Egzamin poprawkowy z matematyki dla student´
ow chemii, 18 lutego 2010, 10:05 – 13:05
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be
,
da
,
r´o˙zne osoby.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza
,
cego,
jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia .
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n elek-
tronicznych; je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow
serca.
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek! Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE-
˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia, kt´ore zosta ly pojawi ly sie
,
na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
1. Zdefiniowa´c log
a
c pamie
,
taja
,
c o za lo˙zeniach o a i c .
Rozwia
,
za´c r´ownanie log
3
(x
2
+ 2) + log
3
(2x − 1) = 2 + log
3
x .
2. Poda´c definicje
,
tangensa dowolnego ka
,
ta, kt´orego tangens mo˙zna zdefiniowa´c.
Rozwia
,
za´c r´ownanie tg(7t) + tg(3t) = 0 . Zilustrowa´c jej rozwia
,
zanie na okre
,
gu x
2
+ y
2
= 1 .
3. Niech f (x) =
√
1 + cos x , wie
,
c f
0
(x) = −
sin x
2
√
1+cos x
, f
00
(x) = −
2 cos x+2 cos
2
x+sin
2
x
4
√
1+cos x
3
dla tych x ,
dla kt´orych cos x 6= −1 .
Znale´z´c te przedzia ly, na kt´orych funkcja f maleje i te, na kt´orych ro´snie.
Znale´z´c te przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest wypuk la i te, na kt´orych jest wkle
,
s la.
Obliczy´c granice jednostronne pochodnej f
0
funkcji f przy x −→ π .
Obliczy´c granice jednostronne drugiej pochodnej f
00
funkcji f przy x −→ π .
Na podstawie uzyskanych informacji naszkicowa´c wykres funkcji f .
4. Niech A = (1, 1, 2) , B = (9, 1, 1) , C = (1, 3, 1) , O = (0, 0, 0) .
Znale´z´c obje
,
to´s´c czworo´scianu OABC .
Znale´z´c jakikolwiek wektor ~v 6= ~0 =
−−−−→
[0, 0, 0] prostopad ly do p laszczyzny ABC .
Znale´z´c pole tr´ojka
,
ta ABC .
Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny ABC .
Znale´z´c kosinusy obu ka
,
t´ow utworzonych przez p laszczyzne
,
ABC i p laszczyzne
,
o r´ownaniu
x + y + z = 1 .
5. Niech f (x) = xe
x
, g(x) = x
3
e
x
. Wykresy funkcji f i g dziela
,
p laszczyzne
,
na kilka cze
,
´sci. Dwie
z nich sa
,
ograniczone. Znale´z´c sume
,
ich p´ol.
6. Przypomnienie: dowolnego x , to arctg x ∈ −
π
2
,
π
2
jest taka
,
liczba
,
, ˙ze tg(arctg x) = x . Znale´z´c
trzeci wielomian Taylora funkcji arctg w punkcie x
0
= 0 .
Wykaza´c, ˙ze je´sli T
3
(x) oznacza warto´s´c trzeciego wielomianu funkcji arctg w punkcie 0 oraz
0 < x < 1 , to spe lniona jest nier´owno´s´c
T
3
(x) < arctg x < T
3
(x) +
x
5
5
.
Korzystaja
,
c z uzyskanej nier´owno´sci wykaza´c, ˙ze
8
9
√
3
<
π
6
<
8
9
√
3
+
1
45
√
3
.
Informacje po˙zyteczne lub zbe
,
dne: 5
2
= 25 , 6
2
= 36 , 7
2
= 49 , 8
2
= 64 , 9
2
= 81 , 10
2
= 100 ,
11
2
= 121 , 12
2
= 144 , 13
2
= 169 , 14
2
= 196 , 15
2
= 225 , 16
2
= 256 , 17
2
= 289 , 18
2
= 324 ,
sin
5π
6
=
1
2
, cos
7π
6
= −
√
3
2
, tg 0 = 0 , 3,99999999999 < 2 · 2 < 4,0000000000001 .