Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

12 

– 

jasina@pg.gda.pl 

4. 

Zasada prac wirtualnych dla ciała doskonale sztywnego 
(nieodkształcalnego) znajdującego się  
w stanie równowagi (przypadek statyki) 

Jest to wariant ogólnej zasady zachowania energii znanej z fizyki. 

4.1. Przemieszczenia 

wirtualne 

Ponieważ rozważamy zagadnienia statyczne, to ciała nie wykonują ruchu. 
Można jednak wyobrazić sobie pewien „mały” ruch i otrzymane zeń zależności 
przyjąć za podstawę analizy zachowania się ciała. 

Def. 
Przemieszczenie wirtualne, czasem używa się określenia „przemieszczenie przy-
gotowane” (zob. S. Banach, Mechanika w zakresie szkół akademickich [1947]) – 
jest to dowolne (pewne wyobrażalne) odchylenie od położenia równowagi 
spełniające następujące warunki (zob. Błąd! Nie można odnaleźć źródła odsy-
łacza.):  

a)  jest nieskończenie małe 

0

(

)

L

δ 

; 

b)  jest niezależne od sił obciążających; 
c)   jest zgodne z więzami geometrycznymi. 

 

Rys. 4.1   Przemieszczenie wirtualne 

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

13 

– 

jasina@pg.gda.pl 

4.2.   Zasada prac wirtualnych jest alternatywnym sformułowaniem  

warunku równowagi pewnego układu sił działającego na ciało 

Tw.  
Zasada Prac Wirtualnych. 
Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi ciała sztywnego jest by 
praca wszystkich sił 

 na przemieszczeniach wirtualnych 

i

P

i

δ  (zob. Rys. 4.2) 

była równa zeru 

 

i

i

i

L

P

δ

=

⋅

∑

,   gdzie 

i

i

P

δ  – para sprzężona. (4.1) 

 

Rys. 4.2   Sprzężona para siła-przemieszczenie 

 
W przypadku płaskiego układu sił (Rys. 4.3), przyjmując pewien kartezjański 
układ współrzędnych 

( , , )

x y z

, możemy zapisać następujące równania równo-

wagi: 

 

.  

(4.2) 

0,

0,

0

i x

i y

i o

P

P

M

=

=

∑

∑

∑

=

 

Rys. 4.3   Płaski układ sił działający na ciało 

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

14 

– 

jasina@pg.gda.pl 

4.3.  Zasady prac wirtualnych wynikają z rachunku wariacyjnego 
W płaskim układzie sił równania równowagi wynikają z zapisanej wzorem (4.1) 
zasady prac wirtualnych.  

Przy szczególnym przyjęciu przemieszczenia wirtualnego ciała (Tab. 4.1), 

tzn. przyjmując pewien kartezjański układ współrzędnych 

( , , )

x y z

 można zapi-

sać je w poniższy sposób. 
 

przemieszczenie wirtualne 

wynikające równanie równowagi 

translacja ciała wzdłuż osi  x  

0

i x

P

=

∑

 

translacja ciała wzdłuż osi   

y

0

i y

P

=

∑

 

rotacja ciała wokół punktu 

O

 

0

i o

M

=

∑

 

Tab. 4.1    

Przemieszczenie ciała sztywnego ma trzy możliwe uogólnione składowe 

,

,

x

y

o

δ δ ϕ . Można, zatem rozdzielić ruch (na składowe) i rozpatrywać niezależ-

nie stany przemieszczeń uogólnionych (przemieszczenie w kierunku  x , prze-
mieszczenie  w kierunku  ,  obrót względem punktu  ). 

y

O

 

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

15 

– 

jasina@pg.gda.pl 

Przemieszczenie wirtualne ciała w kierunku  x  – 

x

δ  

 

Rys. 4.4 

0

i

i

ix

x

x

ix

i

i

i

P

P

P

δ

δ

δ

⋅ =

⋅

=

⋅

=

∑

∑

∑

,   gdzie 

x

δ  – dowolne, 

0

ix

i

P

=

∑

. (4.3) 

Przemieszczenie wirtualne ciała w kierunku   – 

y

y

δ  

 

Rys. 4.5 

0

i

i

iy

y

y

iy

i

i

i

P

P

P

δ

δ

δ

⋅ =

⋅

=

⋅

=

∑

∑

∑

,   gdzie 

y

δ  – dowolne, 

0

iy

i

P

=

∑

. (4.4) 

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

16 

– 

jasina@pg.gda.pl 

Obrót wirtualny ciała względem punktu 

O

 – 

o

ϕ  

 

Rys. 4.6 

cos

ix

i

r

α

=

,  

sin

iy

i

r

α

=

,  

i

o

r

ϕ

∆ = ⋅ ,  

sin

ix

i

iy

o

r

δ

α

ϕ

=

⋅ ∆ = ⋅ ,  

cos

iy

i

ix

o

r

δ

α

ϕ

=

⋅ ∆ = ⋅ ,  

 

(

)

(

)

(

)

0

i

i

ix

ix

iy

iy

ix iy o

iy ix o

i

i

i

o

ix iy

iy ix

o

io

i

i

P

P

P

P r

P r

P r

P r

M

δ

δ

δ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

+

=

+

=

+

=

=

∑

∑

∑

∑

∑

=

 (4.5) 

Sprawdzenie słuszności zasady prac wirtualnych dla ciała sztywnego na przy-
kładzie wirtualnego przemieszczenia o kąt 

1

o

ϕ



 (obrót względem punktu  O )  

Teza 
Z zasady prac wirtualnych (4.1) wynika warunek równowagi (4.5). 

 

0

i

i

io

i

i

i

i

i

P

M

P

δ

ρ

⇒

=

∑

∑

∑

= . 

Katedra Mechaniki Budowli 

Wykład 

Mechanika Budowli 1 [C16] 

Politechnika Gdańska 

2006 

Marek Krzysztof Jasina 

http://www.okno.pg.gda.pl – 

17 

– 

jasina@pg.gda.pl 

 

Rys. 4.7 

 

 

cos

cos

0

i

i

i

i

i

i i

i

o

i

i

io

i

i

i

i

i

P

P

P r

P

M

δ

α

ϕ

α

ϕ

ρ

ϕ

=

∆

=

=

=

=

∑

∑

∑

∑

∑

 (4.6) 

Zapisana powyżej (4.1) zasada prac wirtualnych słuszna jest również w przy-
padku układów połączonych ciał sztywnych. 

4.4. Przykład 

Korzystając z powyższego twierdzenia można wyznaczyć moment zginający w belce swobodnie 
podpartej w miejscu przyłożenia siły.     (Przykład ze str. 2 – notatki BR).