1
Fale materii i równanie
Schroedingera
FALE MATERII
W 1924 r. de Broglie zapostulował,
Ŝ
e skoro
ś
wiatło ma
dwoist
ą
, falowo-cz
ą
stkow
ą
, natur
ę
, to tak
Ŝ
e materia mo
Ŝ
e
mie
ć
tak
ą
natur
ę
.
Klasyczna teoria elektromagnetyzmu
ś
wiatło o energii
E
ma p
ę
d
p = E/c
λ
λ
h
c
hc
c
hv
c
E
p
f
=
=
=
=
Hipoteza
długo
ść
przewidywanych fal materii jest okre
ś
lona tym samym zwi
ą
zkiem, który
stosuje si
ę
do
ś
wiatła
p
h
=
λ
Wyra
Ŝ
enie to wi
ąŜ
e p
ę
d cz
ą
stki materialnej z długo
ś
ci
ą
przewidywanych fal materii
Hipoteza de Broglie (1924, Nagroda Nobla w 1929)
2
Przykład: Jaka długo
ść
fal materii odpowiada
„masywnym”
obiektom np. piłce, o masie
1 kg, poruszaj
ą
cej si
ę
z pr
ę
dko
ś
ci
ą
10 m/s, a jaka
„lekkim”
elektronom przyspieszonych
napi
ę
ciem 100 V?
Dla
piłki
p = mv = 1 kg·10 m/s = 10 kg m/s
m
10
6
.
6
kgm/s
10
Js
10
6
.
6
35
34
−
−
⋅
=
⋅
=
=
p
h
λ
l
≅
0 (w porównaniu z rozmiarami obiektu)
do
ś
wiadczenia prowadzone na takim obiekcie nie
pozwalaj
ą
na rozstrzygni
ę
cie czy materia wykazuje własno
ś
ci falowe.
Elektrony
przyspieszone napi
ę
ciem
100 V uzyskuj
ą
energi
ę
kinetyczn
ą
E
k
= eU = 100 eV = 1.6·10
-17
J
s
m
.
kg
.
J
.
6
31
17
10
9
5
10
1
9
10
6
1
2
2
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
=
−
−
m
E
k
v
nm
12
.
0
m
10
2
.
1
s
m
kg
10
9
.
5
10
1
.
9
Js
10
6
.
6
10
6
31
34
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
=
−
−
−
v
m
h
p
h
λ
Jest to wielko
ść
rz
ę
du odległo
ś
ci mi
ę
dzyatomowych w ciałach stałych.
Jak zbada
ć
falow
ą
natur
ę
materii? Mo
Ŝ
e zbada
ć
obraz po przej
ś
ciu przez szczeliny ?
obraz dla cz
ą
stek
obraz dla fal
3
(maksima)
,.....
,
,
,
sin
3
2
1
2
=
=
m
m
d
λ
θ
prawo Bragga
Dyfrakcja promieni X jest do
ś
wiadczaln
ą
metod
ą
badania rozmieszczenia atomów w
kryształach.
Dyfrakcja promieniowania X - przypomnienie
Czy mo
Ŝ
na wi
ę
c zbada
ć
falow
ą
natur
ę
materii próbuj
ą
c uzyska
ć
obraz dyfrakcyjny dla wi
ą
zki
elektronów padaj
ą
cych na kryształ analogicznie jak dla promieni Roentgena?
nm
12
.
0
=
e
λ
Elektrony
przyspieszone napi
ę
ciem 100 V
nm
2
.
0
1
.
0
~
−
X
λ
Do
ś
wiadczenie Davissona i Germera (1927)
Elektrony przyspieszane s
ą
napi
ę
ciem U
Wi
ą
zka pada na kryształ niklu, a detektor
jest ustawiony pod zmiennym k
ą
tem j
Rejestrowane jest nat
ęŜ
enie wi
ą
zki
ugi
ę
tej na krysztale dla ró
Ŝ
nego U.
Maksimum dyfrakcyjne rejestrowane jest dla
ϕ
= 50° przy
U
= 54 V.
θ
= 90°
−
ϕ
/2
λ
θ
=
sin
2d
dla niklu (d = 0.091 nm)
l = 0.165 nm
nm
165
.
0
=
=
=
v
m
h
p
h
λ
m
eU
m
E
k
2
2
=
=
v
długo
ść
fali de Broglie’a
4
Dyfrakcja cz
ą
stek (np.
elektronów lub neutronów)
Zarówno cz
ą
stki naładowane jak i nienaładowane, wykazuj
ą
cechy charakterystyczne dla fal.
Dyfrakcja neutronów jest powszechnie stosowan
ą
technik
ą
eksperymentaln
ą
u
Ŝ
ywan
ą
do
badania struktury ciał stałych.
Zarówno dla materii, jak i dla
ś
wiatła, przyjmujemy istnienie dwoistego ich
charakteru.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
40
50
60
70
80
90
100
110
120
2the ta
in
te
n
s
it
y
0
5 00
1 0 00
1 5 00
2 0 00
2 5 00
3 0 00
3 5 00
4 0
5 0
6 0
70
8 0
90
10 0
1 1 0
12 0
2the ta
in
te
n
s
it
y
λ
θ
=
sin
2d
promieniowanie X
neutrony
Orbita musi na swym obwodzie mie
ś
ci
ć
całkowit
ą
liczb
ę
długo
ś
ci fal de Broglie'a
λ
π
n
r
=
2
p
h
n
r
=
π
2
p
h
=
λ
,.....
2
,
1
2
=
=
=
n
h
n
pr
L
π
Warunek Bohra kwantyzacji momentu p
ę
du jest konsekwencj
ą
przyj
ę
cia zało
Ŝ
enia,
Ŝ
e elektron jest reprezentowany przez fal
ę
materii.
Struktura atomu i fale materii
Ruch fal jest ograniczony przez nało
Ŝ
enie warunków
fizycznych,
analogicznie jak dla drga
ń
struny zamocowanej na obu
ko
ń
cach.
Mamy wtedy do czynienia z fal
ę
stoj
ą
c
ą
(a nie bie
Ŝą
c
ą
)
w strunie mog
ą
wyst
ę
powa
ć
tylko pewne długo
ś
ci fal.
Mamy do czynienia z kwantyzacj
ą
długo
ś
ci fal wynikaj
ą
c
ą
z
ogranicze
ń
nało
Ŝ
onych na fal
ę
.
Postulat de Broglie'a wi
ąŜ
e elektron ze stoj
ą
ca fal
ą
materii.
5
W 1926 roku E. Schrödinger sformułował mechanik
ę
falow
ą
(jedno ze sformułowa
ń
fizyki kwantowej) zajmuj
ą
c
ą
si
ę
opisem
falowych własno
ś
ci materii
–
uogólnienie postulatu de
Broglie'a.
•
Elektron w stanie stacjonarnym w atomie mo
Ŝ
e by
ć
opisany za pomoc
ą
stoj
ą
cych fal
materii, przy czym podstaw
ę
stanowi zwi
ą
zek de Broglie'a p = h/
λ
wi
ąŜą
cy własno
ś
ci
cz
ą
steczkowe z falowymi.
•
Teoria ta okre
ś
la prawa ruchu falowego cz
ą
stek w dowolnym układzie mikroskopowym.
•
Formułuje równanie opisuj
ą
ce zachowanie si
ę
funkcji falowej (funkcja opisuj
ą
ca fale
materii) dla takiego układu i okre
ś
la zwi
ą
zek pomi
ę
dzy zachowaniem si
ę
cz
ą
stek, a
zachowaniem funkcji falowej opisuj
ą
cej cz
ą
stki.
ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ
Postulat de Broglie'a wi
ąŜ
e elektron ze stoj
ą
ca fal
ą
materii ale....
• nie daje informacji o sposobie rozchodzenia si
ę
fal materii,
• nie odpowiadał na pytanie jak
ą
posta
ć
mo
Ŝ
e mie
ć
funkcja opisuj
ą
ca fale materii, jak j
ą
wyznaczy
ć
oraz jaka jest jej interpretacja.
E. Schrödinger (Nagroda Nobla 1933)
Fale opisujemy za pomoc
ą
funkcji przedstawiaj
ą
cych wybran
ą
wielko
ść
fizyczn
ą
, która zmienia
si
ę
w taki falowy sposób np.:
• fala mechaniczna w strunie
funkcja opisuj
ą
ca poprzeczne wychylenie struny,
• fala EM
funkcja opisuj
ą
ca wektor nat
ęŜ
enia pola elektrycznego E (lub B),
• do opisu własno
ś
ci falowych cz
ą
stek b
ę
dziemy posługiwa
ć
si
ę
funkcj
ą
reprezentuj
ą
c
ą
fal
ę
de
Broglie'a, tak zwan
ą
funkcj
ą
falow
ą
Ψ
(zale
Ŝ
n
ą
od czasu i współrz
ę
dnych przestrzennych):
Funkcja falowa
t
i
e
z
y
x
t
z
y
x
ω
ψ
−
⋅
=
Ψ
)
,
,
(
)
,
,
,
(
I
ψ
I
2
jest wi
ę
c g
ę
sto
ś
ci
ą
prawdopodobie
ń
stwa.
Prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e znajdziemy cz
ą
stk
ę
w
przedziale [x, x+dx] wynosi I
ψ
(x)I
2
dx.
Poniewa
Ŝ
funkcja falowa mo
Ŝ
e przyjmowa
ć
warto
ś
ci zespolone to uwzgl
ę
dniamy kwadrat
modułu funkcji falowej. I
ψ
I
2
jest zawsze dodatnia i rzeczywista.
Znaczenie fizyczne ma wi
ę
c
I
ψ
I
2
, a nie
ψ
Ta interpretacja funkcji y daje statystyczny zwi
ą
zek pomi
ę
dzy fal
ą
i zwi
ą
zan
ą
z ni
ą
cz
ą
stk
ą
. Nie mówimy gdzie cz
ą
stka jest ale gdzie prawdopodobnie si
ę
znajdzie.
Interpretacja M. Borna: wielko
ść
I
ψ
I
2
w dowolnym punkcie przedstawia
miar
ę
prawdopodobie
ń
stwa (na jednostk
ę
czasu),
Ŝ
e cz
ą
stka znajdzie
si
ę
w pobli
Ŝ
u tego punktu to znaczy w jakim
ś
obszarze wokół tego
punktu np. w przedziale x, x+dx.
Nagroda Nobla 1954
6
•Fale mechaniczne np. w strunie s
ą
opisywane przez równania
mechaniki Newtona (równanie falowe d'Alamberta):
•Fale EM s
ą
opisywane przez równania Maxwella (równanie
falowe d'Alamberta):
•Fale materii s
ą
opisywane przez równanie Schrödingera:
[
]
)
(
)
(
2
)
(
2
2
2
x
x
U
E
m
x
d
x
d
ψ
ψ
−
−
=
h
E
jest energi
ą
całkowit
ą
cz
ą
stki,
U (x)
jej energi
ą
potencjaln
ą
zale
Ŝ
n
ą
od jej poło
Ŝ
enia
Rozwi
ą
zanie równania Schrödingera polega na znalezieniu
funkcji falowej
ψ(
x)
i warto
ś
ci
energii cz
ą
stki
E
przy znanej działaj
ą
cej na cz
ą
stk
ę
sile zadanej poprzez energi
ę
potencjaln
ą
U (x)
.
Równanie Schrödingera (1926)
2
2
2
2
2
1
t
y
x
y
∂
∂
∂
∂
v
=
2
2
2
2
2
1
t
c
x
∂
∂
∂
∂
B
B
=
2
2
2
2
2
1
t
c
x
∂
∂
∂
∂
E
E
=
i
x
t
x
i
t
x
x
U
x
t
x
m
∂
Ψ
∂
=
Ψ
+
∂
Ψ
∂
−
)
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
2
2
2
h
h
π
2
h
=
h
t
i
e
x
t
x
ω
ψ
−
⋅
=
Ψ
)
(
)
,
(
modulacja
przestrzenna
zmienność
w czasie
rozwi
ą
zanie:
równanie w jednym wymiarze:
h
E
=
ω
oraz
Przykład:
swobodna cz
ą
stka
U (x) = 0
cz
ą
stka
swobodna
ψ
ψ
E
m
x
2
2
2
2
d
d
h
−
=
p
h
=
λ
h
mE
k
2
=
ψ
ψ
2
2
2
d
d
k
x
−
=
ikx
Ae
±
=
ψ
G
ę
sto
ść
prawdopodobie
ń
stwa:
const.
2
2
=
=
⋅
=
−
A
Ae
Ae
ikx
ikx
ψ
jednakowe prawdopodobie
ń
stwo znalezienia
cz
ą
stki w ka
Ŝ
dym punkcie toru ruchu
[
]
)
(
)
(
2
)
(
2
2
2
x
x
U
E
m
x
d
x
d
ψ
ψ
−
−
=
h
m
p
m
E
E
k
2
2
2
2
=
=
=
v
h
p
k
=
h
p
π
λ
π
2
2
=
otrzymaliśmy relację
de Broglie
z cz
ęś
ci zale
Ŝ
nej od czasu:
h
E
=
ω
cz
ęść
przestrzenna:
h
E
π
πν
2
2
=
h
E
π
πν
2
2
=
ν
h
E
=
otrzymaliśmy relację analog. do wzoru
Einsteina dla światła
Brak kwantyzacji – dowolne warto
ś
ci energii i p
ę
du!
7
Przykład
:
elektron w
∞
studni potencjału
x < 0
x > L
0
≤
x
≤
L
U (x) = 0
U (x)
∞
Poza studni
ą
prawdopodobie
ń
stwo znalezienia
cz
ą
stki = 0
ψ
(0) = 0
i
ψ
(L) = 0
Analogia do struny umocowanej
na obu ko
ń
cach.
...
,
2
,
1
2
lub
2
=
=
=
n
n
L
n
L
λ
λ
długo
ść
fali jest skwantowana
......
,
2
,
1
,
sin
)
(
=
=
n
L
x
n
A
x
π
ψ
......
,
2
,
1
,
sin
)
(
2
2
2
=
=
n
L
x
n
A
x
π
ψ
p
h
=
λ
...
,
2
,
1
2
lub
2
=
=
=
n
n
L
n
L
λ
λ
L
nh
p
2
=
m
p
m
E
E
k
2
2
v
2
2
=
=
=
......
,
2
,
1
,
8
2
2
2
=
=
n
mL
h
n
E
kwantyzacja energii
!!
8
Przykład
: elektron w sko
ń
czonej studni potencjału
Elektronowe fale materii
przenikaj
ą
do obszaru o U (x) = U
0
niedost
ę
pnego według klasycznej
mechaniki Newtona
[
]
ψ
π
ψ
0
2
2
2
2
8
d
d
U
E
h
m
x
−
−
=
Przykład
: tunelowanie elektronu przez barier
ę
potencjału
E < U
0
!!!
klasycznie
elektron
odbije si
ę
od bariery
kwantowo
istnieje prawdopodobie
ń
stwo,
Ŝ
e elektron przeniknie (przetuneluje) przez
barier
ę
dla x < 0 obserwujemy fal
ę
stoj
ą
c
ą
powstał
ą
w wyniku nało
Ŝ
enia si
ę
elektronowej fali
padaj
ą
cej i odbitej od bariery
Elektron mo
Ŝ
e przej
ść
przez „
ś
cian
ę
” mimo,
Ŝ
e
jego energia, z pozoru, na to nie pozwala
9
Jedn
ą
z
konsekwencji falowo-cz
ą
steczkowej natury materii
jest
to,
Ŝ
e jedyne czego mo
Ŝ
emy dowiedzie
ć
si
ę
o ruchu elektronów
to
prawdopodobie
ń
stwo znalezienia ich w przestrzeni
.
Czy mo
Ŝ
emy "
dokładnie
" opisa
ć
ruch elektronu tzn. równocze
ś
nie okre
ś
li
ć
jego poło
Ŝ
enie
i pr
ę
dko
ść
? Negatywna odpowied
ź
jest zawarta w zasadzie nieoznaczono
ś
ci Heisenberga.
2
/
2
/
2
/
h
h
h
≥
∆
∆
≥
∆
∆
≥
∆
∆
z
p
y
p
x
p
z
y
x
im dokładniej mierzymy p
ę
d,
np. zmniejszamy
∆
p
x
, tym
bardziej ro
ś
nie
nieoznaczono
ść
poło
Ŝ
enia
∆
x.
Zasada nieoznaczono
ś
ci Heisenberga (Nagroda Nobla 1954)
Głosi ona,
Ŝ
e iloczyn nieokre
ś
lono
ś
ci p
ę
du cz
ą
stki i nieokre
ś
lono
ś
ci jej poło
Ŝ
enia w
danym kierunku jest zawsze wi
ę
kszy od stałej Plancka
ikx
Ae
±
=
ψ
h
k
p
=
ψ
ψ
ψ
ψ
x
pakiet falowy
cz
ą
stka
zlokalizowana czyli p
ę
d
rozmyty
interferencja
wielu fal o ró
Ŝ
nych p
ę
dach
p
ę
d
ś
ci
ś
le okre
ś
lony
cz
ą
stka niezlokalizowana
Je
Ŝ
eli cz
ą
stka posiada energi
ę
E, to dokładno
ść
jej wyznaczenia
∆
E
zale
Ŝ
y od czasu pomiaru
∆
t zgodnie z relacj
ą
Druga cz
ęść
zasady nieoznaczono
ś
ci dotyczy pomiaru energii i czasu potrzebnego na wykonanie
tego pomiaru.
2
/
h
≥
∆
∆
t
E
Im dłu
Ŝ
ej cz
ą
stka jest w stanie o energii E tym dokładniej mo
Ŝ
na t
ę
energi
ę
wyznaczy
ć
(np.
w stanie stacjonarnym energia jest stała w czasie)
Ograniczenie dokładno
ś
ci pomiarów nie ma nic wspólnego z wadami i niedokładno
ś
ciami
aparatury pomiarowej lecz jest wynikiem falowej natury cz
ą
stek.
przykład:
dyfrakcja na szczelinie
λ
θ =
∆
min
sin
x
min
min
sin
sin
θ
λ
θ
h
p
p
x
=
≥
∆
2
/
h
≥
≥
∆
⋅
∆
h
p
x
x