Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
22-1
Wykład 22
22.
Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna
22.1
Prawo Ampera
Chcemy teraz znaleźć pole magnetyczne wytwarzane przez powszechnie występują-
ce rozkłady prądów, takich jak przewodniki prostoliniowe, cewki itd.
Pole magnetyczne prezentujemy graficznie rysując
tzw.
linie pola magnetycznego
czyli linie wektora indukcji
magnetycznej. Na rysunku pokazane są linie pola magne-
tycznego wokół prostoliniowego przewodnika z prądem.
Wektor B jest styczny do tych linii pola w kaŜdym punk-
cie.
Linie pola B wytwarzanego przez przewodnik są
za-
mkniętymi
współśrodkowymi okręgami w płaszczyźnie
prostopadłej do przewodnika
. To, Ŝe linie pola B są za-
mknięte stanowi fundamentalną róŜnicę między polem
magnetycznym i elektrycznym, którego linie zaczynają się
i kończą na ładunkach.
Zwrot wektora indukcji B wokół przewodnika wyzna-
czamy stosując następującą zasadę: Jeśli kciuk prawej ręki
wskazuje kierunek prądu I, to zgięte palce wskazują kie-
runek B (linie pola B krąŜą wokół prądu).
ś
eby obliczyć pole B potrzeba nam "magnetycznego" odpowiednika prawa Gaussa.
Związek między prądem i polem B jest wyraŜony poprzez
prawo Ampera
.
Zamiast sumowania (całki) E po zamkniętej powierzchni, w prawie Ampera sumujemy
(całkujemy) po zamkniętym konturze (całkę krzywoliniową). Taka całka dla pola E
równała się wypadkowemu ładunkowi wewnątrz powierzchni, a w przypadku pola B
jest równa całkowitemu prądowi otoczonemu przez kontur, co zapisujemy
∫
=
I
0
d
µµµµ
l
B
(22.1)
gdzie
µ
0
= 4
π
·10
-7
Tm/A, jest
przenikalnością magnetyczną próŜni
. Tak jak w przypad-
ku prawa Gaussa wynik był prawdziwy dla dowolnej powierzchni zamkniętej tak dla
prawa Ampera wynik nie zaleŜy od kształtu konturu zamkniętego
Przykład 1
Obliczmy pole wokół nieskończenie długiego prostoliniowego
przewodnika w odległości r od niego. Z prawa Ampera wynika,
Ŝ
e dla konturu kołowego (rysunek obok)
B2
π
r =
µ
0
I
Stąd
I
r
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
22-2
r
I
B
π
µ
2
0
=
(22.2)
22.2
Strumień magnetyczny
Tak jak liczyliśmy strumień dla pola E (liczbę linii przechodzących przez po-
wierzchnię S) tak teŜ obliczamy strumień pola B
∫
=
S
B
s
B d
φ
(22.3)
PoniewaŜ linie pola B są zamknięte więc strumień przez zamkniętą powierzchnię musi
być równy zeru
(tyle samo linii wchodzi co wychodzi).
∫
=
S
0
d s
B
22.3
Przykładowe rozkłady prądów
22.3.1
Pręt (przewodnik)
Na zewnątrz pręta (r > R) znamy juŜ pole B.
r
I
B
π
µ
2
0
=
Pole to jest takie jakby cały prąd płynął przez środek pręta
(analogie do rozkładu ładunków).
JeŜeli chcemy obliczyć pole wewnątrz pręta to wybieramy
kontur kołowy o r < R.
Wewnątrz konturu przepływa prąd i będący tylko częścią
całkowitego prądu I
2
2
R
r
I
i
π
π
=
Stąd
B2
π
r =
µ
0
i
2
2
0
2
R
r
I
r
B
π
π
µ
π
=
Czyli
2
0
2 R
Ir
B
π
µ
=
I
r
R
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
22-3
22.3.2
Cewka (solenoid)
Solenoidem
nazywamy cewkę składającą się z duŜej liczby zwojów. Linie pola
magnetycznego solenoidu są pokazane schematycznie na rysunku poniŜej. Jak widać
pole wewnątrz solenoidu jest jednorodne, a na zewnątrz praktycznie równe zeru.
JeŜeli zwoje solenoidu stykają się ze sobą wówczas moŜemy rozpatrywać solenoid jako
układ połączonych szeregowo prądów kołowych (rysunek).
Do obliczenia pola wytwarzanego przez sole-
noid zastosujemy prawo Ampera, dla konturu
pokazanego na rysunku obok.
Całkę
∫
l
B d
przedstawimy jako sumę czte-
rech całek
∫
∫
∫
∫
∫
+
+
+
=
a
d
d
c
c
b
b
a
l
B
l
B
l
B
l
B
l
B
d
d
d
d
d
Druga i czwarta całka są równe zeru bo B
⊥
l. Trzecia całka jest teŜ równa zero ale to
dlatego, Ŝe B = 0 na zewnątrz solenoidu. Tak więc niezerowa jest tylko całka pierwsza
i równa
∫
=
b
a
h
B
l
B
d
gdzie h jest długością odcinka ab.
Teraz obliczmy prąd obejmowany przez kontur.
JeŜeli cewka ma n zwojów na jednostkę długości to wewnątrz konturu jest nh zwojów
czyli całkowity prąd przez kontur wynosi:
I = I
0
nh
gdzie I
0
jest prądem przepływającym przez cewkę (przez pojedynczy zwój).
Z prawa Ampera otrzymujemy więc:
a
b
c
d
B
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
22-4
Bh =
µ
0
I
0
nh
czyli
B =
µ
0
I
0
n
(22.4)
22.3.3
Dwa przewodniki równoległe
Dwa przewodniki równoległe umieszczone w odległości d. Płyną w nich prądy I
a
i I
b
odpowiednio.
Przewodnik a wytwarza w swoim otocze-
niu pole
d
I
B
a
a
π
µ
2
0
=
W tym polu znajduje się przewodnik b, w
którym przepływa prąd I
b
. Na odcinek l
tego przewodnika działa siła
d
I
I
l
lB
I
F
b
a
a
b
b
π
µ
2
0
=
=
(22.5)
Zwrot siły widać na rysunku.
To rozumowanie moŜna "odwrócić" za-
czynając od przewodnika b. Wynik jest ten sam.
Fakt oddziaływania przewodników równoległych wykorzystano przy definicji ampe-
ra. ZałóŜmy, Ŝe d = 1m oraz, Ŝe I
a
= I
b
= I. JeŜeli dobierzemy tak prąd aby siła przycią-
gania przewodników, na 1 m ich długości, wynosiła 2·10
-7
N to mówimy, Ŝe natęŜenie
prądu jest równe
1 amperowi
.
22.4
Prawo Biota-Savarta
Istnieje inne równanie, zwane
prawem Biota-Savarta
, które pozwala obliczyć B
z rozkładu prądu. Oczywiście to prawo i prawo Ampera muszą być matematycznie rów-
nowaŜne. Prawo Ampera jest jednak "łatwe" w stosowaniu tylko gdy rozkłady prądów
są na tyle symetryczne, Ŝe obliczenie odpowiedniej całki nie jest trudne. Gdy rozkład
prądów jest skomplikowany (nie znamy jego symetrii) to dzielimy prądy na nieskończe-
nie małe elementy (rysunek) i stosując prawo Biota-Savarta obliczamy pole od takich
elementów, a następnie sumujemy je (całkujemy)
Ŝ
eby uzyskać wypadkowy wektor B.
Wartość liczbowa dB zgodnie z prawem Biota-
Savarta wynosi
2
0
sin
d
4
d
r
l
I
B
θ
π
µ
=
a zapisane w postaci wektorowej
d
i
a
i
b
F
B
a
l
a
b
r
dl
I
θ
dB
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
22-5
3
0
d
4
d
r
I
r
l
B
×
=
π
µ
(22.6)
Przykład 2
Obliczmy pole B na osi kołowego przewodnika z prądem.
Z prawa B -S otrzymujemy
2
0
90
sin
d
4
d
r
l
I
B
o
π
µ
=
oraz
α
cos
d
d
B
B
II
=
Z tych równań otrzymujemy
2
0
4
d
cos
d
r
l
I
B
II
π
α
µ
=
Ponadto
2
2
x
R
r
+
=
oraz
2
2
cos
x
R
R
r
R
+
=
=
α
Podstawiając otrzymujemy
l
x
R
IR
B
II
d
)
(
4
d
2
3
2
2
0
+
=
π
µ
ZauwaŜmy, Ŝe wielkości I, R, x są takie same dla wszystkich elementów prądu.
Całkujemy, Ŝeby obliczyć B (wyłączając stałe czynniki przed znak całki)
2
3
2
2
2
0
2
3
2
2
0
2
3
2
2
0
)
(
2
)
2
(
)
(
4
d
)
(
4
d
x
R
IR
R
x
R
IR
l
x
R
IR
B
B
II
+
=
+
=
+
=
=
∫
∫
µ
π
π
µ
π
µ
Dla x >> R dostajemy
3
2
0
2x
IR
B
µ
=
dB
⊥
dB
II
dB
R
x
r
α
I
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
22-6
22.5
Indukcja elektromagnetyczna
22.5.1
Prawo Faradaya
Zjawisko
indukcji elektromagnetycznej
polega na powstawaniu prądów elektrycz-
nych w zamkniętym obwodzie podczas przemieszczania się względem siebie źródła po-
la magnetycznego i tego zamkniętego obwodu. Mówimy, Ŝe w obwodzie jest
indukowa-
na siła elektromotoryczna
(SEM indukcji), która wywołuje przepływ
prądu indukcyjne-
go
.
Prawo indukcji Faradaya stosuje się do trzech róŜnych sytuacji fizycznych:
•
Nieruchoma pętla, względem której porusza się źródło pola magnetycznego (mamy
tzw. elektryczną SEM).
•
Przewód w kształcie pętli porusza się w obszarze pola magnetycznego (magnetyczna
SEM).
•
Nieruchoma pętla i nieruchome źródło pola magnetycznego lecz zmienia się prąd,
który jest źródłem pola magnetycznego (takŜe elektryczna SEM).
Na podstawie obserwacji Faraday doszedł do wniosku, Ŝe czynnikiem decydującym jest
szybkość zmian
strumienia magnetycznego
φ
B
. Ilościowy związek przedstawia prawo
Faradaya
t
B
d
d
φ
ε
−
=
(22.7)
JeŜeli mamy obwód złoŜony z N zwojów to
t
N
B
d
d
φ
ε
−
=
22.5.2
Reguła Lenza
Prąd indukowany ma taki kieru-
nek, Ŝe przeciwstawia się zmianie,
która go wywołała. Kierunek prądu
indukowanego w pętli (rysunek
obok) zaleŜy od tego czy strumień
rośnie czy maleje (zbliŜamy czy od-
dalamy magnes). Ta reguła dotyczy
prądów indukowanych.
S
N
v
I
S
N
v
I