
(t) = f(t)
δ
T
(t)
t
f (t)
-
ω
g
ω
g
ω
F (
ω
)
-
ω
p
-
ω
g
ω
g
ω
p
ω
∆
F
p
(
ω
)=F(
ω
)
∗ ∆
ω
p
(
ω
)
t
δ
T
(t)
0 T
p
2T
p
3T
p
….
δ
T
(t)
… -2
π
/T
p
0 2
π
/T
p
4
π
/T
p
….
∆
ω
p
(
ω
)
ω
ℑ
ℑ
ℑ
ℑ
{ . }
p
T
2
π
H(j
ω
)
Rys. 2.3.1.
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.4 Podstawy Telekomunikacji
9
1.4.2.
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
1.4.2.
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
Widmo sygnału skwantowanego
JeŜeli widmo sygnału jest ograniczone, to sygnał skwantowany moŜna
przedstawić w dziedzinie częstotliwości jak na rys. 15.5.
JeŜeli
∆≥
0, to część widma F
p
(
ω
) w otoczeniu (k
ω
p
), k= 0,
±
1,
±
2, … będzie
identyczna z widmem sygnału f(t).
DŁUGOŚĆ INTERWAŁU NYQUISTA
(
ω
p
= 2
π
/T
p
)
∑
∞
−∞
=
ω
−
ω
⋅
ω
=
δ
ℑ
∗
ℑ
=
δ
⋅
ℑ
=
ω
k
p
p
T
T
p
)
k
(
F
)}
t
(
{
)}
t
(
f
{
)}
t
(
)
t
(
f
{
)
(
F
( 2.2.24 )
g
p
g
p
g
p
2
lub
2
2
T
1
0
2
ω
≥
ω
π
ω
≥
→
≥
ω
−
ω
( 2.2.25 )
Dr in
Ŝ
. W.J. Krzysztofik
1.4 Podstawy Telekomunikacji
10
1.4.2.
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
1.4.2.
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU
Sygnał o ograniczonym widmie jest jednoznacznie określony przez swoje
wartości f(kT), leŜące w równych odstępach czasu T, nie większych niŜ
π
/
ω
g
,
gdzie
ω
g
jest pulsacją graniczną widma.
Sygnał f(t) mo
Ŝ
e by
ć
odtworzony na podstawie znajomo
ś
ci sygnału
skwantowanego f
p
(t), po przepuszczeniu jego przez idealny filtr
dolnoprzepustowy H(j
ω
).
∑
∞
∞
−
ω
−
ω
ω
=
ω
)
k
2
(
F
2
)
(
F
g
g
p
)
j
(
H
]
)
k
2
(
F
2
[
)
(
F
g
g
ω
⋅
ω
−
ω
ω
=
ω
∑
∞
∞
−
)
(
1
)
(
1
)
j
(
H
g
g
ω
−
ω
−
ω
+
ω
=
ω
}
t
{
Sa
t
t
sin
)}
j
(
H
{
)
t
(
h
g
g
g
g
g
1
ω
⋅
π
ω
=
ω
ω
π
ω
=
ω
ℑ
=
−
CHARAKTERYSTYKA
IMPULSOWA FILTRU
-
ω
g
ω
g
ω
1
Rys. 2.3.2.