Wybór zadań z algebry liniowej i geometrii, A.Lenarcik (eko.11,energ.11)
Macierze
m7. Oblicz wyznaczniki
a)
−1
−1
−1
1
,
b)
cos φ
− sin φ
sin φ
cos φ
,
c)
−1
2
−3
−2
1
4
1
0
1
,
d)
−i
1
2 + i
0
i
1
−2
i
1
,
e)
2 + 3i
2 − 2i
1 − i
2 + i
7 − 3i
3 − i
1 + i
4 − 6i
2 − 3i
,
f)
x
y
x + y
y
x + y
x
x + y
x
y
,
g)
1
0
2
−3
1
2
−1
1
−1
−1
−2
0
−3
2
4
1
.
m8. Dla jakich wartości λ wyznacznik zeruje się?
a)
3 − λ
−2
2
−2 − λ
,
b)
2 − λ
−2
0
−2
1 − λ
−2
0
−2
−λ
.
m9. Rozwiąż nierówności:
a)
3x − 5
x − 2
x − 3
2x + 1
x − 1
x + 2
3x + 2
x − 1
2x + 3
> 0,
b)
x
1
1
1
x
1
1
1
x
¬ 0.
m10. Rozwiąż układ równań: a)
2x − 3y
=
4
3x + 2y
=
−7
, b)
2x − y + z
=
0
−x − 3y + 2z
=
−5
3x − 4y − z
=
5
,
c)
ix + y − iz
=
3 − i
x + y − z
=
−2i
2ix − y + z
=
2 + i
, d)
−x + 2y − 3z + t
=
0
x + y − z + t
=
2
−x + 2y − 3z + 2t
=
2
2x − 2y + z − t
=
3
.
m11. Dla jakich wartości parametru a podany układ równań ma jednoznaczne rozwiązanie?
a)
ax + y
=
1
ax + a
2
y
=
−1
, b)
ax + 2y + 3z
=
1
−x + ay
=
0
ax + y + 2z
=
−1
.
m12. Zauważ, że podany układ równań ma zawsze rozwiązanie zerowe. Dla jakich wartości parametru b możliwe jest
istnienie rozwiązań niezerowych?
a)
bx − 2by
=
0
3x + by
=
0
, b)
2x + 2y + bz
=
0
−x + by − z
=
0
x + y + bz
=
0
.
m13. Dla jakich wartości parametru a macierz A jest odwracalna?
a) A =
a
4
a
a
, b) A =
a
2
a
−1
1
−2
1
3
1
.
m14. Znajdź macierz odwrotną do danej macierzy A. a) A =
−1
4
−3
2
, b) A =
a
b
c
d
,
c) A =
1
1 − i
1 + i
i
, d) A =
−1
0
1
1
2
2
−2
1
1
, e) A =
1
0
−1
0
1
2
1
−1
−1
0
1
1
−1
2
0
1
.
m15. Wylicz symbolicznie X z równania macierzowego: a) AX = B, b) XA + B = C,
c) A
−1
(X − B) = C, d) AXB + C = D, e) A(X − B) = CX.
m16. Wyznacz macierz X z równania macierzowego:
a) 3AX + B
T
= C, gdzie A =
3
2
−1
1
, B =
0
−1
2
1
, C =
−3
5
5
−5
,
b) A
−1
XB = D, gdzie A =
−1
1
2
2
−1
1
0
1
2
, B =
3
−1
1
−1
2
1
1
0
1
, D =
−6
3
0
−5
0
−1
4
0
2
,
c) (X + B)A = D, gdzie A =
1
2
0
−1
1
2
1
3
2
, B =
0
1
−1
2
1
0
−1
−2
1
, D =
0
3
2
0
6
4
4
4
0
.
m17. Metodą macierzową rozwiąż układ równań: a)
2x + 5y
=
3
−7x + 3y
=
10
, b)
x − 2y + 3z
=
9
x + z
=
3
2x − y
=
3
.
WEKTORY
w4. Przedstaw wektory ~a, ~b, ~
c, ~
d, ~
e, ~
f , ~
g, ~h, ~i jako kombinacje wektorów bazy (~
u, ~
v).
~
a
~b
~b
~
c
@
@
@
@
@
@
R
~
d
~
e
~
f
?
~
g
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
CO
~
h
-
~i
-
~
u
~
v
w5. Wyraź wektory ~
AB, ~
BC, ~
CD, ~
DA, ~
AC, ~
DB jako kombinacje liniowe wektorów bazy (~i,~j, ~
k).
s
A
s
B
s
C
s
D
~i
-
~j
6
~
k
układy współrzędnych
u3. Określ graficznie współrzędne x, y punktu P w układzie repera (O, ~
u, ~
v) oraz współrzędne x
0
, y
0
tego samego
punktu w układzie (O
0
, ~
u
0
, ~
v
0
).
*
~
u
~
v
O
·
-
~
u
0
A
A
A
K
~
v
0
·
O’
·
P
u4. Znajdź równanie krzywej x
2
+ 2xy + y
2
− 8x − 4y + 3 = 0 we współrzędnych x
0
, y
0
oraz równanie krzywej
3x
0
+ y
0
− 3 = 0 we współrzędnych x, y.
-
~i
6
~
j
@
@
R
~i
0
~
j
0
O
O’
iloczyn skalarny
s1. Dane są wektory ~
u, ~
v na płaszczyźnie takie, że ~
u ◦ ~
v = −1, oraz długości wektorów ~
u, ~
v są odpowiednio równe
√
3 oraz
√
2.
(a) Oblicz ~
p ◦ ~
q, gdzie ~
p = 2~
u − 3~
v, ~
q = −~
u + 2~
v.
(b) Oblicz długości wektorów ~
p i ~
q.
(c) Wyznacz
stałą α tak aby wektory ~
p i ~
q − α~
p były prostopadłe.
s3. Oblicz kąt pomiędzy wektorami ~
u i ~
v których współrzędne określone są w bazie ortonormalnej:
(a) ~
u = [2, 1],
~
v = [−3, 1],
(b) ~
u = [−2, 3], ~
v = [1, 5],
(c) ~
u = [6, 7, −1], ~
v = [13, 8, 5],
(d) ~
u = [10, 1, 7], ~
v = [1, −2, 1],
(e) ~
u =
[4, 1, −1], ~
v = [−2, 1, 2],
(f) ~
u = [−3, 2, −5], ~
v = [−2, −5, 3],
(g) ~
u = [−10, −7, −1], ~
v = [5, 3, 4],
(h) ~
u = [2, 8, 7],
~
v = [4, 3, 1]. Odp. a) 135
o
, b) 45
o
, c) 30
o
, d) 60
o
, e) 135
o
, f) 120
o
, g) 150
o
, h) 45
o
. Ciekawostka: Wektory o
współrzędnych całkowitoliczbowych na płaszczyźnie nigdy nie utworzą kąta 30
o
ani 60
o
!
s8. Wyznacz wektor równoległy do wektora ~
v 6= ~0 o długości 1:
(a) ~
v = [3, 4],
(b) ~
v = [2, 1, 2].
Wsk. Podziel
wektor przez jego długość. Czynność tę nazywamy normowaniem wektora.
s9. Dane są wektory ~a = [3, 4], ~b = [12, 5]. Znajdź wektor ~
c wyznaczający dwusieczną kąta pomiędzy danymi
wektorami. Wsk. Wystarczy unormować dane wektory i dodać.
prosta i płaszczyzna
p16. Znajdź równanie parametryczne prostej przechodzącej przez dwa dane punkty:
(a) A(−1, 4), B(3, −2);
(b) A(5, −1, 3),
B(1, −4, −3).
p17. Znajdź równanie parametryczne płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty:
(a) A(1, −1, 1), B(3, −4, 5),
C(−4, 6, 8);
(b) A(−2, −3, 1), B(−1, −1, 4), C(0, 1, 7);
(c) A(−2, −5, 0), B(−1, −3, 3), C(0, −1, 6).
Sprawdź, czy
punkty nie leżą na jednej prostej.
p18. Znajdź na płaszczyźnie równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkt A(2, −3) i prostopadłej do wektora
~
v = [3, 4].
p19. Znajdź w przestrzeni równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez punkt A(1, −2, 4) prostopadłej do wek-
tora ~
v = [5, −3, −2].
p20. Wyznacz wektor ~
n prostopadły jednocześnie do wektora ~
u = [−1, 3, 2] i do wektora ~
v = [3, −2, 1]. Wsk. Sko-
rzystaj z iloczynu wektorowego.
p21. Znajdź równanie ogólne płaszczyzny o równaniu parametrycznym:
x
=
2 + 3s − t
y
=
s + t
z
=
4 + 2t
.
p22. Znajdź równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty: A(2, 4, −1), B(0, −3, 4), C(7, 5, 2).
p23. Znajdź równanie ogólne płaszczyzny przechodzącej punkt A(0, −4, 5) oraz prostą
x−2
3
=
y+3
−4
=
z
−1
.
p24. Prostą na płaszczyźnie opisaną równaniem 3x − 7y + 3 = 0 zapisz parametrycznie.
p25. Prostą na płaszczyźnie opisaną równaniem
x−1
3
=
y+2
−4
zapisz w postaci ogólnej.
p26. Płaszczyznę w przestrzeni opisaną równaniem x − 2y + 3z + 7 = 0 zapisz parametrycznie.
p27. Wyznacz punkt wspólny płaszczyzny 3x + y − z + 5 = 0 i prostej
x
2
=
y−3
−4
=
z+1
−2
.
p28. Prostą będącą krawędzią przecięcia płaszczyzn 2x − 3y + z + 1 = 0, −x + 5y + 3z − 2 = 0 opisz parametrycznie.
p29. Wyznacz kąt pomiędzy wektorem ~
x = [3, 4, 5], a płaszczyzną rozpiętą na wektorach ~
u = [−1, 2, 1] i ~
v =
[3, −2, 11]. Wsk. Wyznacz najpierw kąt pomiędzy wektorem ~
x i wektorem ~
n prostopadłym do płaszczyzny.
p32. Wyznacz rzut prostopadły punktu A(2, 3, −6) na płaszczyznę x + 2y + z + 4 = 0. Wsk. Napisz równanie
parametryczne prostej prostopadłej do płaszczyzny.
p33. Wyznacz punkt symetryczny do punktu A względem płaszczyzny z poprzedniego zadania.
p34. Wyznacz rzut prostopadły punktu A(−2, 9) na prostą 2x + 5y = 38, następnie wyznacz punkt symetryczny do
A względem prostej.
p35. Znajdź rzut punktu A(1, −2, 1) na prostą x + 1 =
y+8
−1
=
z−2
2
.
Wsk. Poprowadź płaszczyznę przechodzącą przez punkt A i prostopadłą do prostej.
p36. Wyznacz rzut prostopadły prostej
x
4
=
y−1
3
=
z−2
2
na płaszczyznę x − y + 3z + 8 = 0.
p37. Wyznacz kąt pomiędzy prostymi x + y + 1 = 0,
2x − y = 0.
p38. Wyznacz kąt pomiędzy płaszczyznami x − y + 2z = 0,
−2x + y + z = 0. Wsk. Jest to kąt pomiędzy wektorami
normalnymi.
p39. Wyznacz kąt pomiędzy płaszczyzną −x + 2y − 3z = 0 i prostą
x
2
=
y+1
1
=
z−1
3
.
p40. Wyznacz równania dwusiecznych kątów utworzonch przez proste y = x ,
y = 7x. Wsk. Zad. 9.
p41. Oblicz obwód i pole trójkąta ABC dla A(1, 2, −1), B(3, 0, 4), C(3, 5, 3).
p42. Oblicz odległość punktu A(5, 6) od prostej 2x + 3y − 1 = 0.
p43. Oblicz odległość punktu A(3, 4, 3) od płaszczyzny x + 2y − z + 2 = 0.
p44. Wyznacz odległość między prostymi skośnymi
x+3
4
=
y−6
−3
=
z−3
2
,
x−4
8
=
y+1
−3
=
z+7
3
. Wsk. Przez jedną z
prostych przeprowadź płaszczyznę równoległą do drugiej prostej.
p45. Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, 2, 1) i przecinającej dwie proste:
x−1
1
=
y+3
−2
=
z−3
2
,
x−2
2
=
y−2
1
=
z
3
. Wsk. Przez jedną z prostych i punkt A przeprowadź płaszczyznę która przetnie drugą prostą w
punkcie B. AB jest szukaną prostą.
Operatory
o50. Za pomocą operatora ~
f : R
2
→ R
2
, opisanego macierzą A, przekształć kwadrat dany na rysunku poniżej. Znajdź
obrazy punktów P, Q, R, S, O i zaznacz je jako punkty P
0
, Q
0
, R
0
, S
0
, O
0
w układzie obok. Współrzędne punktów
odczytaj z rysunku wiedząc, że P = (1, 1). Porównaj iloraz
pole czworokąta P
0
Q
0
R
0
S
0
pole czworokąta P QRS
z wyznacznikiem macierzy A. Rozważ następujące warianty:
a) A =
3
1
1
2
,
b) A =
−1
0
0
1
,
c) A =
1
0
0
1
,
d) A =
1
−2
2
1
,
e) A =
2
4
1
2
.
-
x
6
y
·
P
·
Q
·
R
·
S
·
O
Z
Z
Z
Z
-
x
6
y
o54. Wyznacz macierz A operatora ~
f : R
2
→ R
2
w bazie naturalnej, który przekształca figurę F na F
0
zgodnie z
podanym rysunkiem.
`
`
`
`
`
`
``
`
`
-
x
6
y
·
P
·
Q
·
R
·
S
F
P
P
P
P
P
P
-
x
6
y
·
S’
·
P’
·
Q’
·
R’
F’
o55. Znajdź wartości i wektory własne operatora określonego daną macierzą. W przykładach (g) i (h) wyznacz
dodatkowo płaszczyzny niezmiennicze.
(a)
−2
−4
1
3
,
(b)
−3
4
2
−1
,
(c)
0
3
1
3
0
−1
1
−1
−4
,
(d)
2
5
−1
5
−2
−5
−1
−5
2
,
(e)
4
−2
2
−2
3
0
2
0
0
,
(f)
4
−2
2
−2
3
0
2
0
0
,
(g)
1
2
−1
−5
−3
−3
−2
−1
−2
,
(h)
2
0
1
5
1
5
2
−3
−2
.