1. Relatywistyka
1.1. Do jakiej prędkości naleŜy rozpędzić elektron aby zamienił
się w czarną dziurę ?
Nic nie wskazuje na to, aby takie zjawisko w ogóle mogło zajść. Nieporozumienie bierze się
stąd, Ŝe oblicza się „masę relatywistyczną” rozpędzonego do prędkości podświetlnej elektronu,
następnie zaś, posługując się wzorem Newtona, oblicza się natęŜenie pola grawitacyjnego
rzekomo pochodzącego od tego fotonu. Tymczasem dla prędkości podświetlnych wzór Newtona
nie obowiązuje.
To, Ŝe wzór Newtona jest tylko przybliŜeniem wzorów OTW słusznym dla małych mas i małych
prędkości grawitujących obiektów, wynika wprost z równań OTW. Osoby nie znające OTW
mogą - dla wyrobienia sobie właściwej intuicji - posłuŜyć się pewnym eksperymentem
myślowym. Wyobraźmy sobie dwa punkty materialne w pustej przestrzeni, oddalone od siebie
o r. Punkty te łączymy niewaŜką spręŜyną o długości swobodnej tak dobranej, aby siła reakcji
ściśniętej spręŜyny równowaŜyła grawitacyjne przyciąganie mas. Opiszmy ten układ z punktu
widzenia obserwatora poruszającego się ze znaczną prędkością v prostopadle do prostej
łączącej oba punkty materialne. PoniewaŜ odcinek łączący rozwaŜane punkty materialne jest
prostopadły do kierunku ruchu obserwatora, jego długość nie ulega skróceniu w układzie
poruszającym się - obserwator stwierdza, Ŝe punkty materialne nadal pozostają w odległości r.
Jednak z punktu widzenia układu poruszającego się oba punkty materialne mają znaczne
„masy relatywistyczne” - gdyby moŜna było uŜywać wzoru Newtona z „masami
relatywistycznymi”, oba punkty (opisywane w układzie poruszającym się) przyciągałyby się z
siłą znacznie większą niŜ w układzie spoczynkowym, a zatem zgniotłyby łączącą je spręŜynkę i
zbliŜyły do siebie na odległość mniejszą niŜ r. Niczego takiego jednak nie obserwujemy.
Wniosek stąd taki, iŜ wstawianie „masy relatywistycznej” do wzoru Newtona jest fizycznie
nieuzasadnione. (Rozumowanie przedstawione w tym paragrafie nie jest ścisłe, ma tylko
charakter intuicyjny.)
1.2. Na czym polega paradoks bliźniaków ?
Problem polega na tym, Ŝe według Teorii Względności Einsteina wszystkie układy odniesienia
są równoprawne, więc jeśli jeden z bliźniaków wyruszy w relatywistyczną podróŜ kosmiczną, a
drugi zostanie na Ziemi, to względem jednego Ziemia będzie się poruszać, a względem
drugiego lecący brat-bliźniak. Rachunki jednak mówią, Ŝe będą starzeć się nierównomiernie.
Który postarzeje się szybciej ?
Oczywiście, postarzeje się brat nieruchomy. Dlaczego? Ano dlatego, Ŝe zachodzą tutaj zmiany
układu inercjalnego, uŜywanego przez poruszającego się brata. Przyspiesza on i zwalnia,
doznaje działania bezwładności, itp. Brat stojący znajduje się natomiast stale w jednym
układzie inercjalnym. Widać więc, Ŝe sytuacja nie jest symetryczna.
Właśnie ta raptowna zmiana układu inercjalnego jest sednem określenia, który brat będzie
starszy.
MoŜna teŜ i dowodzić inaczej, Ŝe nie moŜna synchronizować zegarów w układach
nieinercjalnych posługując się transformacja Lorentza, co w omawianym przypadku zachodzi, a
rozwiązania liczone zgodnie z OTW daja właśnie takie rezultaty.
Szczegółowa dyskusja paradoksu bliźniąt, ze ścisłym wprowadzeniem w geometryczną postać
Strona 1 z 5
STW (co jest podstawą intuicyjnego wnioskowania na tematy relatywistyczne) moŜna znaleźć u
Schutza we "Wstępie do ogólnej teorii względności". Niekoniecznie polecamy ksiąŜki
popularnonaukowe, mające naszym zdaniem czasem zbyt wielkie tendencje do upraszczania,
co prowadzi do wypaczenia rozumienia problemu.
1.3. Jakie pole grawitacyjne wytwarza rotująca masa ?
Weźmy dla przykładu układ Ziemia-KsięŜyc: w przypadku przyciagąnia się Ziemi i KsięŜyca
poprawki są rzeczywiście niemierzalne. Tym niemniej pole grawitacyjne wokół rotującej Ziemi
jest troszkę inne niŜ byłoby, gdyby Ziemia się nie obracała. Te róŜnice moŜna obliczyć, a ich
wynikiem jest pewien efekt noszący nazwę efektu Lense-Tirringa, do którego wykrycia
przymierzano się juŜ ćwierć wieku temu. Polega on na tym, Ŝe, jak to się w branŜy
ogólnorelatywistycznej określa, lokalne układy inercjalne podlegają "wleczeniu" przez
stacjonarne pole grawitacyjne związane z rotującą masą. Objawia się to tym, Ŝe gdybyśmy
umieścili na orbicie wokółziemskiej swobodnie wirujący Ŝyroskop, to jego oś obrotu ulegałaby
powolnej precesji względem "reszty świata" (zmieniałby się kierunek osi obrotu względem
gwiazd). Taka precesja nie wystąpiłaby w przypadku orbitowania Ŝyroskopu wokół statycznego
grawitującego ciała.
Nie naleŜy tutaj mylić tej precesji z tradycyjną precesją wywołaną przez moment skręcajacy.
Ten Ŝyroskop byłby wykonany jako "idealnie" wypolerowana szafirowa kulka, a w takim
przypadku moment skręcający praktycznie moŜna wyeliminować.
Efekt jest bardzo mały (jakieś sekundy czy ułamki sekund łuku na stulecie), ale ocenia się, Ŝe
byłby moŜliwy do zaobserwowania. Na przeszkodzie jak dotychczas stały kwestie finansowe,
gdyŜ nie było odwaŜnego, który podjąłby decyzję o wydatkowaniu kilkuset milionów dolarów na
orbitalny eksperyment, którego wynik interesuje i tak znikome grono fachowców.
Zaobserwowano takŜe zmiany w promieniowaniu pulsarów znajdujących się w ciasnych
układach podwójnych, które najprościej moŜna interpretowac jako przejaw działania efektu
Lense-Tirringa. Tak więc wygląda na to, Ŝe orbitalny eksperyment potwierdziłby za wielkie
pieniądze efekt, w który ludzie z branŜy i tak wierzą. Tym niemniej, eksperyment taki ma
wykonać satelita NASA Gravity Probe-B, który wystartował w kwietniu 2004.
Całkowanie T
00
grawitującego ciała nie da wartości jego masy rejestrowanej przez odległego
obserwatora. Masa widziana "z nieskończoności" jest wypadkowym efektem wzajemnych relacji
pomiędzy lokanym rozkładem energii-pędu oraz geometrią czasoprzestrzeni reprezentującej
pole grawitacyjne, a sumaryczny wynik zaleŜy od globalnej natury tego pola i rozkładu masy.
Finał tych współzaleŜności jest taki, Ŝe z daleka widzimy ("czujemy" grawitacyjnie) mniejszą
masę niŜ wynikałoby to z prostego podsumowania mas cząstek tworzących ciało. W zwykłych
sytuacjach (planety, "normalne" gwiazdy) ten grawitacyjny defekt masy jest nieistotny, ale juŜ
przy konstrukcji modeli gwiazd neutronowych odgrywa zasadniczą rolę. W przypadkach
rzeczywiście skrajnych sytuacji kosmologicznych (kwazary, aktywne jądra galaktyk)
grawitacyjny defekt masy jest, jak się na ogół uwaŜa, jedyną rozsądną koncepcją wyjaśnienia
źródła kolosalnych ilości energii wyzwalanych w tych procesach.
1.4. Czy moŜna dolecieć do Proximy Centauri w tydzień ?
PoniewaŜ szczególna teoria względności nakłada ograniczenie na maksymalną prędkość równą
prędkości światła, wielu ludzi skłonnych jest sądzić, Ŝe loty, do odległych o tysiące lat
świetlnych gwiazd, trwać muszą całe epoki.
JednakŜe zapominają oni o innych aspektach tej teorii, mianowicie dylatacji czasu i
relatywistycznemu skróceniu. W istocie oddalająca się od Ziemi rakieta ulega obserwowanemu
Strona 2 z 5
skróceniu. JednakŜe efekt jest zupełnie symetryczny i z punktu widzenia rakiety skróceniu
ulegnie wszystko, co jest względem niej w ruchu. Efektowi temu ulegnie więc zarówno Ziemia,
gwiazda docelowa, jak i droga do przebycia.
Odległość z Ziemi do Proximy w układzie Ziemi to trochę więcej niŜ cztery lata świetlne.
JednakŜe dla rakiety poruszającej się z v=0,9999887c, odległość ta skróci się do tygodnia
świetlnego, dzięki czemu doleci ona na Proximę w tydzień czasu pokładowego. Czy nie ma tu
jednak jakiegoś paradoksu? Skoro w układzie Ziemi rakieta pokonuje cztery lata świetlne w
tydzień, to znaczy, Ŝe porusza się z prędkością równą 208c (tyle tygodni mają 4 lata). A
wcześniej załoŜyliśmy, Ŝe porusza się z v=0,9999887c. OtóŜ prawdziwa jest ta druga prędkość.
Z tego wniosek, Ŝe w układzie Ziemi rakieta nadal potrzebuje czterech lat, aby dotrzeć na
Proximę. Rolę gra tutaj dylatacja czasu. Po prostu w rakiecie, obserwowanej z Ziemi, czas
płynie dokładnie 208 razy wolniej, wiec po czterech latach lotu minie tam zaledwie tydzień.
Czyli dzięki szczególnej teorii względności moŜemy dolecieć dowolnie daleko w dowolnie
krótkim czasie pokładowym. MoŜemy w sekundę zwiedzić inną galaktykę i wrócić na Ziemię,
jednak wtedy miną na niej miliony lat. Problemem pozostają jednak koszty energetyczne i
przeciąŜenia.
W chwili obecnej wydaje się niemoŜliwym uzyskać źródło energii pozwalające dostatecznie
zbliŜyć się do c (a im jesteśmy bliŜej, tym trudnej przyspieszyć). Najefektywniejszym
sposobem magazynowania energii jest równa ilość materii i antymaterii. Nawet jeśli uda się
wytworzyć tak ogromne ilości energii i zbudować silnik fotonowy, to masy paliwa potrzebnego
na międzygwiezdny lot, w rozsądnym czasie, będą sięgały tysięcy mas samego statku. Warto
tutaj zwrócić uwagę na dwie rzeczy:
Po pierwsze omawiane efekty są efektami rzeczywistymi. Niektórym ludziom wydaje się, Ŝe
to jedynie efekt obserwacji przy pomocy fal elektromagnetycznych - tzn. złudzenie optyczne.
Nie jest to prawdą. Efekty te są jak najbardziej realne i weryfikowalne w dowolnym
doświadczeniu, niekoniecznie elektromagnetycznym.
Po drugie - moŜna by zapytać: skoro wszystkie układy są równouprawnione i symetryczne, to
czy nie powinno być tak, Ŝe z punktu widzenia rakiety to na Ziemi czas ulega spowolnieniu,
więc w momencie dotarcia do Proximy po tygodniu, na Ziemi powinno upłynąć zaledwie 50
minut (skoro Ziemia oddala się z prędkością v=0,9999887c to czas płynie na niej 208 razy
wolniej niŜ w rakiecie!)? Daje to oczywisty paradoks, skoro na Ziemi upływają 4 lata.
Odpowiedź to - i tak, i nie. Rozumowanie to jest poprawne, ale nie do końca, gdyŜ układy nie
są równowaŜne. Rakieta przyspiesza i hamuje i wtedy dodatkowo podlega, juŜ niesymetrycznej
względem Ziemi, dylatacji czasu. Okazuje się, Ŝe gdy uwzględnić te efekty, to wszystko do
siebie pasuje. Odsyłam w tym momencie do paradoksu bliźniąt
tutaj
.
1.5. Jak biegnie czas w orbitujących satelitach Ziemi ?
Dylatacja czasu zachodząca na satelitach Ziemi (w ogólności dowolnego ciała kosmicznego)
warunkowana jest dwoma przeciwstawnymi efektami relatywistycznymi:
wpływowi pola grawitacyjnego Ziemi,
dylatacją wynikającą z ruchu (oczywiście względnego) ciała.
Ziemię moŜna w przybliŜeniu traktować jako grawitujące ciało o sferycznie-symetrycznym
rozkładzie masy. Pomijając "niewielkie" komplikacje wynikające z tego, Ŝe Ziemia znajduje się
w polu grawitacyjnym Słońca, a i wpływy KsięŜyca bywają w dokładnych analizach warte
uwagi, moŜna załoŜyć, Ŝe w strefie kilkudziesięciu tysięcy kilometrów od środka Ziemi jej pole
grawitacyjne dobrze opisuje się za pomocą rozwiązania Schwarzschilda z ogólnej teorii
względności. Tutaj istotne są następujące wnioski wynikające z tego rozwiązania:
Jest to rozwiązanie opisujące sytuację statycznego pola grawitacyjnego (nie jest to do
końca poprawny opis, bo Ziemia jednak rotuje, ale poprawki związane z rotacją są
praktycznie zaniedbywalne).
MoŜna wprowadzić współrzędną t, która ma sens czasu dla obszarów dalekich od środka
Strona 3 z 5
Ziemi ("w nieskończoności").
Dla ciała, które spoczywa w punkcie x upływ czasu związany z tempem procesów fizycznych
zachodzących w tym miejscu (w szczególności tykanie zegarów) związany jest z upływem
czasu "w nieskończoności" poprzez wyraŜenie
(1) ∆T(x) = sqrt(g
00
) ∆t
gdzie g
00
jest jedną ze składowych tensora metrycznego opisującego rozwiązanie
Schwarzschilda.
JeŜeli ciało to dodatkowo porusza się względem punktu x z prędkością V, to dojdzie jeszcze
dodatkowy efekt dylatacji czasu znany ze szczególnej teorii względności, co da wynik:
(2) ∆T(x,V) = sqrt(g
00
) sqrt(1-V
2
/c
2
) ∆t
Gdy teraz zastosujemy ten wzór do porównania tempa chodu zegara na satelicie i na Ziemi, to
dostaniemy najpierw dwa równania:
(3) ∆T(R
sat
,V
sat
) = sqrt(g
00
(R
sat
)) sqrt(1-V
sat
2
/c
2
) ∆t
(4) ∆T(R
Ziemi
,V
Ziemi
) = sqrt(g
00
(R
Ziemi
)) sqrt(1-V
Ziemi
2
/c
2
) ∆t
Po podzieleniu stronami skraca się ∆t, a pozostaje stosunek upływów czasu na satelicie i na
Ziemi.
Reszta to juŜ proste podstawienia i rachunki zaniedbujące niektóre (małe) wielkości. W
ogólnym przypadku w rozwiązaniu Schwarzschilda:
g
00
= 1 - 2MG/(Rc
2
) gdzie M jest masą Ziemi.
Ale poniewaŜ 2MG/(Rc
2
) jest bardzo małe, to:
sqrt(g
00
) = 1 - MG/(Rc
2
)
TakŜe sqrt(1 - V
2
/c
2
) = 1 - V
2
/(2c
2
) ze względu na małą wartość V w stosunku do c.
Tak więc ostatecznie dostajemy:
(5) ∆T(R
sat
, V
sat
) / ∆T(R
Ziemi
, V
Ziemi
) = 1 - (V
sat
2
- V
Ziemi
2
)/(2c
2
) - MG(1/R
sat
-
1/R
Ziemi
)/c
2
(skorzystano tu z uproszczeń: 1/(1-a) = 1+a zachodzącego dla małych a, aby z ilorazu typu
(1-a
1
)/(1-a
2
) dostać 1-a
1
+a
2
; wcześniej oczywiście takŜe z (1-b
1
)(1-b
2
) = 1-b
1
-b
2
zachodzącego dla małych b
1
i b
2
).
Oznaczmy T
Ziemi
= ∆T(R
Ziemi
, V
Ziemi
), a takŜe T
sat
= ∆T(R
sat
, V
sat
), ponadto oznaczmy:
(6) epsilon = (V
sat
2
- V
Ziemi
2
)/(2c
2
) - MG(1/R
sat
- 1/R
Ziemi
)/c
2
Korzystając w wyŜej wyprowadzonych zaleŜności porządkujemy równanie:
(7) T
sat
= T
Ziemi
- epsilon T
Ziemi
gdzie:
T
sat
- czas jaki upłynął na satelicie wtedy, gdy na Ziemi upłynął czas T
Ziemi
.
Miarą róŜnicy tempa chodu zegarów jest poprawka epsilon, która wynosi według (6):
(8) epsilon=(V
sat
2
-V
Ziemi
2
)/(2c
2
)+MG(1/R
sat
-1/R
Ziemi
)/c
2
gdzie:
V
sat
- prędkość satelity w układzie inercjalnym ze środkiem w środku masy Ziemi,
V
Ziemi
- prędkość zegara na powierzchni Ziemi w tym samym układzie,
Strona 4 z 5
Aktualizacja: 2007-05-17 22:28
FAQ-System 0.4.0, HTML opublikowal: (STS)
M - masa Ziemi, G - stała grawitacji,
R
sat
- odległość satelity od środka masy Ziemi,
R
Ziemi
- odległość zegara na Ziemi od środka masy Ziemi.
Wzór ten jest przybliŜeniem nie uwzględniającym tego, Ŝe w rzeczywistości Ziemia nie jest
sferycznie symetryczna ale jest zbliŜona do elipsoidy. W zastosowaniach takich jak GPS
odgrywa to juŜ znaczenie i odbiorniki GPS wyliczają dodatkowe poprawki związane z tym
faktem. Tym niemniej, z bardzo dobrym przybliŜeniem podane wzory pozwalają na praktyczne
przeliczenie wzajemnych róŜnic tempa chodu zegarów których dotyczyło pytanie.
MoŜna zauwaŜyć, Ŝe dwa fragmenty wyraŜenia na epsilon konkurują ze sobą i znak wyniku
zaleŜy od promienia orbity satelity. MoŜna dość łatwo wyrachować, Ŝe gdy zaniedbamy V
Ziemi
to wynik wyzeruje się dla R
sat
= (3/2)R
Ziemi
(zachodzi to dla R
sat
= 9567 km). Jeśli
interesuje nas satelita na orbicie kołowej, to:
(9) mV
sat
2
/R
sat
= mMG/R
sat
2
, czyli V
sat
2
= MG/R
sat
gdzie: m - masa satelity
Wartość epsilon wtedy znika i zegar na satelicie "cyka" w tym samym rytmie co ten, który
pozostał na Ziemi. Dla satelitów na niŜszych orbitach "cyka" on wolniej, a dla tych na orbitach
wyŜszych - szybciej.
Dla przykładu: satelity GPS mają promień orbity ok. 20000 km, więc ich zegary "cykają"
szybciej, niŜ te na Ziemi. W przypadku satelitów geostacjonarnych róŜnica ta jest jeszcze
większa. Największa róŜnica jest oczywiście dla satelitów na niskich orbitach, gdyŜ tam człon z
V
sat
2
jest dominujący.
Strona 5 z 5