dr Dušan Bogdanov
1
Ekonometria 1
Wykład 7
Weryfikacja jednorównaniowego modelu liniowego
1
Weryfikacja jednorównaniowego modelu liniowego szacowanego klasyczn
ą
metod
ą
najmniejszych
kwadratów polega na zbadaniu:
•
merytorycznej oceny sensowno
ś
ci ocen parametrów strukturalnych modelu,
•
dopasowania modelu do danych empirycznych,
•
istotno
ś
ci parametrów strukturalnych modelu,
•
rozkładu składnika losowego.
Uzyskane w wyniku estymacji szacunki parametrów modelu wskazywa
ć
powinny kierunek
zale
Ŝ
no
ś
ci mi
ę
dzy zmienn
ą
obja
ś
nian
ą
i odpowiedni
ą
zmienn
ą
obja
ś
niaj
ą
c
ą
, zgodny z zale
Ŝ
no
ś
ci
ą
wynikaj
ą
c
ą
z danych empirycznych, to znaczy,
Ŝ
e współczynnik korelacji pomi
ę
dzy tymi zmiennymi
i znak oceny parametru powinny by
ć
jednakowe. W przypadku zbyt du
Ŝ
ej korelacji pomi
ę
dzy
zmiennymi obja
ś
niaj
ą
cymi wprowadzonymi do modelu ta prawidłowo
ść
mo
Ŝ
e zosta
ć
zakłócona. Jest
to tak zwane zjawisko koincydencji. W takiej sytuacji nale
Ŝ
y zmodyfikowa
ć
zestaw zmiennych
obja
ś
niaj
ą
cych.
Dopasowanie modelu do danych empirycznych ocenia si
ę
na podstawie współczynnika zgodno
ś
ci,
który jest unormowan
ą
wielko
ś
ci
ą
mierz
ą
c
ą
rozproszenie punktów empirycznych wokół oszacowanej
funkcji. Wyra
Ŝ
a si
ę
on wzorem:
(
)
2
2
1
2
1
2
1
2
y
n
t
t
n
t
k
j
tk
k
t
S
S
y
y
x
a
y
=
−
−
=
∑
∑
∑
=
=
=
ϕ
(7.1)
gdzie:
2
S
- wariancja wektora reszt,
2
y
S
- wariancja zmiennej obja
ś
nianej,
U
Ŝ
ywa si
ę
równie
Ŝ
współczynnika determinacji (korelacji wielorakiej):
2
2
1
ϕ
−
=
R
(7.2)
oraz, zbli
Ŝ
onego do powy
Ŝ
szych, w interpretacji, współczynnika zmienno
ś
ci przypadkowej (losowej):
y
S
W
=
(7.3)
1
Wykład został przygotowany na podstawie K. Hanusik, U. Łangowska, Modelowanie ekonometryczne procesów
społeczno-gospodarczych, UO Opole 1994
dr Dušan Bogdanov
2
Ekonometria 1
Współczynnik zmienno
ś
ci
2
ϕ
przybiera warto
ś
ci z przedziału [0,l]. Przypadek
2
ϕ
= 1
otrzymujemy, gdy:
∑
=
=
k
j
ij
j
x
a
y
1
(7.4)
co oznacza,
Ŝ
e nie ma
Ŝ
adnej zale
Ŝ
no
ś
ci zmiennej obja
ś
nianej od zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych.
Przypadek
2
ϕ
= 0 otrzymujemy, gdy wszystkie warto
ś
ci empiryczne zmiennej obja
ś
nianej s
ą
to
Ŝ
same
z jej warto
ś
ciami teoretycznymi, to znaczy wyznaczonymi z modelu.
Współczynnik zgodno
ś
ci w przybli
Ŝ
eniu pokazuje, jaka cz
ęść
zmienno
ś
ci zmiennej obja
ś
nianej nie
została przez model obja
ś
niona.
Interpretacja współczynnika determinacji jest odwrotna. W literaturze przedmiotu u
Ŝ
ywa si
ę
czasem współczynnika
2
R
R
=
, nosz
ą
cego nazw
ę
współczynnika korelacji wielorakiej.
Współczynnik zmienno
ś
ci losowej informuje, jak
ą
cz
ęść
ś
redniej warto
ś
ci zmiennej obja
ś
nianej
stanowi odchylenie standardowe modelu. Lepsze dopasowanie modelu do danych empirycznych
odpowiada bli
Ŝ
szej zeru warto
ś
ci miernika.
W procesie weryfikacji porównujemy warto
ś
ci współczynników wyznaczone dla analizowanego
modelu z warto
ś
ciami granicznymi. Warto
ś
ci krytyczne przyjmowane s
ą
obligatoryjnie przez
prowadz
ą
cego badanie, na poziomie gwarantuj
ą
cym po
Ŝą
dane dopasowanie modelu do danych
empirycznych.
W dalszej cz
ęś
ci weryfikacji modelu ekonometrycznego wykorzystywana jest teoria testowania
hipotez statystycznych. Podstawy teorii weryfikacji hipotez przedstawione s
ą
mi
ę
dzy innymi
w podr
ę
cznikach do statystyki
2
.
Do badania istotno
ś
ci parametrów strukturalnych modelu mo
Ŝ
na wykorzysta
ć
nast
ę
puj
ą
c
ą
funkcj
ę
testow
ą
(por. wykład 6, twierdzenie 6):
( )
ii
i
i
i
c
s
a
f
α
α
−
=
(7.5)
gdzie:
i
a
- szacunek i-tego parametru,
i
α
- jego warto
ść
rzeczywista (i=1,2,...m),
ii
c
s
- bł
ę
dy standardowe ocen parametrów.
2
Z. Hellwig, Elementy rachunku prawdopodobie
ń
stwa i statystyki matematycznej, PWN Warszawa 1987,
s.253 i nast. A. Luszniewicz, T. Słaby, Statystyka stosowana, PWE Warszawa 1996, s.138 i nast. S. Ostasiewicz,
Z. Rusnak, U. Siedlecka Wyd. AE we Wrocławiu, Wrocław 1998, s. 235 i nast.
dr Dušan Bogdanov
3
Ekonometria 1
Zmienna losowa
( )
i
t
α
ma rozkład Studenta o n-k stopniach swobody, gdzie k oznacza ilo
ść
szacowanych parametrów, n - liczebno
ść
próby.
Badanie istotno
ś
ci parametrów polega na sprawdzeniu, czy ró
Ŝ
ni
ą
si
ę
one istotnie od zera.
Stawiamy hipotez
ę
zerow
ą
,
Ŝ
e rzeczywista warto
ść
parametru jest równa zero:
0
:
0
=
i
H
α
wobec hipotezy alternatywnej,
Ŝ
e rzeczywista warto
ść
parametru ró
Ŝ
ni si
ę
od zera:
0
:
1
≠
i
H
α
Hipoteza
0
H
prowadzi do zale
Ŝ
no
ś
ci:
( )
ii
i
c
s
a
f
=
0
(7.6)
Ustalamy z rozkładu Studenta o n-k stopniach swobody warto
ść
krytyczn
ą
*
f
dla przyj
ę
tego
poziomu istotno
ś
ci
µ
. Jest to taka warto
ść
,
Ŝ
e prawdopodobie
ń
stwo, i
Ŝ
zmienna losowa
f
przyjmie
warto
ść
wi
ę
ksz
ą
ni
Ŝ
*
f
, jest mniejsze ni
Ŝ
µ
.
Je
Ŝ
eli
( )
*
0
f
f
>
, to oznacza,
Ŝ
e zaszło zdarzenie mało prawdopodobne, czyli inaczej mówi
ą
c,
zdarzenie,
Ŝ
e rzeczywista warto
ść
parametru wynosi zero, jest mało prawdopodobne. W tej sytuacji
hipotez
ę
zerow
ą
odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej i przyjmujemy,
Ŝ
e warto
ść
parametru
istotnie ró
Ŝ
ni si
ę
od zera.
W przeciwnym przypadku, to jest gdy
( )
*
0
f
f
≤
, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
zerowej. Oznacza to konieczno
ść
modyfikacji zestawu zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych modelu.
Przedstawione badanie dotyczy istotno
ś
ci pojedynczych parametrów modelu. Natomiast przy
badaniu istotno
ś
ci całego wektora parametrów weryfikowana jest hipoteza zakładaj
ą
ca,
Ŝ
e wszystkie
parametry strukturalne modelu oprócz wyrazu wolnego s
ą
równe zeru. Na podstawie twierdzenia 7
przedstawionego na wykładzie 6 zmienna losowa:
(
)
2
2
1
1
1
1
R
k
n
R
k
f
−
−
−
=
(7.7)
ma rozkład Fishera-Snedecora o k-1 i n-k stopniach swobody.
dr Dušan Bogdanov
4
Ekonometria 1
Stawiamy hipotez
ę
:
0
H
nie zachodzi zale
Ŝ
no
ść
korelacyjna pomi
ę
dzy zmienn
ą
obja
ś
nian
ą
i zmiennymi
obja
ś
niaj
ą
cymi wobec hipotezy alternatywnej,
:
1
H
zachodzi zale
Ŝ
no
ść
korelacyjna pomi
ę
dzy zmienn
ą
obja
ś
nian
ą
i zmiennymi obja
ś
niaj
ą
cymi.
Dla danego poziomu istotno
ś
ci odczytujemy z tablic warto
ść
krytyczn
ą
*
f
. Je
Ŝ
eli wyliczone
f
jest wi
ę
ksze od warto
ś
ci krytycznej, to znaczy,
Ŝ
e hipoteza zerowa prowadzi do zdarzenia mało
prawdopodobnego i nale
Ŝ
y j
ą
odrzuci
ć
na rzecz hipotezy alternatywnej. W przeciwnym przypadku nie
ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej i przyjmujemy wtedy,
Ŝ
e zmienne obja
ś
niaj
ą
ce
w analizowanym modelu nie wpływaj
ą
istotnie na kształtowanie si
ę
zmiennej obja
ś
nianej.
Kolejnym elementem weryfikacji jest badanie rozkładu składnika losowego modelu. Polega ono
na sprawdzeniu prawdziwo
ś
ci zało
Ŝ
e
ń
, które pozwoliły na zastosowanie do szacowania modelu
klasycznej metody najmniejszych kwadratów. Na podstawie wcze
ś
niejszych rozwa
Ŝ
a
ń
teoretycznych
wiemy,
Ŝ
e wektor reszt modelu, który jest empiryczn
ą
realizacj
ą
składnika losowego, powinien by
ć
realizacj
ą
zmiennej losowej o rozkładzie normalnym
( )
σ
,
0
N
. W celu sprawdzenia, czy składniki
losowe
t
ε
; spełniaj
ą
przyj
ę
te a priori zało
Ŝ
enia, przedstawimy zaproponowan
ą
przez S. Bartosiewicz
procedur
ę
badania składnika losowego na podstawie wektora reszt modelu
3
. Istotn
ą
cech
ą
opisywanej
metody jest to,
Ŝ
e sprawdzane s
ą
kolejno według stopnia zło
Ŝ
ono
ś
ci własno
ś
ci, które powinien
spełnia
ć
wektor reszt, je
Ŝ
eli składniki losowe spełniaj
ą
warunki stosowalno
ś
ci metody najmniejszych
kwadratów.
Badanie wektora reszt rozpoczyna analiza symetrii jego rozkładu. Rozkład normalny jest
symetryczny, a wi
ę
c w wektorze reszt prawdopodobie
ń
stwo wyst
ę
powania reszt dodatnich i ujemnych
jest jednakowe. Stawiana jest hipoteza zerowa
)
0
(
)
0
(
:
0
<
=
>
t
t
e
P
e
P
H
wobec hipotezy alternatywnej
)
0
(
)
0
(
:
1
<
≠
>
t
t
e
P
e
P
H
Do sprawdzenia hipotezy zerowej, stosowana jest statystyka:
1
1
2
1
−
−
−
=
n
n
m
n
m
n
m
f
(7.8)
gdzie n jest liczb
ą
obserwacji, m liczb
ą
reszt dodatnich. Dla dostatecznie du
Ŝ
ej próby statystyka
f
3
S. Bartosiewicz, Ekonometria, PWE Warszawa 1978 r. s. 133 i nast.
dr Dušan Bogdanov
5
Ekonometria 1
ma rozkład zbli
Ŝ
ony do normalnego. Je
Ŝ
eli dla przyj
ę
tego poziomu istotno
ś
ci warto
ść
krytyczna
*
f
odczytana z tablic jest wi
ę
ksza od obliczonej to hipotez
ę
zerow
ą
nale
Ŝ
y przyj
ąć
.
Dla małych prób statystyka
f
ma rozkład Studenta o n-1 stopniach swobody. Ponadto
w przypadku małych prób stosuje si
ę
test symetrii oparty na zało
Ŝ
eniu,
Ŝ
e liczba reszt dodatnich jest
zmienn
ą
losow
ą
o rozkładzie dwumianowym z parametrami p = q = 1/2 . Opracowane s
ą
tablice
do tego testu podaj
ą
ce dla ustalonego poziomu istotno
ś
ci przedział, w którym powinna si
ę
znale
źć
liczba reszt dodatnich, aby wektor reszt mo
Ŝ
na było uzna
ć
za symetryczny.
W przypadku modeli dynamicznych bada si
ę
losowo
ść
składnika losowego gwarantuj
ą
c
ą
równomierne rozproszenie danych empirycznych wokół oszacowanej linii. Przy czym symetria
rozkładu wektora reszt nie gwarantuje losowo
ś
ci składnika losowego. W przypadku, gdy w wektorze
reszt wyst
ą
pi taka sama ilo
ść
reszt dodatnich i ujemnych, ale ich uło
Ŝ
enie (np. dla dziesi
ę
ciu
obserwacji i, pi
ęć
pierwszych pod oszacowan
ą
krzyw
ą
i pi
ęć
nast
ę
pnych nad krzyw
ą
) trudno uzna
ć
za przypadkowe, przyjmuje si
ę
,
Ŝ
e jest ono ukształtowane na skutek działania czynników
systematycznych. Do sprawdzenia losowo
ś
ci rozkładu reszt mo
Ŝ
na stosowa
ć
test serii. Przez seri
ę
rozumiemy ci
ą
g kolejnych reszt o tym samym znaku. Testy serii podaj
ą
dla ustalonego poziomu
istotno
ś
ci i liczebno
ś
ci wektora reszt minimaln
ą
liczb
ę
serii lub maksymaln
ą
długo
ść
najdłu
Ŝ
szej serii.
Jedno z zało
Ŝ
e
ń
stosowalno
ś
ci klasycznej metody najmniejszych kwadratów dotyczy stało
ś
ci
wariancji składnika losowego modelu. Ta jego wła
ś
ciwo
ść
sprawdzana jest poprzez badanie
stacjonarno
ś
ci wektora reszt, a wi
ę
c jego niezale
Ŝ
no
ś
ci od czasu. Zatem badanie stacjonarno
ś
ci
wektora reszt odnosi si
ę
do modeli dynamicznych. Procedura tego kroku weryfikacji polega
na sprawdzeniu stopnia skorelowania modułów reszt i zmiennej czasowej. Je
Ŝ
eli współczynnik
korelacji modułów reszt z czasem nieistotnie ró
Ŝ
ni si
ę
od zera, przyjmuje si
ę
,
Ŝ
e wektor reszt modelu
jest stacjonarny. W tym celu sprawdzana jest hipoteza zerowa:
0
:
0
=
t
e
t
r
H
wobec hipotezy alternatywnej:
0
:
1
≠
t
e
t
r
H
.
Statystyk
ę
słu
Ŝą
c
ą
do sprawdzenia hipotezy zerowej przedstawia wzór:
2
1
1
t
e
t
e
t
t
r
n
r
f
−
−
=
(7.9)
Statystyka
f
ma rozkład Studenta o n-2 stopniach swobody. Z tablic rozkładu Studenta
odczytujemy dla ustalonego poziomu istotno
ś
ci i stopni swobody warto
ść
krytyczn
ą
*
f
i je
Ŝ
eli jest
ona wi
ę
ksza lub równa warto
ś
ci empirycznej
f
, wektor reszt mo
Ŝ
na uzna
ć
za stacjonarny.
Je
Ŝ
eli parametry modelu liniowego były szacowane klasyczn
ą
metod
ą
najmniejszych kwadratów,
dr Dušan Bogdanov
6
Ekonometria 1
to zapewniona jest nieobci
ąŜ
ono
ść
składnika losowego, w tym sensie,
Ŝ
e warto
ść
oczekiwana
składnika losowego jest równa zero. Zatem dla tej klasy modeli nie ma potrzeby bada
ć
warto
ś
ci
oczekiwanej składnika losowego. Natomiast w przypadku, gdy weryfikowany jest model segmentowy,
model adaptacyjny czy te
Ŝ
model liniowy bez wyrazu wolnego procedura powinna obejmowa
ć
sprawdzenie warto
ś
ci oczekiwanej składnika losowego. W tym celu przyjmuje si
ę
hipotez
ę
:
( )
0
0
=
=
t
E
H
ε
wobec hipotezy alternatywnej:
( )
0
1
≠
=
t
E
H
ε
Sprawdzianem
0
H
jest statystyka:
s
n
e
f
1
−
=
(7.10)
gdzie:
e
oznacza
ś
redni
ą
warto
ść
wektora reszt modelu, natomiast
2
s
- ocen
ę
wariancji składnika losowego,
n - liczb
ę
obserwacji wektora reszt.
Analizowana statystyka ma rozkład Studenta o n-1 stopniach swobody.
0
H
mo
Ŝ
e by
ć
zatem
uznana za prawdziw
ą
, gdy empiryczna warto
ść
f
jest nie wi
ę
ksza od warto
ś
ci krytycznej
*
f
odczytanej z tablic dla ustalonego poziomu istotno
ś
ci i stopni swobody.
W modelach dynamicznych mo
Ŝ
e wyst
ą
pi
ć
zale
Ŝ
no
ść
składników losowych z ró
Ŝ
nych momentów
czasu. T
ę
niepo
Ŝą
dan
ą
wła
ś
ciwo
ść
składnika losowego nazywa si
ę
autokorelacj
ą
. Przejawia si
ę
ona
istnieniem istotnego skorelowania pomi
ę
dzy ci
ą
giem reszt
(
)
τ
−
=
n
t
e
t
,...
2
,
1
,
oraz ci
ą
giem reszt
oddalonych o pewien okres
τ
to jest
τ
+
t
e
. Ograniczeniem dla warto
ś
ci
τ
jest wymóg formalny,
Ŝ
e do obliczenia współczynnika korelacji potrzebne s
ą
wektory obserwacji dwóch zmiennych
o conajmniej 3 elementach. Do sprawdzenia czy warto
ść
współczynnika korelacji badanej pary ci
ą
gów
reszt jest dostatecznie bliska zeru, stosuje si
ę
procedur
ę
analogiczn
ą
jak w przypadku badania
stacjonarno
ś
ci składnika losowego.
Ponadto do badania autokorelacji składnika losowego został opracowany test Durbina-Watsona.
Dla zaobserwowanego wektora reszt uporz
ą
dkowanego w czasie statystyka słu
Ŝą
ca do weryfikacji
hipotezy o niezale
Ŝ
no
ś
ci składników losowych wyra
Ŝ
a si
ę
wzorem:
(
)
∑
∑
=
=
−
−
=
n
t
t
n
t
t
t
e
e
e
f
1
2
2
2
1
(7.11)
dr Dušan Bogdanov
7
Ekonometria 1
Rozkład statystyki
f
jest uzale
Ŝ
niony od liczby obserwacji oraz od liczby zmiennych
obja
ś
niaj
ą
cych w modelu. Dla rozkładu statystyki Durbina-Watsona wyznaczane s
ą
warto
ś
ci
krytyczne. Je
ś
li warto
ść
zaobserwowana mie
ś
ci si
ę
w wyznaczonym przedziale, to test nie rozstrzyga
wyst
ę
powania autokorelacji wektora reszt. Je
Ŝ
eli za
ś
warto
ść
empiryczna jest mniejsza lub równa
dolnej granicy przedziału, to zjawisko autokorelacji wyst
ę
puje, natomiast, gdy jest wi
ę
ksza od górnej
granicy przedziału krytycznego autokorelacja składnika losowego nie wyst
ę
puje.
Sprawdzenie czy reszty modelu podlegaj
ą
prawu rozkładu normalnego jest szczególnie wa
Ŝ
ne
w przypadku modeli przeznaczonych do prognozowania. Wykorzystywane s
ą
tutaj testy zgodno
ś
ci,
dla du
Ŝ
ych prób test
λ
-Kołmogorowa, dla małych prób test Hellwiga. Testy te polegaj
ą
na porównaniu dystrybuanty empirycznej reszt
( )
t
e
G
z dystrybuant
ą
teoretyczn
ą
rozkładu
normalnego. Formułuje si
ę
nast
ę
puj
ą
c
ą
hipotez
ę
zerow
ą
:
( ) ( )
t
t
e
F
e
G
H
=
:
0
wobec alternatywy:
( )
( )
t
t
e
F
e
G
H
≠
:
1
gdzie:
( )
t
e
G
- warto
ść
dystrybuanty empirycznej w punkcie
t
e
;
( )
t
e
F
- warto
ść
dystrybuanty rozkładu normalnego o warto
ś
ci
ś
redniej 0 i odchyleniu standardowym
wektora reszt w punkcie
t
e
.
W te
ś
cie
λ
-Kołmogorowa, ze wzgl
ę
du na du
Ŝą
liczb
ę
obserwacji ci
ą
g reszt zast
ę
puje si
ę
szeregiem rozdzielczym.
Sprawdzenie hipotezy o normalno
ś
ci rozkładu reszt testem
λ
-Kołmogorowa przebiega według
nast
ę
puj
ą
cego algorytmu:
1. uporz
ą
dkowa
ć
reszty rosn
ą
co, utworzy
ć
szereg rozdzielczy kumulacyjny reszt dla przyj
ę
tej
arbitralnie liczby m równych klas
m
i
w
u
i
i
...
2
,
1
,
,
=
, w ka
Ŝ
dej klasie, na ko
ń
cu przedziału
,
i
w
obliczy
ć
cz
ę
sto
ść
skumulowan
ą
( )
i
w
G
,
2. wyznaczy
ć
odchylenie standardowe wektora reszt
e
s
:
3. wyznaczy
ć
warto
ś
ci dystrybuanty rozkładu normalnego
( )
e
s
N
,
0
na ko
ń
cach przedziałów
( )
i
w
F
4. wyznaczy
ć
ci
ą
g ró
Ŝ
nic pomi
ę
dzy dystrybuant
ą
empiryczn
ą
( )
i
w
G
i dystrybuant
ą
rozkładu
normalnego
( )
i
w
F
:
5. wyznaczy
ć
warto
ść
statystyki:
dr Dušan Bogdanov
8
Ekonometria 1
( ) ( )
m
w
F
w
G
i
i
i
⋅
−
=
max
λ
(7.12)
Otrzymana warto
ść
empiryczna. powinna by
ć
nie wi
ę
ksza od odczytanej z tablic rozkładu
−
λ
Kołmogorowa warto
ś
ci teoretycznej przy zało
Ŝ
onym poziomie istotno
ś
ci.
Sprawdzenie hipotezy
0
H
testem Hellwiga
4
przebiega natomiast według nast
ę
puj
ą
cego
algorytmu:
1. uporz
ą
dkowa
ć
reszty
t
e
; w ci
ą
g rosn
ą
cy i wyznaczy
ć
odchylenie standardowe wektora reszt
e
s
:
2. wyznaczy
ć
warto
ś
ci
( )
t
e
F
dystrybuanty rozkładu normalnego,
3. przedział zmienno
ś
ci dystrybuanty (0,1) podzieli
ć
na n równych cz
ęś
ci, zwanych celami,
4. wyznaczy
ć
ilo
ść
K cel pustych, to znaczy takich, do których nie trafiła
Ŝ
adna warto
ść
dystrybuanty
( )
t
e
F
. Rozkład reszt nale
Ŝ
y uzna
ć
za normalny, je
Ŝ
eli liczba K cel pustych
znajduje si
ę
wewn
ą
trz przedziału podanego w tablicach testu Hellwiga.
Z powy
Ŝ
szego wynika,
Ŝ
e procedura weryfikacji modelu ekonometrycznego składa si
ę
z szeregu
kroków, przy czym ka
Ŝ
dy z nich ko
ń
czy si
ę
ocen
ą
pewnej własno
ś
ci modelu decyduj
ą
cej o jego
jako
ś
ci. Brak pozytywnej oceny na danym etapie dyskwalifikuje model i przerywa procedur
ę
weryfikacji. Model wymaga modyfikacji, co z reguły oznacza konieczno
ść
powrotu do wcze
ś
niejszych
etapów modelowania. Rozwa
Ŝ
my najcz
ęś
ciej spotykane wady modeli, wykrywane w trakcie weryfikacji
i ich przyczyn.
Wyst
ą
pienie zbyt wysokiej warto
ś
ci współczynnika zgodno
ś
ci
2
ϕ
jest dowodem braku zale
Ŝ
no
ś
ci
liniowej pomi
ę
dzy zmienn
ą
obja
ś
nian
ą
a zmiennymi obja
ś
niaj
ą
cymi. W takiej sytuacji nale
Ŝ
y albo
znale
źć
zestaw zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych liniowo zwi
ą
zanych ze zmienn
ą
obja
ś
nian
ą
, albo dobra
ć
wła
ś
ciw
ą
posta
ć
analityczn
ą
funkcji, co oznacza powrót do etapu doboru zmiennych do modelu
lub do etapu doboru postaci analitycznej modelu. Analogicznie post
ę
pujemy w przypadku braku
dostatecznej wyrazisto
ś
ci modelu.
Analiza istotno
ś
ci parametrów strukturalnych modelu rozstrzyga o poprawno
ś
ci doboru zmiennych
do modelu. W sytuacji, gdy wszystkie parametry s
ą
istotnie ró
Ŝ
ne od zera mo
Ŝ
na przyj
ąć
,
Ŝ
e zmienne
obja
ś
niaj
ą
ce dostatecznie silnie wpływaj
ą
na zmienn
ą
obja
ś
nian
ą
. Zatem ze wzgl
ę
du na zestaw
zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych model jest poprawny. W przeciwnym przypadku nale
Ŝ
y modyfikowa
ć
zestaw zmiennych. Najcz
ęś
ciej eliminuje si
ę
ze zbioru zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych te, które nie
wpływaj
ą
istotnie na zmienn
ą
obja
ś
nian
ą
. Jednak przyczyn
ą
zbyt małych warto
ś
ci odpowiednich
statystyk testuj
ą
cych istotno
ść
parametrów strukturalnych modelu mo
Ŝ
e by
ć
współliniowo
ść
4
Por. Z. Hellwig, Elementy rachunku prawdopodobie
ń
stwa i statystyki matematycznej, PWN Warszawa 1987,
s.270 i nast.
dr Dušan Bogdanov
9
Ekonometria 1
zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych, a nie ich zbyt niskie skorelowanie ze zmienn
ą
obja
ś
nian
ą
. W takiej sytuacji
zastosowanie innej kombinacji zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych mo
Ŝ
e da
ć
po
Ŝą
dane efekty.
Niepo
Ŝą
dane własno
ś
ci składnika losowego modelu mog
ą
powsta
ć
na skutek nieprawidłowej
postaci analitycznej szacowanej linii. Wtedy wektor reszt b
ę
dzie niesymetryczny lub nielosowy.
Równie
Ŝ
zmiana postaci analitycznej modelu mo
Ŝ
e by
ć
konieczna w przypadku, gdy warto
ść
oczekiwana wektora reszt modelu oka
Ŝ
e si
ę
istotnie ró
Ŝ
na od zera. Badanie tego parametru struktury
stochastycznej modelu jest bowiem wymagane w odniesieniu do modeli nieliniowych, których liniowe
transformanty szacowane s
ą
klasyczn
ą
metod
ą
najmniejszych kwadratów, modeli segmentowych
oraz modeli adaptacyjnych. W pierwszym przypadku pozytywny efekt mo
Ŝ
e przynie
ść
zmiana typu
zastosowanej funkcji lub sposobu estymacji funkcji. W przypadku modeli segmentowych mo
Ŝ
e by
ć
konieczna zmiana długo
ś
ci segmentów lub zmiana modulatorów w poszczególnych segmentach
modelu. Modele adaptacyjne mog
ą
by
ć
poprawione poprzez zmian
ę
długo
ś
ci segmentów.
W sytuacji braku stacjonarno
ś
ci wektora reszt modelu, a wi
ę
c niejednorodno
ś
ci wariancji składnika
losowego, popraw
ę
własno
ś
ci estymatorów parametrów modelu daje zastosowanie uogólnionej
metody najmniejszych kwadratów.
Autokorelacja składnika losowego modelu bywa skutkiem: złego dopasowania postaci analitycznej
modelu, nieprawidłowego doboru zmiennych lub specyfiki modelowanego zjawiska ekonomicznego.
Dwie pierwsze przyczyny wykryte zostan
ą
w trakcie badania symetrii i losowo
ś
ci wektora reszt.
W sytuacji, gdy wyst
ą
pi autokorelacja składnika losowego nale
Ŝ
y zmieni
ć
metod
ę
estymacji modelu.
Badanie normalno
ś
ci rozkładu składnika losowego jest po
Ŝą
dane, gdy model ma by
ć
zastosowany
do prognozowania. Wyst
ą
pienie tego typu rozkładu daje, bowiem wi
ę
ksz
ą
gwarancj
ę
otrzymania
prognoz dopuszczalnych. Natomiast brak normalno
ś
ci rozkładu nie dyskwalifikuje modelu.
dr Dušan Bogdanov
10
Ekonometria 1
Pytania kontrolne:
1. O czym nas informuje współczynnik zgodno
ś
ci?
2. Jaka jest zale
Ŝ
no
ść
pomi
ę
dzy współczynnikiem zgodno
ś
ci a współczynnikiem
determinacji?
3. W jakiej klasie modeli nie ma potrzeby bada
ć
warto
ś
ci oczekiwanej składnika losowego?
4. Do czego słu
Ŝ
y i na czym polega test Durbina-Watsona?
5. Jakie mog
ą
by
ć
przyczyny wyst
ę
powania zjawiska autokorelacji składnika losowego?