Egzamin poprawkowy z matematyki dla student´

ow chemii, 18 lutego 2010, 10:05 – 13:05

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza

,

cego,

jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia .

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elek-

tronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow

serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek! Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE-

˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zosta ly pojawi ly sie

,

na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

1. Zdefiniowa´c log

a

c pamie

,

taja

,

c o za lo˙zeniach o a i c .

Rozwia

,

za´c r´ownanie log

3

(x

2

+ 2) + log

3

(2x − 1) = 2 + log

3

x .

2. Poda´c definicje

,

tangensa dowolnego ka

,

ta, kt´orego tangens mo˙zna zdefiniowa´c.

Rozwia

,

za´c r´ownanie tg(7t) + tg(3t) = 0 . Zilustrowa´c jej rozwia

,

zanie na okre

,

gu x

2

+ y

2

= 1 .

3. Niech f (x) =

√

1 + cos x , wie

,

c f

0

(x) = −

sin x

2

√

1+cos x

, f

00

(x) = −

2 cos x+2 cos

2

x+sin

2

x

4

√

1+cos x

3

dla tych x ,

dla kt´orych cos x 6= −1 .

Znale´z´c te przedzia ly, na kt´orych funkcja f maleje i te, na kt´orych ro´snie.

Znale´z´c te przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest wypuk la i te, na kt´orych jest wkle

,

s la.

Obliczy´c granice jednostronne pochodnej f

0

funkcji f przy x −→ π .

Obliczy´c granice jednostronne drugiej pochodnej f

00

funkcji f przy x −→ π .

Na podstawie uzyskanych informacji naszkicowa´c wykres funkcji f .

4. Niech A = (1, 1, 2) , B = (9, 1, 1) , C = (1, 3, 1) , O = (0, 0, 0) .

Znale´z´c obje

,

to´s´c czworo´scianu OABC .

Znale´z´c jakikolwiek wektor ~v 6= ~0 =

−−−−→

[0, 0, 0] prostopad ly do p laszczyzny ABC .

Znale´z´c pole tr´ojka

,

ta ABC .

Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny ABC .

Znale´z´c kosinusy obu ka

,

t´ow utworzonych przez p laszczyzne

,

ABC i p laszczyzne

,

o r´ownaniu

x + y + z = 1 .

5. Niech f (x) = xe

x

, g(x) = x

3

e

x

. Wykresy funkcji f i g dziela

,

p laszczyzne

,

na kilka cze

,

´sci. Dwie

z nich sa

,

ograniczone. Znale´z´c sume

,

ich p´ol.

6. Przypomnienie: dowolnego x , to arctg x ∈ −

π

2

,

π

2

jest taka

,

liczba

,

, ˙ze tg(arctg x) = x . Znale´z´c

trzeci wielomian Taylora funkcji arctg w punkcie x

0

= 0 .

Wykaza´c, ˙ze je´sli T

3

(x) oznacza warto´s´c trzeciego wielomianu funkcji arctg w punkcie 0 oraz

0 < x < 1 , to spe lniona jest nier´owno´s´c

T

3

(x) < arctg x < T

3

(x) +

x

5

5

.

Korzystaja

,

c z uzyskanej nier´owno´sci wykaza´c, ˙ze

8

9

√

3

<

π

6

<

8

9

√

3

+

1

45

√

3

.

Informacje po˙zyteczne lub zbe

,

dne: 5

2

= 25 , 6

2

= 36 , 7

2

= 49 , 8

2

= 64 , 9

2

= 81 , 10

2

= 100 ,

11

2

= 121 , 12

2

= 144 , 13

2

= 169 , 14

2

= 196 , 15

2

= 225 , 16

2

= 256 , 17

2

= 289 , 18

2

= 324 ,

sin

5π

6

=

1
2

, cos

7π

6

= −

√

3

2

, tg 0 = 0 , 3,99999999999 < 2 · 2 < 4,0000000000001 .