1

Analiza danych pomiarowych 

Przyczyny niepewności wyników eksperymentu:

• błędy grube

• błędy systematyczne 

• błędy przypadkowe

Wszystkie wyniki pomiarów, włączając te uzyskane instrumentem 

o bardzo dużej precyzji i przy wysokiej dbałości eksperymentalnej, 

nie są dokładne, lecz mają przybliżony charakter.

Błąd gruby

• wynika z niedbałości lub ewidentnej pomyłki

eksperymentatora,

wyraźnej niesprawności sprzętu albo nieoczekiwanego zaburzenia
układu pomiarowego

• objawia się istnieniem jednego wyniku znacząco odstającego od

pozostałych, uzyskanych w danej serii pomiarów

• wynik pomiaru obarczony błędem grubym jest zazwyczaj łatwo

zauważalny i należy go odrzucić.

2

23,3 ppm;  24,5 ppm;  27,9 ppm ;  33,5 ppm;  0,02 ppm 

ppm = 

g/g

W wątpliwych sytuacjach trzeba stosować czasami 
skomplikowane testy statystyczne !!!!

x

i

– wyniki pomiarów 

(oznaczone symbolem       )

x

0

– wartość prawdziwa

błąd gruby

BŁĘDY „GRUBE” ODRZUCAMY

Błędy grube

Błąd systematyczny

• błąd polegający na

stałym lub zmiennym, systematycznym odchyleniu

wyniku pomiaru od rzeczywistej

wartości wielkości mierzonej

• przesunięcie wyniku następuje zwykle

w tę sama stronę

• metody statystyczne nie mają tu zastosowania.

3

niedoskonałość przyrządów pomiarowych
błędne wyskalowanie, niewyzerowanie
błąd paralaksy
w analityce – złe wzorce
nieuwzględnienie zmiany warunków pomiaru 

do warunków skalowania (inne warunki pomiaru
próbki i wzorca) 

Oddziaływania systematyczne:

x

i

– wyniki pomiarów 

(oznaczone symbolem       )

x

0

– wartość prawdziwa

Z błędem systematycznym mamy do czynienia, gdy przy 
powtarzaniu pomiaru występuje ta sama różnica między 
wartościami zmierzonymi a wartością rzeczywistą, 
natomiast rozrzut wyników poszczególnych pomiarów 
jest mały. Błędy te są powodowane

oddziaływaniami 

systematycznymi

Błędy (niepewności) systematyczne

4

Błędy przypadkowe

powstaje na skutek działania 

czynników losowych

jest miarą rozrzutu

otrzymywanych wyników 

wokół wartości najbardziej prawdopodobnej.

błędu przypadkowego w zasadzie 

nie da się

wyeliminować

a także nie da się go oszacować 

przed dokonaniem pomiaru

staramy się tak zaprojektować i przeprowadzić pomiar,

aby wartość błędu przypadkowego była jak najmniejsza

po zakończeniu pomiaru dokonujemy oceny wielkości

błędu losowego przy użyciu narzędzi statystycznych.

niedokładność odczytu (niedokładna ocena części 

działki miernika, niezbyt staranne wyznaczenie 
optimum ostrości obrazu w pomiarach optycznych)

fluktuacja warunków pomiaru (temperatura, 

ciśnienie, wilgotność, napięcie w sieci elektrycznej)

obecność źródeł zakłócających;
nieokreśloność mierzonej wielkości; 
niedoskonałość zmysłów obserwatora; 

Oddziaływania przypadkowe:

5

x

i

– wyniki pomiarów 

(oznaczone symbolem       )

x

0

– wartość prawdziwa

Błąd przypadkowy spowodowany jest losowym odchyleniem 
wyniku pomiaru od wartości rzeczywistej. Fluktuacje czasowe i 
przestrzenne wielkości nie mierzonej. Charakter losowy. 
Źródłem błędów przypadkowych są tzw. 

oddziaływania 

przypadkowe:

Błędy (niepewności) przypadkowe

WIELKOŚCI MIERZONE

W pomiarach bezpośrednich

W pomiarach pośrednich

Pomiar kilku wielkości x

1

,x

2

,…x

n

Obliczenie wielkości pośredniej 
zgodnie ze wzorem funkcyjnym:

y=f(x

1

,x

2

,…x

n

)

Na przykład pomiar okresu drgań
i długości wahadła matematycznego. 
Obliczenie wartości przyspieszenia
ziemskiego g.

Pomiar jednej wielkości 
(np. pomiar masy ciała, 
pomiar temperatury, itd.

6

2

2

T

l

4

g

   

     

g

l

2

T











l, T – wielkości wejściowe, zmierzone w pomiarach

bezpośrednich, mają swoje niepewności

Czy wzór powyższy jest słuszny w każdych 
warunkach?
Jak policzyć niepewność g?

Pomiar wielkości T nie wpływa na pomiar
wielkości l (wielkości nieskorelowane)

Zgodnie z Przewodnikiem niepewności

klasyfikujemy  na dwie kategorie 

w zależności od metody ich obliczania:

TYPU    A

TYPU    B

7

BŁĄD 

 NIEPEWNOŚĆ

Omyłka, uchyb, błąd

*)

, 

niepewność

SYNONIMY?

* -

Asystent zwraca się do studentki:

A z jakim błędem wyznaczyła Pani grubość  próbki?

Studentka:

No, wie Pan! Ja nie robię błędów

Anegdota (podobno autentyczna). Przeczytane w pracy:

Marek W.Gutowski: Wykład wprowadzający do zajęć na I Pracowni Fizycznej

METODA TYPU A
Błędy (niepewności) przypadkowe

Metoda szacowania niepewności, która 
opiera się na obliczeniach statystycznych
(statystyczna analiza serii pomiarów –

n 

 4)

8

Najczęściej pomiar jednokrotny

METODA TYPU B
Błędy (niepewności) systematyczne

Metoda szacowania niepewności, która 
Wykorzystuje inne metody niż statystyczne:
doświadczenie eksperymentatora
porównanie z wcześniej wykonywanymi

podobnymi pomiarami

certyfikat producenta wykorzystywanych 

w pomiarach przyrządów

analiza materiału wzorcowego (odniesienia)

OCENA  NIEPEWNOŚCI  TYPU  A  W  POMIARACH  BEZPOŚREDNICH

n

x

x

n

1

i

i























n

1

i

2

i

x

x

x

1

n

1

S

)

x

(

u

1. Wykonujemy serię (skończoną) pomiarów
2. Wielkością najbardziej prawdopodobną

jest średnia arytmetyczna :

3. 

Niepewność standardowa pojedynczego 

pomiaru u(x) 

(tzw. odchylenie 

standardowe 
pojedynczego 

pomiaru S

x

)

9

Eksperymentatora bardziej interesuje niepewność 
wyniku czyli wartości średniej

Niepewność standardowa średniej:

 









1

n

n

x

x

n

S

S

x

u

n

1

i

2

i

x

x















10

OCENA  NIEPEWNOŚCI  TYPU  A    W  POMIARACH    POŚREDNICH

)

x

,...

x

,

x

(

f

y

K

2

1



K

2

1

x

,...

x

,

x

)

x

(

u

),...

x

(

u

),

x

(

u

K

2

1

x

1

, x

2

,…,x

K

– wielkości wejściowe nieskorelowane,  każde określone     

w pomiarach bezpośrednich. Znamy:                     oraz niepewności 
standardowe średnich: 

PYTANIE 1. Jak obliczyć wielkość y ?   

PYTANIE 2. Jak obliczyć niepewność standardową 
wielkości y ?

(*)





K

2

1

x

,...,

x

,

x

f

y



1

x

2

x

K

x

y

1.

Schemat przenoszenia wielkości wejściowych

11

2.

Niepewność y nazywa się złożoną niepewnością 
standardową (ang. combined standard uncertainty)























K

1

i

i

2

2

i

c

)

x

(

u

x

f

)

y

(

u

)

x

(

u

1

)

x

(

u

2

)

x

(

u

K

)

y

(

u

c

Schemat przenoszenia niepewności 

wielkości wejściowych

Metoda szacowania niepewności wykorzystująca 
inne metody niż statystyczne:

wcześniejsze doświadczenie eksperymentatora
specyfikacja producenta odnośnie używanego

w pomiarach przyrządu (klasa przyrządu)

z kalibracji (wcześniej wykonanej)
badania na materiale odniesienia (chemia 

analityczna)

Najczęściej jeden lub dwa pomiary

METODA TYPU B

12

100

pomiaru

 

zakres

K

x

k







Parametry metrologiczne aparatury:

Klasa przyrządu K

(dana przez producenta)

Niepewność pomiaru wynikająca z klasy 
przyrządu 

kx:

Dla woltomierza klasy 0,2 na zakresie 50 V
popełniamy „błąd” 

kx = 0,1 V

Rozdzielczość przyrządu :  

Dla pomiarów długości:
1 mm dla linijki ; 0,1 mm dla suwmiarki;
0,01 mm dla śruby mikrometrycznej

Dla pomiarów temperatury:
0,1 °C dla termometru lekarskiego;
10 °C dla termometru „zaokiennego”

Dla mierników wychyłowych – „odstęp” 
pomiędzy kreskami (ew. połowa)

13

x

x

x

k

d

g











Rozdzielczość przyrządu:  

Dla mierników analogowych - zmiana 
ostatniej cyfry np. 5,23 V ( niepewność 0,01 V)

Niepewność wynikająca z rozdzielczości 
aparatury 



d

Maksymalna (graniczna) niepewność
pomiaru szacowana metodą typu B wynosi:

OCENA  NIEPEWNOŚCI  TYPU  B    W  POMIARACH    POŚREDNICH

x

1

y

x

2

x

K





K

2

1

x

,...,

x

,

x

f

y



x

1,

x

2

, …,x

K

– wielkości pomiarów jednokrotnych

14

Maksymalna (graniczna) niepewność pomiaru 



g

(y)

może być oszacowana tzw. metodą różniczki zupełnej



g

x

1



g

x

2



g

x

K



g

(y)

i

g

K

1

i

i

g

x

x

f

y

















UWAGA: Metoda „różniczki zupełnej” prowadzi do zawyżonych wyników 
niepewności (zwłaszcza dla K

> 3)

15

A w jaki sposób  obliczyć niepewność wielkości, która 
uzależniona jest od oddziaływań systematycznych i
przypadkowych ?

2
B

2
A

c

u

u

)

x

(

u





Standardowa niepewność 
całkowita

PAMIĘTAJ !!! 

Do obliczania wielkości pośrednich i niepewności 
używaj wielkości niezaokrąglonych

16

Przedstawianie błędów pomiarowych 
i zaokrąglanie wyników

W ogólnym przypadku wynik pomiaru przedstawiamy w postaci:

X

R

=  X

M

± ΔX

gdzie:  
X

R

- wartość rzeczywista wielkości mierzonej, 

X

M    

- wartość uzyskana w wyniku pomiaru, 

ΔX    - niepewność lub błąd pomiaru.

Powyższy zapis oznacza, że:

- najlepszym przybliżeniem wartości  mierzonej jest według 
eksperymentatora liczba X

M

;

- z  rozsądnym prawdopodobieństwem szukana wartość znajduje się 
gdzieś  pomiędzy X

m

- ΔX   i    X

m

+

ΔX.

17

Przedstawianie błędów pomiarowych 
i zaokrąglanie wyników II

Błąd pomiaru  ΔX

jest wielkością oszacowaną

.

Nie ma więc sensu podawać wszystkich cyfr, które otrzymujemy z

obliczeń. Obliczone wartości X

m

i ΔX podajemy zaokrąglone.

Oznacza to, że przybliżamy wartości otrzymane z obliczeń.

Cyframi znaczącymi

danej liczby różnej od zera nazywamy

wszystkie jej cyfry z wyjątkiem występujących na początku zer.
Do cyfr znaczących zalicza się również zera końcowe, jeśli są one
wynikiem obliczeń, a nie zaokrągleń. Oznacza to, że pierwsza
liczba znacząca musi być różna od zera, natomiast druga, trzecia i
dalsze mogą być zerami.

Przedstawianie błędów pomiarowych 
i zaokrąglanie wyników III

Przy zaokrąglaniu

wyniku pomiaru

stosowane są powszechnie

przyjęte zasady zaokrągleń : liczbę kończącą się cyframi

0-4

zaokrąglamy w dół, a 5 - 9 w górę .
Oszacowane

błędy

zaokrąglamy zawsze w górę,

ponieważ w

żadnym przypadku nie wolno pomniejszać błędów. Zawsze lepiej
podać zawyżoną wartość błędu niż go niedoszacować .

Obliczenia wykonujemy zawsze z większą liczbą cyfr, niż chcemy
podać wynik. Zaokrągleń dokonujemy dopiero po zakończeniu
obliczeń.
Błędy

pomiarów zaokrąglane są do pierwszej cyfry znaczącej

(wyjątek: 1, 2). Ostatnia cyfra znacząca w każdym wyniku pomiaru
powinna stać na tym samym miejscu dziesiętnym, co błąd pomiaru.

18

PRZEPIS „KUCHENNY” ZAOKRĄGLANIA :

 

1. Zaokrąglanie zaczynasz od niepewności 

 ZAWSZE W GÓRĘ DO JEDNEGO LUB 

DWÓCH MIEJSC ZNACZĄCYCH 

Do jednego miejsca znaczącego, gdy

na skutek zaokrąglenia błąd ten nie

zwiększy się nie więcej niż o 10%

0,12501      może być tylko 0,2 lub 0,13

Którą wybieramy?

Sprawdzamy:

(0,2 – 0,12501)/0,12501=0,5998 ( blisko 60%)

Zatem niepewność = 0,13 

19

 

1. 

Wynik pomiaru musi być przedstawiony o kilka 
miejsc dziesiętnych dalej niż niepewność np.

  

123,37

6

02  

         0,13  
 

2.  Patrzymy na cyfrę: 

3. W zależności od wartości tej cyfry postępujemy

według następujących zasad:

 

Jeśli jest to 0,1,2,3 lub 4 to zaokrąglamy w dół
tzn. gdyby wynik był 123,37489  to dostaniemy

123,37 

 0,13

 

Jeśli jest to 6,7,8 lub 9 to zaokrąglamy w
górę tzn. dla wyniku 123,37602 zostanie:

123,38 

0,13

 Również zaokrąglamy w górę jeśli jest to 5, a

po niej następują jakiekolwiek cyfry różne od
zera
W  sytuacji  np.  wyniku  123,3750000001
lub                                      123,3753210023
zaokrąglamy do 

123,38  

 0,13

20

ZAPAMIĘTAJ !
PRAWIDŁOWO  ZAOKRĄGLONE:
WARTOŚĆ  WIELKOŚCI  FIZYCZNEJ  

I  JEJ  NIEPEWNOŚĆ  MAJĄ  TAKĄ  

SAMĄ  ILOŚĆ  MIEJSC  DZIESIĘTNYCH !

21

22

23

24