EKONOMETRIA  

mgr  Karolina Lewandowska 

(ćwiczenia) 

 

1

LITERATURA PRZEDMIOTU: 

 

 
1.  red. M. Gruszczyński  „Ekonometria”

 

(Szkoła Główna Handlowa w 

Warszawie, Warszawa) 

2.  red. K. Kukuła „Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach” 

(PWN, Warszawa 1999) 

3.  red. N. Łapińska-Sobczak

 

„Opisowe modele ekonometryczne. Elementy 

teorii i zadania” (Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 1998) 

4.  W.W. Charemza, D.F. Deadman „Nowa ekonometria”

 

(PWE, Warszawa 

1997) 

5.  J.B. Gajda „Ekonometria praktyczna” (Absolwent, Łódź 1994) 
6.  J.B. Gajda „Ekonometria” (Wyd. C.H.Beck, Warszawa 2004) 
7.  W.H. Greek „Econometric Analysis” (Prentice Hali, 2000) 
8.  T. Kufel

 

„Ekonometria. Rozwiązywanie problemów w wykorzystaniem 

programu GRETL”

 

(PWN, Warszawa 2004) 

9.  M. Verbeek ”A guide to modern econometrics” (John Wiley & Sons, 2004) 
10. A. Welfe

 

„Ekonometria”

 

(PWE, Warszawa 1998) 

 

 
 
 
 

Forma zaliczenia: dwa kolokwia zaliczeniowe przy komputerze 

 
 
 
 
 
 

DYŻURY: 

 
Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny UŁ,  
Łódź, ul. Rewolucji 1905 
Pokój D315 
 
PONIEDZIAŁEK godz. 11:30 – 12:15 
 

godz. 15:00 – 16:30 

 

 

 

2

T

T

R

R

E

E

Ś

Ś

C

C

I

I

 

 

P

P

R

R

O

O

G

G

R

R

A

A

M

M

O

O

W

W

E

E

 

 

 
 
 
 

1.  Model ekonometryczny - wprowadzenie  
2.  Metoda najmniejszych kwadratów - MNK  
3.  Parametry struktury stochastycznej  
4.  Testowanie istotności parametrów  
5.  Modele trendu oraz modele trendu z sezonowością  
6.  I kolokwium – 12.04.2007 
7.  Modele nieliniowe. GRETL - pakiet ekonometryczny 
8.  Autokorelacja składnika losowego   
9.  Heteroskedastyczność  
10. Modele z rozkładem opóźnień i autoregresyjne 
11. Niestacjonarność  
12. Analiza zmiennych jakościowych 
13. Modele wielorównaniowe  
14. Ćwiczenia w analizie ekonometrycznej  
15. II kolokwium zaliczeniowe – 31.05.2007 
 
 
 
 
 
Dni wolne od zajęć: 03.05.2007 
 07.06.2007 
Odrabiamy zajęcia: 05.06. 2007

 

– poprawa kolokwiów 

27.06.2007 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

3

1

1

.

.

 

 

 

 

M

M

O

O

D

D

E

E

L

L

 

 

E

E

K

K

O

O

N

N

O

O

M

M

E

E

T

T

R

R

Y

Y

C

C

Z

Z

N

N

Y

Y

 

 

(

(

W

W

P

P

R

R

O

O

W

W

A

A

D

D

Z

Z

E

E

N

N

I

I

E

E

)

)

 

 

 

C

C

Z

Z

Y

Y

M

M

 

 

Z

Z

A

A

J

J

M

M

U

U

J

J

E

E

 

 

S

S

I

I

Ę

Ę

 

 

E

E

K

K

O

O

N

N

O

O

M

M

E

E

T

T

R

R

I

I

A

A

?

?

 

 

EKONOMETRIA

 jest nauką stosunkowo młodą. Pierwsze badania ekonometryczne zostały 

przeprowadzono po I wojnie światowej. Obecnie dzięki dostępności komputerów nastąpił 
dynamiczny rozwój tej dziedziny wiedzy. 
Ekonometria wykorzystuje metody matematyczne i statystyczne do badania zjawisk 
ekonomicznych (i wzajemnych relacji między nimi). 
 

E

E

T

T

A

A

P

P

Y

Y

 

 

B

B

A

A

D

D

A

A

N

N

I

I

A

A

 

 

E

E

K

K

O

O

N

N

O

O

M

M

E

E

T

T

R

R

Y

Y

C

C

Z

Z

N

N

E

E

G

G

O

O

 

 

1.  cel badania (wiedza ekonomiczna), 
2.  specyfikacja zmiennych objaśnianych i objaśniających, 
3.  zbieranie danych statystycznych, 
4.  estymacja parametrów modelu, 
5.  weryfikacja merytoryczna i statystyczna uzyskanych wyników, 
6.  prognozowanie, praktyczne wykorzystanie. 
 
Dane statystyczne mogą przyjmować postać: 
• 

szeregów czasowych

  (wartości jakie przybrała dana cecha w kolejnych, jednakowo 

odległych momentach w czasie), 

• 

danych przekrojowych 

(np. badanie zarobków w 20 łódzkich firmach), 

• 

danych przestrzennych

, 

• 

danych przekrojowo-czasowych

,  

• 

danych przestrzenno-czasowych 

(dane przekrojowe lub przestrzenne mierzone w 

dłuższym przekroju czasowym, np. stopa bezrobocia w krajach UE w latach 1950-2000) 

• 

danych panelowych

  

DANE PANELOWE

 (egzamin!) – dane przekrojowe bądź przestrzenne mierzone w krótkim 

czasie (np. stopa bezrobocia w krajach UE w latach 2000-2002) 
Dane przestrzenno-czasowe różnią się od danych panelowych tym, że ich wymiar czasowy 
jest dłuższy (niż w danych panelowych).  
 
Źródła danych statystycznych: 
1.  roczniki statystyczne, kwartalniki, itp. 
2.  bazy danych online, np.: 

•  www.stat.gov.pl - bazy danych Głównego Urzędu Statystycznego 

•  www.oecd.org - bazy danych Organizacji Wspólnoty Gospodarczej OECD, 
•  www.europa.eu.int/comm/eurostat/ - bazy danych Eurostatu, i inne. 

 

M

M

O

O

D

D

E

E

L

L

 

 

E

E

K

K

O

O

N

N

O

O

M

M

E

E

T

T

R

R

Y

Y

C

C

Z

Z

N

N

Y

Y

 

MODEL EKONOMETRYCZNY

 jest to formalny opis stochastycznej zależności danego zjawiska 

ekonomicznego, od czynników, które je kształtują (matematyczny zapis prawidłowości 
ekonomicznych dla empirycznej weryfikacji hipotez teorii ekonomii oraz dla zastosowań 
praktycznych – prognozowania) a wyrażony w formie jednego równania lub układu równań. 

ε

α

α

α

+

+

+

=

2

2

1

1

0

x

x

y

 

 

4

y

x

x

,

,

2

1

 - zmienne w modelu ekonometrycznym 

2

1

0

,

,

α

α

α

 - parametry strukturalne 

0

α

 - wyraz wolny modelu 

(zawsze jest)

 

ε

 - składnik losowy 

(zawsze jest)

 

Klasyfikacja zmiennych występujących w modelu ekonometrycznym: 

a)  w modelu jednorównaniowym:

 

ε

α

α

α

+

+

+

=

2

2

1

1

0

x

x

y

 

•  objaśniana (y), 
•  objaśniające (

), 

2

1

, x

x

•  składnik losowy (

ε

) 

b)  w modelu wielorównaniowym: 

⎩

⎨

⎧

+

+

+

=

+

+

+

=

2

1

2

1

1

0

2

1

2

2

1

1

0

1

ε

β

β

β

ε

α

α

α

y

x

y

x

x

y

 

1º 
•  endogeniczne (wewnętrzne) - 

 

2

1

, y

y

•  egzogeniczne (zewnętrzne) - 

 

2

1

, x

x

•  składniki losowe - 

2

1

,

ε

ε

 

2º 
•  zmienne objaśniane (lewa strona równania) - 

 

2

1

, y

y

•  zmienne objaśniające (prawa strona równania) - 

 

1

2

1

,

,

y

x

x

Należy również wymienić zmienne czasowe t (modele tendencji rozwojowej - wyrażające 
systematyczne zmiany w kształtowaniu się wielkości zmiennej objaśnianej w czasie) oraz 
zmienne opóźnione 

 . 

1

−

t

x

SKŁADNIK  LOSOWY

  (

ε

) - zmienna wyrażająca wpływ wszystkich czynników pominiętych 

przy budowie modelu jak również wpływ zdarzeń czysto losowych  - przypadkowych 
Postać zależności:

 

Wyróżniamy modele: 
1. 

LINIOWE

 - w których wszystkie relacje mają postać funkcji liniowej lub kombinacji 

liniowej, 

2. 

NIELINIOWE

 - w których przynajmniej jedna relacja jest nieliniowa. Modele nieliniowe 

sprowadzalne są do postaci liniowej, np. postać funkcji potęgowej, logarytmicznej, 
wykładniczej. 

 
Klasyfikacja modeli ekonometrycznych ze względu na relacje pomiędzy zmiennymi w 
modelu (nieopóźnionymi zmiennymi endogenicznymi): 
1.  modele jednorównaniowe 
2.  modele wieorównaniowe: 

• 

modele proste

 – w których zmienne objaśniające są wyłącznie zmiennymi o 

wartościach z góry ustalonych, 

 

5

2

3

2

2

1

0

2

1

2

2

1

1

0

1

ε

β

β

β

ε

α

α

α

+

+

+

=

+

+

+

=

⎩

⎨

⎧

x

x

y

x

x

y

 

• 

modele rekurencyjne

 - w których zmienne endogeniczne pełnią rolę zmiennych 

objaśniających, ale charakter powiązań pomiędzy nimi jest jednokierunkowy, 

⎩

⎨

⎧

+

+

+

=

+

+

+

=

2

2

2

1

1

0

2

1

2

2

1

1

0

1

ε

β

β

β

ε

α

α

α

x

x

y

y

x

y

 

• 

modele o równaniach łącznie współzależnych

 – w których występują 

różnokierunkowe zależności między zmiennymi endogenicznymi (tzw. Sprzężenia 
zwrotne, bezpośrednie lub pośrednie). 

⎩

⎨

⎧

+

+

+

+

=

+

+

+

=

2

1

3

2

2

1

1

0

2

1

2

2

1

1

0

1

ε

β

β

β

β

ε

α

α

α

y

x

x

y

y

x

y

 

 

W modelu prostym nie ma żadnych

 

y.  

W modelu rekurencyjnym występuje jednostronna zależność między y.  
W modelu o równaniach łącznie współzależnych występują sprzężenia zwrotne (  wpływa 
na kształtowanie 

 i 

 wpływa na kształtowanie się  ) 

1

y

2

y

2

y

1

y

 
Znaczenie czasu: 
Wyróżniamy modele: 
• 

statyczne 

(nie uwzględniamy w nich czynnika czasu, tzn. nie występuje w nich zmienna 

czasowa t), 

• 

dynamiczne

 (rolę czasu uwzględnia się poprzez wprowadzenie zmiennej czasowej t, bądź 

zmiennych opóźnionych). 

Model jest dynamiczny jeżeli: 
a)  w modelu występuje zmienna opóźniona (

) 

1

1

−

t

x

b)  w modelu występuje indeks „t” przy zmiennych x, y 
c)  w modelu występuje zmienna czasowa 
 

t

⋅

1

α

 - zmienna czasowa - pozwala zbadać zmianę zjawiska (cechy y) w danym czasie 

(okresie)  

1

1

−

t

x

 - zmienna opóźniona – na cechę y danego okresu wpływa zmienna z poprzedniego 

okresu 

Z

Z

A

A

D

D

A

A

N

N

I

I

A

A

 

 

ZADANIE 

1 

Zbudować liniowy model ekonometryczny produkcji obuwia skórzanego wiedząc,  że w 
badanym zakładzie obuwniczym jest ona uzależniona od stanu majątku produkcyjnego i 
zatrudnienia robotników grupy przemysłowej w danym okresie 

(indeks „t” przy zmiennych) 

oraz zaznacza się systematyczny wzrost wartości produkcji obuwia skórzanego z okresu 
na okres 

(zmienna czasowa t)

. 

Rozwiązanie 

y – produkcja obuwia (zmienna objaśniana) 

1

x  - majątek produkcyjny (zmienna objaśniająca) 

 

6

2

x  - zatrudnienie (zmienna objaśniająca) 

t – zmienna czasowa 

t

t

t

t

t

x

x

y

ε

α

α

α

α

+

+

+

+

=

3

2

2

1

1

0

 

Model jest jednorównaniowy, dynamiczny (występuje t).  
 

Z

ADANIE 

2 

Przyjmując liniowy charakter powiązań zmiennych modelu, zbuduj model kształtowania się 
produkcji obuwia, zatrudnienia w fabryce obuwia oraz wielkości inwestycji oddanych do 
użytku w danym roku wiedząc, że:  
1.  Występuje systematyczny wzrost produkcji obuwia z okresu na okres oraz zależy ona od 

wielkości zatrudnienia i inwestycji oddanych do użytku w danym roku. 

2.  Zatrudnienie w fabryce obuwia zależne jest od wielkości produkcji obuwia w danym 

roku oraz od wielkości majątku produkcyjnego w roku poprzednim. 

3.  Inwestycje oddane do użytku w danym roku zależą od wielkości produkcji obuwia w 

danym roku oraz od wielkości nakładów inwestycyjnych w roku ubiegłym. Zbuduj 
model i podaj jego kompletną charakterystykę. 

 

Rozwiązanie 

1

y  – produkcja obuwia (zmienna endogeniczna, objaśniana przez model) 

2

y  - zatrudnienie w fabryce (zmienna endogeniczna, objaśniana przez model) 

3

y  - wielkość inwestycji oddanych do użytku (zmienna endogeniczna, objaśniana przez 

model) 
t – zmienna czasowa 

1

x  - wielkość majątku  

2

x  - wielkość nakładów inwestycyjnych 

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

+

=

−

−

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

x

y

y

x

y

y

y

y

t

y

2

1

2

2

1

1

0

3

2

1

1

2

1

1

0

2

1

3

3

2

2

1

0

1

ε

γ

γ

γ

ε

β

β

β

ε

α

α

α

α

 

Jest to model:  
•  wielorównaniowy 

•  dynamiczny 

•  liniowy 
•  współzależny (występują sprzężenia zwrotne między y) 
 

Z

ADANIE 

3

  

(

ZADANIE DOMOWE

) 

Zbudować model kształtowania się dochodu narodowego, konsumpcji indywidualnej oraz 
nakładów inwestycyjnych wiedząc, że: 
1.  Wielkość dochodu narodowego z roku na rok wykazuje tendencję wzrostu oraz zależy 

od wielkości zatrudnienia w działach produkcji materialnej w danym roku; 

2.  Wielkość konsumpcji indywidualnej ludności jest funkcją wielkości dochodu narodowego 

i nakładów inwestycyjnych w danym roku; 

3.  Wielkość nakładów inwestycyjnych w gospodarce narodowej jest funkcją dochodu 

narodowego i konsumpcji indywidualnej w danym roku oraz nakładów inwestycyjnych 
w roku ubiegłym. 

 

7

Przyjmując liniowy charakter powiązań zmiennych określić klasę zbudowanego modelu w 
zależności od:  
a) charakteru powiązań zmiennych endogenicznych (proste/rekurencyjne/współzależne);  
b) dynamiki powiązań (statyczne/dynamiczne) 
 

Rozwiązanie 

1

y  – dochód narodowy (zmienna endogeniczna, objaśniana przez model) 

2

y  - konsumpcja indywidualna (zmienna endogeniczna, objaśniana przez model) 

3

y  - nakłady inwestycyjne (zmienna endogeniczna, objaśniana przez model) 

t – zmienna czasowa 

1

x  - zatrudnienie  

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

−

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

y

y

y

y

y

y

y

x

t

y

2

1

3

3

2

2

1

1

0

3

2

3

2

1

1

0

2

1

1

2

1

0

1

ε

γ

γ

γ

γ

ε

β

β

β

ε

α

α

α

 

Jest to model:  
•  wielorównaniowy 

•  dynamiczny 

•  liniowy 
 

Z

ADANIE 

(dla chętnych)

 

Wyszukaj w Internecie przykładowe bazy danych. 
 
 

2

2

.

.

 

 

 

 

M

M

E

E

T

T

O

O

D

D

A

A

 

 

 

 

N

N

A

A

J

J

M

M

N

N

I

I

E

E

J

J

S

S

Z

Z

Y

Y

C

C

H

H

 

 

 

 

K

K

W

W

A

A

D

D

R

R

A

A

T

T

Ó

Ó

W

W

 

 

 

 

(

(

 

 

M

M

N

N

K

K

)

)

 

 

 

ESTYMACJA MODELU 

jest to znalezienie zgodnych, nieobciążonych i efektywnych ocen 

parametrów strukturalnych (współczynników stojących przy zmiennych objaśniających) 
oraz współczynników dopasowania i błędów  średnich ocen parametrów (wartości 
sprawdzianu t-Studenta) i innych parametrów struktury stochastycznej oraz odpowiednich 
sprawdzianów testów. 
 
1.  Charakterystyczną cechą modelu ekonometrycznego jest to, że nie jest on układem 

równań o dowolnych (lub przyjętych a priori) wartościach parametrów. Parametry te są 
wyznaczane z danych statystycznych. 

2.  Za oceny parametrów przyjmuje się takie liczby, przy których model jest możliwie dobrze 

dopasowany do zebranych danych statystycznych. 

3.  Wybór metody estymacji zależy od: 

•  istniejących powiązań między nie opóźnionymi w czasie zmiennymi endogenicznymi, 

•  własności rozkładu składników losowych modelu. 

4.  W wyniku działania czynników losowych powodujących odchylenia, nie jest możliwe 

wyznaczenie liczbowych wartości parametrów dokładnie, tzn. bez błędów. Są to błędy 
szacunku (a nie błędy przeprowadzonych obliczeń). 

5.  Prawidłowy wybór metody estymacji pozwala jedynie na ograniczenie, lub 

wykluczenie systematycznych błędów. Wraz ze wzrostem liczby obserwacji 
prawdopodobieństwo popełnienia błędu maleje do zera. 

 

8

6.  Przy wykorzystaniu metod statystyki matematycznej można określić rząd dokładności 

szacunku parametrów. 

 

M

M

E

E

T

T

O

O

D

D

A

A

 

 

N

N

A

A

J

J

M

M

N

N

I

I

E

E

J

J

S

S

Z

Z

Y

Y

C

C

H

H

 

 

K

K

W

W

A

A

D

D

R

R

A

A

T

T

Ó

Ó

W

W

 

 

Metoda Najmniejszych Kwadratów jest najstarszą historycznie i intuicyjnie najprostszą 
metodą estymacji. 
 
Rozpatrujemy jednorównaniowy model z jedną zmienną objaśniającą: 

t

t

t

x

y

ε

α

α

+

+

=

1

0

 

i

α

 - stałe współczynniki stające przy zmiennych są to parametry strukturalne, nie 

zmieniają się w czasie, mówią nam o ile zmieni się   jeśli 

 zmieni się o jednostkę. 

t

y

it

x

0

α

  -  wyraz wolny w modelu. Wyraz wolny pozwala nam na wyznaczenie y, jeśli wszystkie 

 przyjmą wartość zero. 

i

x

t

ε

 - składnik losowy modelu wyraża wpływ wszystkich czynników pominiętych w 

specyfikacji, ma on także wykryć pozostałe błędy wynikające z postaci analitycznej oraz 
wychwycić błędy wpływu wszystkich losowych zakłóceń = błędy czysto przypadkowe, 
losowe. 

 
Założenia struktury stochastycznej składnika losowego: 

1.  składnik losowy 

t

ε

 ma wartość oczekiwaną równą zero: 

0

)

(

=

t

E

ε

 

2.  składnik losowy 

t

ε

 ma stałą (niezależną od wskaźnika t) wariancję 

 o wartości 

skończonej 

   

 

2

σ

2

2

)

(

σ

ε

=

t

E

]

)

(

[

2

2

const

D

t

−

=

σ

ε

3.  obserwacje są niezależne, ciąg }

{

t

ε

jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych 

0

)

;

(

=

+s

t

t

E

ε

ε

 

]

0

)

;

[cov(

=

+s

t

t

ε

ε

. Brak autokorelacji składnika losowego. 

4.  Składnik losowy jest nie skorelowany ze zmiennymi objaśniającymi (lub zmienne 

objaśniające ze zmiennymi nielosowymi) 

0

)

;

cov(

=

t

t

x

ε

 

5.  Składnik losowy na rozkład normalny 

 

)

,

0

(

:

2

σ

ε

N

t

 
MNK polega na znalezieniu takich ocen parametrów strukturalnych, przy których suma 
kwadratów odchyleń wartości empirycznych od wartości teoretycznych była jak najmniejsza.  
Geometrycznie warunek ten sprowadza się do tego by suma kwadratów odległości punktów 
od prostej na wykresie była jak najmniejsza.  
 
Interpretacja  

 

t

t

x

y

ε

α

α

+

±

=

1

1

0

 

Wzrost   o jedną jednostkę spowoduje wzrost (spadek) y o 

1

x

1

α

 jednostek 

 

Z

ADANIE 

1

 

(MNK) 

Badamy grupę studentów ze względu na wzrost i wagę. Mamy następujące dane: 

waga 48 60 65 62 66 80 64 63 83 65 58 74 48 49 
wzrost 160 174 176 176 177 180 181 172 187 170 175 174 169 160

 

 

9

Oszacować parametry modelu: 

t

wzrost

ε

α

α

+

⋅

+

=

1

0

waga

 za pomocą następujących 

wzorów: 

)

(

1

_

_

0

α

α

⋅

−

=

x

y

  

 

∑

∑

−

−

−

=

2

_

_

_

1

)

(

)

)(

(

x

x

y

y

x

x

t

t

t

α

 

Rozwiązanie 

(EXEL) 

1.  Obliczyć średnią z wartości x (wzrost) i y (waga) 

Wstaw 

→ Funkcja → Średnia 

173,64286

_

=

x

 

63,21429

_

=

y

 

2.  Obliczyć: 

 

• 

 

_

x

x

t

−

• 

 

_

y

y

t

−

• 

 

)

)(

(

_

_

y

y

x

x

t

t

−

−

• 

 

∑

−

−

)

)(

(

_

_

y

y

x

x

t

t

• 

 

2

_

)

(

x

x

t

−

• 

 

∑

−

2

_

)

(

x

x

t

X - Xśr 

Y - Yśr 

(X - Xśr)(Y - Yśr) 

(X - Xśr)^2 

-13,6429 -15,21429 

207,5663265 

186,12755 

0,357143 -3,21429 

-1,147959184 

0,127551 

2,357143 1,78571 

4,209183673 

5,5561224 

2,357143 -1,21429 

-2,862244898 

5,5561224 

3,357143 2,78571 

9,352040816 

11,270408 

6,357143 16,78571 

106,7091837 

40,413265 

7,357143 0,78571 

5,780612245 

54,127551 

-1,64286 -0,21429 

0,352040816 

2,6989796 

13,35714 19,78571 

264,2806122 

178,41327 

-3,64286 1,78571 

-6,505102041  13,270408 

1,357143 -5,21429 

-7,076530612 

1,8418367 

0,357143 10,78571 

3,852040816 

0,127551 

-4,64286 -15,21429 

70,6377551 

21,556122 

-13,6429 -14,21429 

193,9234694 

186,12755 

 suma 

849,0714286 707,21429 

 
 
 
 
 
 

 

10

3.  Obliczyć : 

• 

1

α

  

∑

∑

−

−

−

=

2

_

_

_

1

)

(

)

)(

(

x

x

y

y

x

x

t

t

t

α

 

• 

0

α

  

 

)

(

1

_

_

0

α

α

⋅

−

=

x

y

1,2

1

=

α

 

-145,25886

0

=

α

 

4.  Odpowiedź 

t

wzrost

ε

α

α

+

⋅

+

=

1

0

waga

  

(y - rzeczywisty) 

x

2

,

1

3

,

145

yˆ

+

−

=

 

 

 

( y  - teoretyczny) 

ˆ

Interpretacja  
Wzrost x (wzrostu) o 1 cm spowoduje wzrost y (wagi) o 1,2 kg.  

W modelach przyczynowo-skutkowych parametr 

0

α

 nie posiada poprawnej ekonomicznie 

interpretacji. 

 

 

K

K

L

L

A

A

S

S

Y

Y

C

C

Z

Z

N

N

A

A

 

 

M

M

E

E

T

T

O

O

D

D

A

A

 

 

N

N

A

A

J

J

M

M

N

N

I

I

E

E

J

J

S

S

Z

Z

Y

Y

C

C

H

H

 

 

K

K

W

W

A

A

D

D

R

R

A

A

T

T

Ó

Ó

W

W

 

 

(

(

K

K

M

M

N

N

K

K

)

)

 

 

W

W

 

 

Z

Z

A

A

P

P

I

I

S

S

I

I

E

E

 

 

M

M

A

A

C

C

I

I

E

E

R

R

Z

Z

O

O

W

W

Y

Y

M

M

 

 

 

 

D

D

L

L

A

A

 

 

M

M

O

O

D

D

E

E

L

L

U

U

 

 

L

L

I

I

N

N

I

I

O

O

W

W

E

E

G

G

O

O

 

 

Z

Z

 

 

D

D

O

O

W

W

O

O

L

L

N

N

Ą

Ą

 

 

L

L

I

I

C

C

Z

Z

B

B

Ą

Ą

 

 

Z

Z

M

M

I

I

E

E

N

N

N

N

Y

Y

C

C

H

H

 

 

 

Rozpatrujemy model jednorównaniowy o dowolnej liczbie zmiennych objaśniających: 

t

it

i

t

X

y

ε

α

+

=

∑

   lub  

ε

α

+

= X

Y

 

Oznaczenia: 
Y - wektor (n x 1) zaobserwowanych wartości zmiennej objaśnianej   

t

Y

X - macierz (n x k) zaobserwowanych wartości zmiennych objaśniających. Rząd tej macierzy 

jest równy k. Jeżeli występuje wyraz wolny, to jedna z kolumn jest kolumną samych 
jedynek 

α

 - wektor (k x 1) ocen parametrów strukturalnych 

i

α

 

ε

 - wektor (n x 1) reszt 

t

ε

 równania 

 

kn

2n

1n

k2

22

12

k1

21

11

 x

...

 

..

 

 x

x

..........

..........

 x

...

 

..

 

 x

x

 x

...

 

..

 

 x

x

=

X

 

 

 

y

...

 

y

 

y

n

2

1

=

Y

 

 

k

α

α

α

...

...

1

=

 

 

n

ε

ε

ε

...

...

1

=

 

 

 

11

Założenia KMNK: 

1.  Zmienne objaśniające 

  są wielkościami nielosowymi; zakładamy, ze nie 

występuje między tymi zmiennymi współliniowość. 

nt

t

t

x

x

x

,...,

,

2

1

2.  Składnik losowy 

t

ε

 ma wartość oczekiwaną równą 0 i stałą (nie zależną od wskaźnika t) 

wariancję 

, o wartości skończonej: 

 

2

σ

2

2

)

(

0

)

(

σ

ε

ε

=

=

t

t

D

E

3.  Obserwacje są niezależne, tak że ciąg }

{

t

ε

 jest ciągiem niezależnych zmiennych 

losowych. 

4.  Składnik losowy 

t

ε

 jest nie skorelowany ze zmiennymi objaśniającymi. 

 
Założenia techniczne stosowalności KMNK: 

1.  Zmienne   są nielosowe lub są zmiennymi losowymi o ustalonych wartościach. 

i

x

2.  n > k liczba obserwacji jest większa od liczby szacowanych parametrów. 
3.  Żadna ze zmiennych   nie jest liniową kombinacją innej zmiennej (żaden   nie jest 

silnie skorelowany z innymi  ).  

i

x

i

x

i

x

Pomiędzy 

y

 a 

x

–ami 

powinny być jak największe związki korelacyjne, a pomiędzy 

x

-ami

 

jak najmniejsze

, a najlepiej ich brak.  

 

KORELACJA

  (słowo pochodzenia łacińskiego oznaczające wzajemny związek), oznacza 

wzajemne powiązanie, współzależność zjawisk lub obiektów.  
Współczynnik korelacji jest zawsze liczbą z przedziału <-1, 1>.  
Jeżeli współczynnik korelacji wynosi 1 lub -1, to zmienne  są  całkowicie skorelowane 
(odpowiednio, dodatnio lub ujemnie); dzieje się tak wówczas, gdy między nimi występuje 
zależność liniowa.  
Jeśli współczynnik korelacji jest równy 0, rozważane  zmienne losowe nazywamy nie 
skorelowanymi

. 

Z

Z

A

A

D

D

A

A

N

N

I

I

A

A

 

 

Z

ADANIE 

2 

Zbadaj występowanie korelacji pomiędzy zmiennymi  , 

, y. 

1

x

2

x

T y 

1

x  

2

x  

1988 76,9 4,5 10 
1989 90,2 4,7 

16,5 

1990 95,5 4,8 17 
1991 100 4,8 

17,2 

1992 102,4  5 18,4 

199 3 

107 

5,2 

19 

1994 110,5  5  23 

Rozwiązanie 

(EXEL) 

1. 

Narzędzia 

→ Dodatki → √ Analysis ToolPak

 

2. 

Narzędzia 

→ Analiza danych → Korelacja → OK → Zakres wejściowy : zaznaczamy 

wartości  , 

, y wraz z nazwami 

→ √ tytuły w pierwszym wierszu → OK.

 

1

x

2

x

 

 

12

  

y 

x1 

x2 

y 1  

 

x1 0,913761

1  

x2 0,954065 0,803966

1

 

Jeżeli współczynnik korelacji wynosi:  

• 

1 lub -1, to zmienne są całkowicie skorelowane (odpowiednio, dodatnio lub 
ujemnie); dzieje się tak wówczas, gdy między nimi występuje zależność liniowa.  

• 

0, rozważane zmienne losowe nazywamy nie skorelowanymi. 

Pomiędzy 

y

 a 

x

–ami 

powinny być jak największe związki korelacyjne, a pomiędzy 

x

-ami

 jak 

najmniejsze, a najlepiej ich brak. 

 
Pomiędzy y a x–ami oraz  pomiędzy x-ami występuje bardzo silna korelacja. W przypadku 
zmiennych x nie jest to dobra sytuacja, miedzy x –ami powinna występować jak najmniejsza 
korelacja. 

 
Z

ADANIE 

3

 

 

Dla zmiennej objaśnianej y i potencjalnych zmiennych objaśniających x1,... x7 otrzymano 
następujący wektor i macierz współczynników korelacji: 

 

Przeprowadź dobór zmiennych objaśniających dla zmiennej y, wiedząc,  że dane statyczne 
zebrano z 20 lat. 
Zakładamy,  że wykorzystana przy estymacji próba losowa składa się z n obserwacji 
dokonanych na zmiennych  , 

, 

,........, 

. 

t

Y

t

X

1

t

X

2

nt

X

Wektor a ocen parametrów strukturalnych modelu dany jest wzorem: 

Y

X

X

X

a

T

T

⋅

⋅

⋅

=

−1

)

(

 

Rozwiązanie 

1. 

Pomiędzy 

y

 a 

x

–ami 

powinny być jak największe związki korelacyjne

 

Wybieram takie x, które maja największa korelację z y (biorę pod uwagę wartości 
bezwzględne – mają być jak najbliższe 1) 
x7, x5, x4, x2 

2. 

Pomiędzy 

x

-ami

 

powinny być jak najmniejsze związki korelacyjne, a najlepiej ich brak

 

Wybieram takie x, które maja najmniejszą korelację między sobą (biorę pod uwagę 
wartości bezwzględne – mają być jak najbliższe 0) 

x7 - x5 

→ 0,55 

x7 – x4 

→ 0,43 

 

13

x7 – x2 

→ 0,62 

x4 – x5 

→ 0,69 

x4 – x2 

→ 0,62 

x2 – x5 

→ 0,84 

 
Z

ADANIE 

4 

Za pomocą klasycznej metody najmniejszych kwadratów oszacuj parametry liniowego 
modelu ekonometrycznego opisującego kształtowanie się sprzedaży energii elektrycznej w 
mln MWh (y) w pewnym zakładzie energetycznym w zależności od długości linii 
przesyłowych w 10 tys. km ( ) i ilości odbiorców energii w 100 tys. (

). 

1

x

2

x

lata y 

1

x  

2

x  

1977  

3,2 

1,2 

3,6 

1978 3,3 1,3 

3,7 

1979 3,4 1,3 

3,8 

1980 3,5 1,4 

3,8 

1981 3,6 1,4 

3,9 

1982 3,6 1,5 

3,9 

1983 3,7 1,5 

4,0 

1984 3,8 1,6 

4,0 

1985 3,9 1,6 

4,1 

1986 4,0 1,7 

4,2 

Rozwiązanie 

(EXEL) 

 

Y

X

X

X

T

T

1

)

(

−

=

α

 

1.  Budujemy macierz X, Y 

kn

2n

1n

k2

22

12

k1

21

11

 x

...

 

..

 

 x

x

..........

..........

 x

...

 

..

 

 x

x

 x

...

 

..

 

 x

x

=

X

   

 

 

y

...

 

y

 

y

n

2

1

=

Y

 

macierz X

 - (n x k) zaobserwowanych wartości zmiennych objaśniających. Rząd tej 

macierzy jest równy k. Jeżeli występuje wyraz wolny, to jedna z kolumn jest kolumną 
samych jedynek 

Y 

 

 

Macierz X 

 

3,2   1  1,2 3,6 
3,3   1  1,3 3,7 
3,4   1  1,3 3,8 
3,5   1  1,4 3,8 
3,6   1  1,4 3,9 
3,6   1  1,5 3,9 
3,7   1  1,5  4 
3,8   1  1,6  4 
3,9   1  1,6 4,1 

4  1 1,7 4,2 

 

 

14

2.  Oblicz 

T

X  

Zaznacz macierz X (bez tytułu) 

→ kopiuj → wklej specjalnie → √ transpozycja → OK. 

1 1 1 1  1  1 1 1 1 1 

1,2 1,3 1,3 1,4  1,4  1,5 1,5 1,6 1,6 1,7 
3,6 3,7 3,8 3,8  3,9  3,9  4  4  4,1 4,2 

3.  Oblicz wymiar 

X

X

T

 

3

3

3

10

10

3

×

=

⋅

×

×

X

X

T

 

4.  Oblicz 

X

X

T

 

Zaznacz obszar 3x3 

→ wstaw → funkcja → 

MACIERZ

.

ILOCZYN

 

→  

Tablica 1: zaznacz obszar macierzy 

T

X ;  

Tablica 2: zaznacz obszar macierzy X (bez tytułu) + F4 
→ Ctr + Shift + Enter 

10 14,5 39 

14,5 21,25 56,8 

39 56,8 

152,4 

5.  Budujemy macierz odwrotną 

 

1

)

(

−

X

X

T

Zaznacz obszar 3x3 

→ wstaw → funkcja → 

MACIERZ

.

ODW 

→ zaznacz 

X

X

T

 + 

F4 

→ Ctr 

+ Shift + Enter 

245,2

108

-103

108

60

-50

-103

-50

45

6.  Oblicz wymiar 

Y

X

T

 

1

3

1

10

10

3

×

=

⋅

×

×

Y

X

T

 

7.  Oblicz 

Y

X

T

 

Zaznacz obszar 3x1 

→ wstaw → funkcja → 

MACIERZ

.

ILOCZYN

 

→  

Tablica 1: zaznacz obszar macierzy 

T

X  (bez tytułu)  

Tablica 2: zaznacz obszar macierzy Y (bez tytułu) + F4 
→ Ctr + Shift + Enter 

36 

52,56 

140,82 

 

8.  Oblicz wymiar

 

Y

X

X

X

T

T

⋅

−1

)

(

1

3

)

(

1

3

3

3

1

×

=

⋅

×

×

−

Y

X

X

X

T

T

 

9.  Oblicz 

 

Y

X

X

X

T

T

1

)

(

−

=

α

Zaznacz obszar 3x1 

→ wstaw → funkcja → 

MACIERZ

.

ILOCZYN

 

→  

Tablica 1: zaznacz obszar macierzy 

 

(bez tytułu)  

1

)

(

−

X

X

T

Tablica 2: zaznacz obszar macierzy 

Y

X

T

 (bez tytułu) + F4 

→ Ctr + Shift + Enter 

 

15

-0,78 

0,6 

0,9 

10. Odpowiedź 

ε

α

α

α

+

+

+

=

2

2

1

1

0

x

x

y

 

2

1

9

,

0

6

,

0

78

,

0

ˆ

x

x

y

+

+

−

=

 

Interpretacja

 (KMNK) 

Wzrost   o 1 jednostkę spowoduje wzrost y o 0,6 jednostki, przy założeniu stałości 
pozostałych zmiennych (ceteris paribus) 

1

x

Wzrost 

 o 1 jednostkę spowoduje wzrost y o 0,9 jednostki, przy założeniu stałości 

pozostałych zmiennych (ceteris paribus) 

2

x

 

Z

ADANIE 

5

 

 

(

PRACA DOMOWA

)

 

Wykonaj zadanie 4 bez użycia programu komputerowego. Rozpisz poszczególne operacje na 
macierzach.  

Pracę należy oddać najpóźniej do 15.03.2007.

 

 

Z

ADANIE 

6

 

(

PRACA DOMOWA

) 

W pewnym przedsiębiorstwie wielkość produkcji (   -  w  tysiącach sztuk), zatrudnienie (

 

– liczba zatrudnionych w tysiącach osób) oraz wartość majątku trwałego (

 – w miliardach 

t

Y

t

X

1

t

X

2

złoty) kształtowały się w latach 1988-1994 następująco: 

 

Oszacuj parametry strukturalne modelu wielkość produkcji w przedsiębiorstwie 

t

t

t

t

X

X

Y

1

2

2

1

1

0

ε

α

α

α

+

+

+

=

 za pomocą Klasycznej Metody Najmniejszych Kwadratów. 

Rozwiązanie 

(EXEL) 

1.  Budujemy macierz X, Y 

kn

2n

1n

k2

22

12

k1

21

11

 x

...

 

..

 

 x

x

..........

..........

 x

...

 

..

 

 x

x

 x

...

 

..

 

 x

x

=

X

   

 

 

y

...

 

y

 

y

n

2

1

=

Y

 

macierz X

 - (n x k) zaobserwowanych wartości zmiennych objaśniających. Rząd tej 

macierzy jest równy k. Jeżeli występuje wyraz wolny, to jedna z kolumn jest kolumną 
samych jedynek 
 

 

16

Macierz Y 

 

 

Macierz X

 

76,9   1 4,5 11 
90,2   1 4,7 

16,5 

95,5   1 4,8 17 

100  1 4,8 

17,2 

102,4   1  5 18,4 

107  1 5,2 

20 

110,5   1  5 21,6 

2.  Oblicz 

T

X  

Zaznacz macierz X (bez tytułu) 

→ kopiuj → wklej specjalnie → √ transpozycja → OK. 

1 1 1 1 1 1 1 

4,5 4,7 4,8 4,8  5  5,2  5 

11 16,5 17 17,2 18,4 20 21,6 

3.  Oblicz wymiar 

X

X

T

 

3

3

3

7

7

3

×

=

⋅

×

×

X

X

T

 

4.  Oblicz 

X

X

T

 

Zaznacz obszar 3x3 

→ wstaw → funkcja → 

MACIERZ

.

ILOCZYN

 

→  

Tablica 1: zaznacz obszar macierzy 

T

X ;  

Tablica 2: zaznacz obszar macierzy X (bez tytułu) + F4 
→ Ctr + Shift + Enter 

7 35 

121,7 

35 175 

608,5 

121,7 608,5 

2183,21

5.  Budujemy macierz odwrotną 

 

1

)

(

−

X

X

T

Zaznacz obszar 3x3 

→ wstaw → funkcja → 

MACIERZ

.

ODW 

→ zaznacz 

X

X

T

 + 

F4 

→ Ctr 

+ Shift + Enter 

216,5607 -55,7689 3,132436

-55,7689 14,67538

-0,8922 

3,132436

-0,8922 0,069085

6.  Oblicz wymiar 

Y

X

T

 

1

3

1

7

7

3

×

=

⋅

×

×

Y

X

T

 

7.  Oblicz 

Y

X

T

 

Zaznacz obszar 3x1 

→ wstaw → funkcja → 

MACIERZ

.

ILOCZYN

 

→  

Tablica 1: zaznacz obszar macierzy 

T

X  (bez tytułu)  

Tablica 2: zaznacz obszar macierzy Y (bez tytułu) + F4 
→ Ctr + Shift + Enter 
 

682,5 

3412,5 

12088,66

 

17

8.  Oblicz wymiar

 

Y

X

X

X

T

T

⋅

−1

)

(

1

3

)

(

1

3

3

3

1

×

=

⋅

×

×

−

Y

X

X

X

T

T

 

9.  Oblicz 

 

Y

X

X

X

T

T

1

)

(

−

=

α

Zaznacz obszar 3x1 

→ wstaw → funkcja → 

MACIERZ

.

ILOCZYN

 

→  

Tablica 1: zaznacz obszar macierzy 

 

(bez tytułu)  

1

)

(

−

X

X

T

Tablica 2: zaznacz obszar macierzy 

Y

X

T

 (bez tytułu) + F4 

→ Ctr + Shift + Enter 

-1,18617

10,83113
2,650328

10. Odpowiedź 

t

t

t

t

X

X

Y

1

2

2

1

1

0

ε

α

α

α

+

+

+

=

 

t

t

t

X

X

Y

2

1

65

,

2

10,83

-1,2

ˆ

+

+

=

 

Interpretacja

 (KMNK) 

Wzrost 

 o 1 jednostkę spowoduje wzrost y o 10,83 jednostki, przy założeniu stałości 

pozostałych zmiennych (ceteris paribus) 

t

X

1

Wzrost 

 o 1 jednostkę spowoduje wzrost y o 2,65 jednostki, przy założeniu stałości 

pozostałych zmiennych (ceteris paribus) 

t

X

2

 
 

3

3

.

.

 

 

 

 

W

W

E

E

R

R

Y

Y

F

F

I

I

K

K

A

A

C

C

J

J

A

A

 

 

S

S

T

T

A

A

T

T

Y

Y

S

S

T

T

Y

Y

C

C

Z

Z

N

N

A

A

 

 

R

R

E

E

Z

Z

U

U

L

L

T

T

A

A

T

T

Ó

Ó

W

W

 

 

E

E

S

S

T

T

Y

Y

M

M

A

A

C

C

J

J

I

I

.

.

 

 

P

P

A

A

R

R

A

A

M

M

E

E

T

T

R

R

Y

Y

 

 

S

S

T

T

R

R

U

U

K

K

T

T

U

U

R

R

Y

Y

 

 

S

S

T

T

O

O

C

C

H

H

A

A

S

S

T

T

Y

Y

C

C

Z

Z

N

N

E

E

J

J

 

 

 

 

ESTYMACJA MODELU

 

jest to znalezienie zgodnych, nieobciążonych i efektywnych ocen 

parametrów strukturalnych (współczynników stojących przy zmiennych objaśniających) 
oraz współczynników dopasowania i błędów średnich ocen parametrów (wartości 
sprawdzianu t-Studenta) i innych parametrów struktury stochastycznej oraz odpowiednich 
sprawdzianów testów.

 

 

 

Po oszacowaniu parametrów strukturalnych modelu, możemy zastanowić się nad 
dokładnością otrzymanych wyników, nad tym, czy wartości teoretyczne ( ) są dobrze 
dopasowane w próbie do wartości rzeczywistych (y) zmiennej objaśnianej.  

yˆ

Dla opisu stopnia zgodności modelu z danymi empirycznymi używa się: 
1.  wariancji resztowej oraz jej pierwiastka tj. odchylenia standardowego reszt; 
2.  współczynnika zbieżności 

; 

2

ϕ

3.  współczynnika determinacji 

2

R ; 

4.  współczynnika zmienności resztowej  . 

e

V

 

W

W

A

A

R

R

I

I

A

A

N

N

C

C

J

J

A

A

 

 

R

R

E

E

S

S

Z

Z

T

T

 

 

O

O

R

R

A

A

Z

Z

 

 

O

O

D

D

C

C

H

H

Y

Y

L

L

E

E

N

N

I

I

E

E

 

 

S

S

T

T

A

A

N

N

D

D

A

A

R

R

D

D

O

O

W

W

E

E

 

 

R

R

E

E

S

S

Z

Z

T

T

 

 

O zgodności z danymi empirycznymi w modelu mówi wariancja składnika losowego 

. 

Wariancja informuje o zmienności składnika losowego. Nieobciążonym i zgodnym 

2

σ

 

18

estymatorem wariancji 

 składników losowych w jednorównaniowym modelu liniowym z k 

zmiennymi objaśniającymi, szacowanym KMNK, jest wariancja reszt: 

2

σ

1

)

(

1

1

)

ˆ

(

1

2

1

1

2

2

−

−

−

−

=

−

−

=

−

−

−

=

−

−

=

∑

∑

=

=

k

n

y

x

a

y

y

k

n

e

e

k

n

y

y

k

n

e

S

T

T

T

T

n

t

t

t

n

t

t

e

 

n – liczba obserwacji 
k – liczba zmiennych objaśniających 
k+1 – liczba parametrów 

Pierwiastek kwadratowy z wariancji reszt określany jest mianem odchylenia standardowego 
reszt

: 

2

e

e

S

S

=

 

Odchylenie standardowe reszt wskazuje, o ile przeciętnie zaobserwowane wartości zmiennej 
objaśnianej (wartości empiryczne) różnią się od wartości teoretycznych wyznaczonych z 
modelu. Odchylenie standardowe reszt nazywane jest także

 

STANDARDOWYM BŁĘDEM 

ŚREDNIM ESTYMACJI

. Błąd ten wyrażony jest w jednostce zmiennej objaśnianej (y). 

y

y

e

ˆ

−

=

 

e – reszta modelu 
 

W

W

S

S

P

P

Ó

Ó

Ł

Ł

C

C

Z

Z

Y

Y

N

N

N

N

I

I

K

K

 

 

Z

Z

M

M

I

I

E

E

N

N

N

N

O

O

Ś

Ś

C

C

I

I

 

 

R

R

E

E

S

S

Z

Z

T

T

O

O

W

W

E

E

J

J

 

Błąd równania mierzony odchyleniem standardowym reszt (Se) jako wielkość wyrażona w 
jednostkach zmiennej objaśnianej nie daje informacji o skali pomyłki dopóki nie porównamy 
go z wartością  średnią zmiennej objaśnianej. Współczynnik zmienności resztowej określa, 
jaki procent średniej wartości zmiennej objaśnianej stanowi odchylenie standardowe reszt.  

100

⋅

=

y

S

V

e

e

 

Im mniejsza jest wartość współczynnika zmienności, tym większa jest zgodność modelu z  
danymi empirycznymi. Zakładamy z góry pewną wartość krytyczną 

 współczynnika 

zmienności losowej, np.: 

. Jeśli zachodzi nierówność: 

, model uważamy 

za dostatecznie dopasowany do zmiennych empirycznych.  

*

V

%

10

*

=

V

*

V

V

e

≤

 

W

W

S

S

P

P

Ó

Ó

Ł

Ł

C

C

Z

Z

Y

Y

N

N

N

N

I

I

K

K

 

 

Z

Z

B

B

I

I

E

E

Ż

Ż

N

N

O

O

Ś

Ś

C

C

I

I

 

 

Współczynnik zbieżności przyjmuje wartości z przedziału <0,1>. Informuje, jaka część 
całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej nie jest wyjaśniona przez model (mówi nam o 
udziale wariancji nie objaśnionej w wariancji całkowitej). Dopasowanie modelu do danych 
jest tym lepsze im mniejsze jest 

.

 

2

ϕ

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

−

−

=

−

=

n

t

t

n

t

t

t

n

t

t

n

t

t

y

y

y

y

y

y

e

1

2

1

2

1

2

1

2

2

)

(

)

ˆ

(

)

(

ϕ

 

 

 

 

19

W

W

S

S

P

P

Ó

Ó

Ł

Ł

C

C

Z

Z

Y

Y

N

N

N

N

I

I

K

K

 

 

D

D

E

E

T

T

E

E

R

R

M

M

I

I

N

N

A

A

C

C

J

J

I

I

 

 

Współczynnik determinacji R

2 

informuje, jaką część całkowitej zmienności zmiennej  

objaśnianej stanowi zmienność wyjaśniona przez model (mówi o udziale wariancji 
objaśnionej w wariancji całkowitej). 

2

2

1

ϕ

−

=

R

 

∑

∑

=

=

−

−

=

−

−

n

t

t

t

n

t

t

t

t

t

t

y

y

e

y

y

y

y

1

2

1

2

2

2

)

(

1

)

(

)

ˆ

(

 

 

Współczynnik determinacji można policzyć dla każdej postaci modelu i bez względu na 
metodę estymacji. Jednak, aby można było zinterpretować jego wartość jako procent 
zmienności zmiennej y objaśnionej przez model, muszą być spełnione warunki:  

•  zależność między zmiennymi musi być liniowa, 
•  w modelu musimy uwzględnić wyraz wolny, gdyż jego brak spowoduje, że 

2

R  może 

przyjmować wartości mniejsze bądź równe zero, tj.: 

2

R  należy (–∞, 1>. 

1

0

2

≤

≤ R

 przy spełnieniu powyższych warunków. 

⇔

= 1

2

R

 gdy wszystkie reszty 

(brak odchyleń), doskonałe dopasowanie modelu 

do danych empirycznych. 

0

*

=

−

t

t

y

y

⇔

= 0

2

R

 gdy zmienne objaśniające modelu zostały dobrane w tak niewłaściwy sposób, że 

żadna z nich nie jest skorelowana ze zmienną objaśnianą, czyli jej nie objaśnia. 

2

R  informuje nas w ilu procentach zmienność zmiennej objaśnianej została wyjaśniona przez 

oszacowany model, czyli przez kształtowanie się zmiennych objaśniających. 

 

S

S

K

K

O

O

R

R

Y

Y

G

G

O

O

W

W

A

A

N

N

Y

Y

 

 

W

W

S

S

P

P

Ó

Ó

Ł

Ł

C

C

Z

Z

Y

Y

N

N

N

N

I

I

K

K

 

 

D

D

E

E

T

T

E

E

R

R

M

M

I

I

N

N

A

A

C

C

J

J

I

I

 

 

Współczynnik determinacji ma jednak wadę - wprowadzenie dodatkowych zmiennych 
objaśniających do modelu powoduje jego wzrost. Skorygowany współczynnik determinacji 
służy do oceny, czy wprowadzenie do modelu nowej zmiennej poprawia stopień wyjaśnienia 
zmiennej objaśnianej. 

1

)

(

)

1

(

1

1

2

1

2

2

−

−

−

−

−

=

∑

∑

=

=

n

y

y

k

n

e

R

n

t

t

t

n

t

t

 

1

1

)

1

(

1

2

2

−

−

−

⋅

−

−

=

k

n

n

R

R

 

B

B

Ł

Ł

Ę

Ę

D

D

Y

Y

 

 

Ś

Ś

R

R

E

E

D

D

N

N

I

I

E

E

 

 

O

O

C

C

E

E

N

N

 

 

P

P

A

A

R

R

A

A

M

M

E

E

T

T

R

R

Ó

Ó

W

W

 

 

By stwierdzić, czy wyznaczone oceny parametrów są precyzyjne i wiarygodne należy 
wyznaczyć odchylenie standardowe dla każdego z estymatorów. 

11

0

)

(

c

Se

S

=

α

 

 

20

22

1

)

(

c

Se

S

=

α

 

33

2

)

(

c

Se

S

=

α

 

itd. 

ii

c  - element stojący na przecięciu i-tego wiersza i i-tej kolumny macierzy

  

1

)

'

(

−

X

X

)

(

i

S

α

 - błąd średni estymatora 

 

Z

Z

A

A

D

D

A

A

N

N

I

I

A

A

 

 

ZADANIE 

1 

Za pomocą klasycznej metody najmniejszych kwadratów oszacuj parametry liniowego 
modelu ekonometrycznego opisującego kształtowanie się sprzedaży energii elektrycznej w 
mln MWh (Y) w pewnym zakładzie energetycznym w zależności od długości linii 
przesyłowych w 10 tys. km ( ) i ilości odbiorców energii w 100 tys. (

).Dokonaj 

weryfikacji statystycznej rezultatów estymacji. Zinterpretuj otrzymane wyniki. 

1

x

2

x

 

Rozwiązanie 

(EXEL) 

1.  Oblicz   

yˆ

2

2

1

1

0

ˆ

x

x

y

α

α

α

+

+

=

 

2

1

0

,

,

α

α

α

 - blokujemy F4 

y^ 

3,18 

3,33 

3,42 

3,48 

3,57 

3,63 

3,72 

3,78 

3,87 

4,02 

2.  Wykonaj wykres y i  

yˆ

Kliknij na pusta komórkę 

→ wstaw → wykres →linowy → zakres danych: wartości y i   

→ dalej → dalej → zakończ 

yˆ

 

 

21

3. 

Oblicz wariancję reszt

 

2

e

S

)

1

(

1

2

2

+

−

=

∑

=

k

n

e

S

n

t

t

e

 

•  Wyznacz e  

y

y

e

ˆ

−

=

 

e 

0,02 

-0,03 

-0,02 

0,02 

0,03 

-0,03 

-0,02 

0,02 

0,03 

-0,02 

•  Oblicz    

2

e

e^2

2

=

e

 

e^2 

0,0004 

0,0009 

0,0004 

0,0004 

0,0009 

0,0009 

0,0004 

0,0004 

0,0009 

0,0004 

•  Oblicz  

 

∑

=

n

t

t

e

1

2

006

,

0

1

2

=

∑

=

n

t

t

e

 

•  Oblicz 

 

2

e

S

n – liczba obserwacji 
k – liczba zmiennych objaśniających (

) 

2

1

, x

x

k+1 – liczba parametrów strukturalnych (

2

1

0

,

,

α

α

α

) 

n = 10 
k = 2 

)

1

(

1

2

2

+

−

=

∑

=

k

n

e

S

n

t

t

e

 

 

22

0,000857

7

006

,

0

)

1

2

(

10

006

,

0

2

=

=

+

−

=

e

S

 

Interpretacja 

 

4. 

Oblicz odchylenie standardowe

 

e

S

2

e

e

S

S

=

 

Wstaw 

→ Funkcja → 

PIERWIASTEK

 

→ zaznacz wartość 

 

2

e

S

0,029277

=

e

S

 

Interpretacja 
Szacując badane zjawisko średnio mylimy się o 0,29 mln MWh (jednostek, w której jest 
y) 
Odchylenie standardowe reszt (

) to błąd ogólny modelu. Aby stwierdzić czy dany błąd 

jest duży czy mały należy obliczyć współczynnik zmienności resztowej.  

e

S

5. 

Oblicz współczynnik zmienności resztowej (

) 

e

V

100

⋅

=

y

S

V

e

e

 

•  Oblicz 

y

 

Wstaw 

→ Funkcje → 

ŚREDNIA

 

→ zaznacz wszystkie wartości y 

6

,

3

=

y

 

•  Oblicz   

e

V

y

S

V

e

e

=

 

→ zamień na % → dodaj miejsca po przecinku 

%

813

,

0

=

e

V

 

Interpretacja 

Ponieważ 

 < 10% model jest dostatecznie dobrze dopasowany do danych 

empirycznych.  

e

V

6. 

Oblicz współczynnik zbieżności 

 

)

(

2

ϕ

∑

∑

=

=

−

=

n

t

t

n

t

t

y

y

e

1

2

1

2

2

)

(

ϕ

 

•  Oblicz 

2

)

(

y

y

t

−

 

y

 - blokujemy F4 

 

 

23

(y - yśr)^2

0,16 

0,09 

0,04 

0,01 

0 

0 

0,01 

0,04 

0,09 

0,16 

•  Oblicz 

∑

−

2

)

(

y

y

t

 

6

,

0

)

(

2

=

−

∑

y

y

t

 

•  Oblicz współczynnik zbieżności 

 

)

(

2

ϕ

∑

∑

=

=

−

=

n

t

t

n

t

t

y

y

e

1

2

1

2

2

)

(

ϕ

 

    

0,01

    

2

=

ϕ

 

Interpretacja 
Współczynnik zbieżności informuje nas o tym jaka część badanej zmiennej nie została 
wyjaśniona przez model (Współczynnik zbieżności to ta część modelu, która nie wyjaśnia 
zmienności y). 
Model w 1% nie wyjaśnia zmienności y.  

7. 

 Oblicz współczynnik determinacji 

 

)

(

2

R

2

2

1

ϕ

−

=

R

 

%

99

99

,

0

01

,

0

1

2

=

=

−

=

R

 

Interpretacja 
Model w 99% wyjaśnia badane zjawisko (Model w 99% wyjaśnia zmienność y). 

8. 

 Oblicz skorygowany współczynnik determinacji 

)

(

2

R

 

1

1

)

1

(

1

2

2

−

−

−

⋅

−

−

=

k

n

n

R

R

 

0,987143

2

=

R

 

 

9. 

Oblicz Błędy średnie ocen parametrów 

)

(

0

α

S

 

11

0

)

(

c

Se

S

=

α

 

 

24

22

1

)

(

c

Se

S

=

α

 

33

2

)

(

c

Se

S

=

α

 

Bierzemy pod uwagę macierz 

 

→ Se* → wstaw → funkcje → pierwiastek →  

1

)

(

−

X

X

T

11

c

 - pierwszy element głównej przekątnej macierzy 

 

1

)

(

−

X

X

T

22

c

 - drugi element głównej przekątnej macierzy 

 

1

)

(

−

X

X

T

10. Podsumowanie  

Narzędzia 

→ Dodatki → √ Analysis ToolPak  

Narzędzia 

→ Analiza danych → regresja →  

zakres wejściowy y: zaznacz wszystkie wartości y wraz z nazwą 

zakres wejściowy x: zaznacz wszystkie wartości 

 z nazwą (bez 1) 

2

1

, x

x

→ √ tytuły → √ składniki resztowe → OK 

 

ZADANIE 

2 

W pewnym przedsiębiorstwie wielkość produkcji (   -  w  tysiącach sztuk), zatrudnienie (

 

– liczba zatrudnionych w tysiącach osób) oraz wartość majątku trwałego (

 – w miliardach 

t

Y

t

X

1

t

X

2

złoty) kształtowały się w latach 1988-1994 następująco: 

 

Oszacuj parametry strukturalne modelu wielkość produkcji w przedsiębiorstwie 

t

t

t

t

X

X

Y

1

2

2

1

1

0

ε

α

α

α

+

+

+

=

 za pomocą Klasycznej Metody Najmniejszych Kwadratów. 

Dokonaj weryfikacji statystycznej rezultatów estymacji. Zinterpretuj otrzymane wyniki. 

Rozwiązanie 

(EXEL) 

1.  Oblicz 

2

1

0

,

,

α

α

α

 

Y

X

X

X

T

T

1

)

(

−

=

α

 

•  Oblicz 

T

X  

Utwórz macierz X (dodaj kolumnę 1) 

→ kopiuj → wklej specjalnie → transpozycja 

→ OK 

•  Oblicz wymiar 

X

X

T

 

 

 

3

3

3

7

7

3

×

=

⋅

×

×

X

X

T

•  Oblicz 

X

X

T

 

 

25

Zaznacz obszar 3x3 

→ wstaw → funkcja → 

MACIERZ

.

ILOCZYN

 

→  

Tablica 1: zaznacz obszar macierzy 

T

X ;  

Tablica 2: zaznacz obszar macierzy X (bez tytułu) + F4 

→ Ctr + Shift + Enter 

7 34 

121,7 

34 165,46 

595,21 

121,7 595,21 

2183,21

•  Budujemy macierz odwrotną 

 

1

)

(

−

X

X

T

Zaznacz obszar 3x3 

→ wstaw → funkcja → 

MACIERZ

.

ODW 

→ zaznacz 

X

X

T

 + 

F4 

→ 

Ctr + Shift + Enter 

216,5607 -55,7689 3,132436

-55,7689 14,67538

-0,8922 

3,132436

-0,8922 0,069085

•  Oblicz wymiar 

Y

X

T

 

1

3

1

7

7

3

×

=

⋅

×

×

Y

X

T

 

•  Oblicz 

Y

X

T

 

Zaznacz obszar 3x1 

→ wstaw → funkcja → 

MACIERZ

.

ILOCZYN

 

→  

Tablica 1: zaznacz obszar macierzy 

T

X  (bez tytułu)  

Tablica 2: zaznacz obszar macierzy Y (bez tytułu) + F4 

→ Ctr + Shift + Enter 

682,5 

3329,29 

12088,66

•  Oblicz wymiar 

Y

X

X

X

T

T

⋅

−1

)

(

 

 

 

1

3

)

(

1

3

3

3

1

×

=

⋅

×

×

−

Y

X

X

X

T

T

•  Oblicz 

 

Y

X

X

X

T

T

1

)

(

−

=

α

 

Zaznacz obszar 3x1 

→ wstaw → funkcja → 

MACIERZ

.

ILOCZYN

 

→  

Tablica 1: zaznacz obszar macierzy 

 

(bez tytułu)  

1

)

(

−

X

X

T

Tablica 2: zaznacz obszar macierzy 

Y

X

T

 (bez tytułu) + F4 

→ Ctr + Shift + Enter 

-1,18617

10,83113
2,650328

•  Odpowiedź 

t

t

t

t

X

X

Y

1

2

2

1

1

0

ε

α

α

α

+

+

+

=

 

t

t

t

X

X

Y

2

1

65

,

2

10,83

-1,2

ˆ

+

+

=

 

 
 

 

26

Interpretacja

 (KMNK) 

Wzrost 

 o 1 jednostkę spowoduje wzrost y o 10,83 jednostki, przy założeniu 

stałości pozostałych zmiennych (ceteris paribus) 

t

X

1

Wzrost 

 o 1 jednostkę spowoduje wzrost y o 2,65 jednostki, przy założeniu 

stałości pozostałych zmiennych (ceteris paribus) 

t

X

2

2.  Oblicz   

yˆ

2

2

1

1

0

ˆ

x

x

y

α

α

α

+

+

=

 

2

1

0

,

,

α

α

α

 - blokujemy F4 

y^ 

76,7075 

93,45053 
95,85881 
96,38887 
101,7355 
108,1422 
110,2165 

3.  Wykonaj wykres y i  

yˆ

Kliknij na pusta komórkę 

→ wstaw → wykres →linowy → zakres danych: wartości y i   

→ dalej → dalej → zakończ 

yˆ

4. 

Oblicz wariancję reszt

 

2

e

S

)

1

(

1

2

2

+

−

=

∑

=

k

n

e

S

n

t

t

e

 

•  Wyznacz e  

y

y

e

ˆ

−

=

 

e 

0,192496

-3,25053
-0,35881

3,611125
0,664507

-1,14224

0,283457
0,192496

-3,25053
-0,35881

•  Oblicz    

2

e

e^2

2

=

e

 

e^2 

0,037055

10,56596

0,128744

13,04023

0,441569

1,30472 

0,080348

 

27

•  Oblicz  

 

∑

=

n

t

t

e

1

2

25,59862

1

2

=

∑

=

n

t

t

e

 

•  Oblicz 

 

2

e

S

n – liczba obserwacji 
k – liczba zmiennych objaśniających (

) 

2

1

, x

x

k+1 – liczba parametrów strukturalnych (

2

1

0

,

,

α

α

α

) 

n = 7 
k = 2 

)

1

(

1

2

2

+

−

=

∑

=

k

n

e

S

n

t

t

e

 

6,399656

4

25,59862

)

1

2

(

7

25,59862

2

=

=

+

−

=

e

S

 

Interpretacja 

 

5. 

Oblicz odchylenie standardowe

 

e

S

2

e

e

S

S

=

 

Wstaw 

→ Funkcja → 

PIERWIASTEK

 

→ zaznacz wartość 

 

2

e

S

2,529754

=

e

S

 

Interpretacja 
Szacując badane zjawisko średnio mylimy się o 2,53 tys. szt. (jednostek, w której jest y) 
Odchylenie standardowe reszt (

) to błąd ogólny modelu. Aby stwierdzić czy dany błąd 

jest duży czy mały należy obliczyć współczynnik zmienności resztowej.  

e

S

6. 

Oblicz współczynnik zmienności resztowej (

) 

e

V

100

⋅

=

y

S

V

e

e

 

•  Oblicz 

y

 

Wstaw 

→ Funkcje → 

ŚREDNIA

 

→ zaznacz wszystkie wartości y 

97,5

=

y

 

•  Oblicz   

e

V

y

S

V

e

e

=

 

→ zamień na % → dodaj miejsca po przecinku 

2,59%

=

e

V

 

 

 

28