1 

 

 Macierze i wektory 
1.Dane są macierze 
 

     

  

 

 

 

    

  ,          

 

 

 

    

 

 

    

 ,          

  

     

 

     

  

Wykonać każde z następujących działań lub uzasadnić, że nie jest możliwe. 
 
a) AB-A,     b) 2B-A

T

A,   c)BA

T

+3A,   d) A

T

A-C

T

C. 

 
 
2.  Wykorzystując przedstawienie parametryczne prostej sprawdzić czy punkty 

a= 

 

   

  

   

  ,     b=  

 
 
 

 ,      c =  

 
 
 

    leżą na jednej prostej. 

 
 
3. Sprawdzić czy wektory  
   

a= 

 

   

  

   

  ,  oraz    b=  

 
 
 

   są ortogonalne. 

 
4. Dla dowolnych wektorów kolumnowych 
 

x= 

 

   

  

   

  ,     y =  

  

 
 

  ,    z =  

  
  

   

  

Oblicz a) ||x||,  b) ||x-y||,  c) x

 x,   d) x y,   e) x z.   f) x  (2y+3z), 

 
g) Jaka jest odległość x od 0, jaka jest odległość x od  y? 

 

Rząd macierzy 

5

) Wychodząc z definicji wyznacz rząd macierzy 

A=

 

    

 

    

 

  

6)Sprawdź czy wektory w

1

= 

 

 

   

  

   

 , w

2

=  

 

 
 
 

 , w

3

= 

 

 
 

   

  stanowią bazę w R

3

.  

 Komentarz. Zgodnie z definicją bazy w R

3

należy sprawdzić niezależność tych wektorów. 

Możesz to zrobić posługując się definicją niezależności (por. Wykład2b) ;możesz sprowadzić 
macierz do równoważnej macierzy zerojedynkowej lub schodkowej (por.Wykład 2b-3a; 
Wniosek dotyczący postaci schodkowej i Przykład 10a i 10b).  Możesz, i to najszybsze, 
posłużyć się Wnioskiem z  Twierdzenia o macierzy nieosobliwej i wyznaczniku, Wykład 3b-
4a. Wystarczy wtedy sprawdzić czy det[w

1

, w

2, 

w

3

] 

     

 

Rozwiazywanie równań 
 Trzeba umieć  zapisywać układ  równań liniowych w  postaci  wektorowej oraz macierzowej. 

 
 

2 

 

7) Dany jest układ równań: 
x

1    

-2x

2  

-2x

3

=0 

2x

1

+x

2 

-2x

3

=2 

3x

1 

+3x

2

+x

3

=7 

 
a) Podaj zapis układu w postaci wektorowej 
b) Podaj zapis układu w postaci macierzowej. 

ad.  a) Niech w

1

=

 

 
 
 

 ,  w

2

=

 

  

 
 

 , w

3

=

  

  
  

   

 ,  b =  

 
 
 

    

 Zapis wektorowy:  

                         x

1

 

 
 
 

  + x

2 

 

  

 
 

  + x

3

 

  

  
  

   

  =  

 
 
 

  lub x

1

 w

1 

+ x

2

 w

2

 + x

3

 w

3

= b. 

 
ad. b)  Zapis macierzowy: 

             (*)          

 

 

     

 

 

  

 

 

 

  .  

 

 

 

 

 

 

  =  

 
 
 

  

 
8). Posługując się Twierdzeniem Kroneckera-Capellego  sprawdź czy układ równań  z 
zadania 7 ma co najmniej jedno rozwiązanie. 
 Wskazówka. Należy pokazać, że rządy macierzy  A  i rozszerzonej A|b  są takie  
same, gdzie 

A=  

 

       
 

 

  

 

 

 

   natomiast  A|b = 

 

       

 

 

    

 

 

 

 

 . 

 
9)

.

  a)  Podaj wartość wyznacznika det(A) gdzie A jest macierzą z zadania 8. 

     b)  Oblicz wyznacznik macierzy 

 

 

  

 

 

  

 

10). Oblicz macierz odwrotną   do macierzy A=

 

 

 

 

 

    

  

 

 

  

a) metodą zerojedynkową (metodą operacji elementarnych. Wykład 2b-3a . Twierdzenie 6 ) 
 
b) metodą wyznacznikową (por. Twierdzenie o macierzy odwrotnej z wykładu 3b-4a) 
c) znając macierz odwrotną do A  podaj  rozwiązanie układu równań zapisanych macierzowo 

Ax=b gdzie  b=

 

 
 
 

  

 
11.  Dla   modelu rynku z 3dobrami równania  na ceny równowagi  maja postać: 
 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

  

   

 

 

 

 

 

 

     

  
  
  

    

 
Wyznacz ceny równowagi metodą wyznacznikową Cramera.