2013/2014
Ekonometria
Materiał dodatkowy do listy 6
Wyznaczenie decyzji optymalnej – zastosowanie warstwic
Szczegóły rozwiązania/„uzasadnienie rozwiązania ” (jedno z możliwych podejść)
Rozpatrujemy funkcję celu postaci
f (x
1
, x
2
) = c
1
x
1
+ c
2
x
2
−→ max, c
1
> 0, c
2
> 0, x
1
0, x
2
0.
W tym przypadku warstwice W
z
(f ) są prostymi postaci:
c
1
x
1
+ c
2
x
2
= z,
czyli
x
2
=
−
c
1
c
2
x
1
+
z
c
2
. Zauważmy, że są to funkcje malejące, ponieważ
−
c
1
c
2
< 0.
Zadanie 2, 3 i 4 – określenie decyzji optymalnej:
1. wyznaczamy równania warstwic przechodzących przez poszczególne wierzchołki
zbioru decyzji dopuszczalnych D,
2. wybieramy ten wierzchołek, przez który przechodzi warstwica o największym
wyrazie wolnym
z
c
2
; tym samym wybieramy punkt zbioru D, w którym funkcja
celu osiąga największą wartość (c
1
x
1
+ c
2
x
2
= z). Decyzja optymalna to właśnie
współrzędne wierzchołka wybranego w opisany powyżej sposób.
Przykład – zadanie 3 (szkic fragmentu rozwiązania).
Funkcja celu: f (x
1
, x
2
) = 60x
1
+ 20x
2
−→ max, x
1
0, x
2
0, gdzie x
1
– wielkość
produkcji wyrobu W
1
, x
2
– wielkość produkcji wyrobu W
2
.
Warstwice W
z
(f ) są prostymi równoległymi (wszystkie mają bowiem taki sam współ-
czynnik kierunkowy równy
−3, mogą się różnić wyrazami wolnymi z/20) postaci:
x
2
=
−3x
1
+
z
20
.
D = czworokąt ABCE, gdzie A = (0, 0), B = (300, 0), C =
(
133
1
3
, 333
1
3
)
, E = (0, 400).
Warstwica przechodząca przez punkt B dana jest wzorem x
2
=
−3x
1
+ 900 (punkt
B należy do prostej o szukanym wzorze, a zatem 0 =
−3 · 300 + z/20). Stąd
z/20 = 900
⇔ z = 18 000 ← wartość funkcji celu dla argumentów x
1
= 300, x
2
= 0.
Natomiast warstwica przechodząca przez punkt C dana jest wzorem x
2
=
−3x
1
+ 733
1
3
(
333
1
3
=
−3 · 133
1
3
+ z/20
)
. Zatem z/20 = 733
1
3
⇔ z = 14 666
1
3
.
