2013-05-28 

1 

1 

Metody   probabilistyczne 

 

 

Analiza współzależności zjawisk 

 

Analiza regresji 

2 

Funkcje w Excelu 



SUMA.KWADRATÓW(liczba1;liczba2;..) 



SUMA.ILOCZYNÓW((tablica1;tablica2;…) 
 



POZYCJA(liczba,lista,lp) 

gdzie: liczba 

– to liczba, dla której pozycję chcemy znaleźć, 

 

  lista 

– lista z liczbami, 

 

  lp 

– lp>0 sortowanie rosnąco, lp=0 lub brak – sortowanie malejąco, 

 



MODUŁ.LICZBY(liczba) 
 



KOWARIANCJA(tablica1,tablica2) 

 



WSP.KORELACJI(tablica1;tablica2) 
 

gdzie: tablica1 

– wartości zmiennej objaśnianej, 

 

 tablica2 

– wartości zmiennej objaśniającej , 

2013-05-28 

2 

3 

Regresja prosta 

Ważnym uzupełnieniem zagadnienia badania kierunku i siły zależności 

pomiędzy cechami X i Y jest analiza regresji. 
 



Przez 

analizę regresji rozumiemy metodę badania wpływu 

zmiennych uznanych za niezależne (przyczyny) na zmienną uznaną 
za zależną (skutek). 



Jeżeli w analizie uwzględnimy tylko 1 zmienną niezależną, to 
mówimy o regresji prostej. 



Cecha X (zmienna niezależna)  -  przyczyna, 



Cecha Y (zmienna zależna)  -  skutek. 
 



Jeżeli w analizie uwzględnimy więcej zmiennych niezależnych, to 
mówimy o regresji wielokrotnej (wielorakiej). 

 

4 

Funkcja regresji 

Podstawowe narzędzie badania 



Rozważany jest przypadek zależności liniowej dla regresji prostej. 



Narzędziem będzie zatem funkcja regresji postaci: 
 
 

gdzie: 



ŷ

i

 - 

teoretyczna wartość zmiennej zależnej (Y) 



 x

i

- 

empiryczna wartość zmiennej niezależnej (X) 

b

ax

y

i

i





ˆ

a 

– współczynnik regresji  

(współczynnik kierunkowy) 

 
Interpretacja: 
jeżeli wartość zmiennej niezależnej X 
wzrośnie o jednostkę, to wartość 
zmiennej zależnej Y: 
•wzrośnie (jeżeli a>0) o |a| jednostek  lub 

•zmaleje (jeżeli a<0) o |a| jednostek

  

b 

– wyraz wolny 

 
Interpretacja: 
stały poziom wartości zmiennej 
zależnej Y niezależny od zmian 
wartości zmiennej niezależnej X. 
Uwaga!  Interpretacja wyrazu 
wolnego nie zawsze ma sens 
ekonomiczny 

2013-05-28 

3 

5 

Liniowa funkcja trendu 

 

 

może być również traktowana jako liniowa funkcja regresji prostej. 

 



Zmienna zależna Y opisuje wówczas poziom badanego zjawiska Y. 



Zmienna niezależna X jest czasem (zmienna czasowa t). 



W efekcie podstawiając x zamiast t oraz zmieniając wskaźnik t  
na wskaźnik i otrzymamy funkcję regresji: 
 

 

 



W nowym układzie funkcja trendu może być traktowana jako funkcja 
regresji Y względem czasu t. 

b

at

y

t





ˆ

b

ax

y

i

i





ˆ

6 

Szacowanie parametrów  a  i  b  funkcji regresji 

Metoda 

– najmniejszych kwadratów 



współczynnik regresji a 
 

 

 

 

 

 



wyraz wolny b 

































k

i

i

k

i

i

i

x

x

x

y

y

x

x

s

Y

X

C

a

1

2

1

2

,

x

a

y

b

















































k

i

k

i

i

i

k

i

k

i

i

k

i

i

i

i

x

x

x

n

y

x

y

x

n

s

Y

X

C

a

1

2

1

2

1

1

1

2

,

2013-05-28 

4 

7 

Szacowanie parametrów  a  i  b  funkcji regresji - przykład 



Liczba emitowanych tygodniowo reklam usługi przewoźnika i wysokość 
obrotów w (tys zł) są zestawione w tabeli. Czy istnieje zależność między 
badanymi zmiennymi: 

Wniosek: 

 

Funkcja regresji ma postać 

ŷ

i

=11,875*x

i

+78,75 

Liczba 

reklam x

i 

Obroty

y

i 

1 

3 

115 

-3 

-35 

9 

1225 

105 

2 

5 

140 

-1 

-10 

1 

100 

10 

3 

7 

155 

1 

5 

1 

25 

5 

4 

7 

160 

1 

10 

1 

100 

10 

5 

8 

180 

2 

30 

4 

900 

60 

Suma 

30 

750 

0 

0 

16 

2350 

190 

Śr. 

6 

150 

x

x

i



y

y

i







2

i

x

x







2

i

y

y









y

y

x

x

i

i



















875

,

11

16

190

,

1

2

1

2























k

i

i

k

i

i

i

x

x

x

y

y

x

x

s

Y

X

C

a

75

,

78

6

875

,

11

150













x

a

y

b

8 

Szacowanie parametrów  a  i  b  funkcji regresji - przykład 



Liczba emitowanych tygodniowo reklam usługi przewoźnika i wysokość 
obrotów w (tys zł) są zestawione w tabeli. Czy istnieje zależność między 
badanymi zmiennymi: 

Liczba 

reklam x

i 

Obroty 

y

i 

x*y 

x

2 

y

2 

1 

3 

115 

345 

9 

13225 

2 

5 

140 

700 

25 

19600 

3 

7 

155 

1085 

49 

24025 

4 

7 

160 

1120 

49 

25600 

5 

8 

180 

1440 

64 

32400 

Suma 

30 

750 

4690 

196 

114850 

Średnia 

6 

150 

Wniosek: 

Funkcja regresji ma 

postać 

ŷ

i

=11,875*x

i

+78,75 





875

,

11

30

196

5

750

30

4690

5

,

2

1

2

1

2

1

1

1

2























































k

i

k

i

i

i

k

i

k

i

i

k

i

i

i

i

x

x

x

n

y

x

y

x

n

s

Y

X

C

a

75

,

78

6

875

,

11

150













x

a

y

b

2013-05-28 

5 

9 

Szacowanie parametrów  a  i  b  funkcji regresji – 

interpretacja przykładu 



Liczba emitowanych tygodniowo reklam usługi przewoźnika i wysokość 
obrotów w (tys zł) są zestawione w tabeli: 

Liczba 

reklam x

i 

Obroty 

y

i 

Funkcja 

regresji 

ŷ

i 

3 

115 

114,375 

5 

140 

138,125 

7 

155 

161,875 

7 

160 

161,875 

8 

180 

173,75 

0

50

100

150

200

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

liczba emitowanych reklam (X)

w

ie

lk

o

ść

 o

b

ro

tu

 (

Y

)

y

y^

ŷ=11,875*x+78,75
R

2

=0,96

ŷ

i

=11,875*x

i

+78,75 

10 

Wykorzystanie funkcji regresji do prognozowania 



Jakich obrotów można się spodziewać przy zwiększonej liczbie 
emitowanych reklam? 
 

ŷ

6 

= 11,875*x

6

+78,75 = 11,875*9+78,75 = 185,625 

 

0

50

100

150

200

250

0

2

4

6

8

10

12

liczba emitowanych reklam (X)

w

ie

lk

o

ść

 o

b

ro

tu

 (

Y

)

y

y^

ŷ=11,875*x+78,75
R

2

=0,96

Liczba 
reklam 

x

i 

Obroty 

y

i 

Funkcja 

regresji 

ŷ

i 

3 

115 

114,375 

5 

140 

138,125 

7 

155 

161,875 

7 

160 

161,875 

8 

180 

173,75 

9 

  

185,625 

2013-05-28 

6 

11 

Ocena dopasowania funkcji regresji do danych 

empirycznych  

Podstawowe 

miary „dobroci” dopasowania linii regresji do danych 

empirycznych: 



współczynnik zbieżności (φ

2

), 



współczynnik determinacji (R

2

), 



średni błąd szacunku S

e

 (pierwiastek z tzw. wariancji resztowej S

e

2

), 



współczynnik zmienności resztowej V

e

  

 

Współczynnik zbieżności (φ

2

): 

 
 

   

 

   

 

 

gdzie:    0 ≤ φ

2

 

≤ 1 

 
 



mierzy zgodność

 

między danymi empirycznymi i danymi 

oszacowanymi na podstawie modelu 



Im φ

2

 

jest bliższy 0, tym dopasowanie jest lepsze. 























n

i

i

n

i

i

i

y

y

y

y

1

2

1

2

2

ˆ



12 

Ocena dopasowania funkcji regresji do danych 

empirycznych 

Współczynnik determinacji (R

2

): 

 

 
 

 

 

gdzie:     

0 ≤ R

2

 

≤ 1  

 

 



Przy zależności liniowej można go wyznaczyć również jako: 
 

 

 

      

 

lub  

 

 

 



Ocenia jakość dopasowania modelu do danych empirycznych. 



Im R

2

 

jest bliższy 1, tym dopasowanie jest lepsze. 

2

2

1







R

2

2

xy

r

R



2

2

yx

r

R



2013-05-28 

7 

13 

Ocena dopasowania funkcji regresji do danych 

empirycznych 

Średni błąd szacunku (S

e

): 

 

 
 

gdzie: 

 

 

k  

–  liczba szacowanych parametrów funkcji regresji 

 

 

(tutaj k=2; szacujemy dwa parametry: a i b ) 

 



Jest to pierwiastek z wariancji resztowej (S

e

2

)  - 

informuje, jakie są 

przeciętne odchylenia rzeczywistych wartości zmiennej 
objaśniającej od wartości teoretycznych, 



Nazwa bierze się od reszty (e

i

), którą definiuje się jako: 

 

 

różnicę pomiędzy wartością empiryczną a wartością 

 

teoretyczną cechy zależnej Y: 





k

n

y

y

S

S

n

i

i

i

e

e













1

2

2

ˆ

i

i

i

y

y

e

ˆ





14 

Ocena dopasowania funkcji regresji do danych 

empirycznych 

Współczynnik zmienności resztowej (wyrazistości) V

e

: 

 
 

 

 

 

lub 

 
 

gdzie: 
 
 

 

 

i  

 

 
 
 
 



Wyraża on, jaką częścią średniej wartości zmiennej objaśnianej jest 
odchylenie standardowe reszt S

e

, 

 



Gdy V

e

>0,1 

– uznajemy, że zmienna objaśniana jest nieprzewidywalna, 

a model nie powinien być wykorzystany do prognozowania. 

 

y

S

V

e

e









n

i

i

y

n

y

1

1

0



y

%

*100

y

S

V

e

e



2013-05-28 

8 

15 

Błędy w ocenie poszczególnych parametrów 

funkcji regresji 



Estymacji parametrów funkcji regresji dokonuje się na podstawie 

próby losowej – stąd możliwe jest popełnianie błędów w ocenie 

poszczególnych parametrów funkcji, 



Standardowe błędy szacunku parametrów (średnie błędy): 



współczynnika regresji a

 

 

 
 
 
 
 



Informują: na ile – przeciętnie biorąc mylimy się (in plus lub in 

minus) szacując parametry a i b, 



Przyczyny błędów: 



Mała liczebność próby losowej, 



Niewłaściwa metoda estymacji parametrów funkcji regresji, 



Przyjęcie niewłaściwej zmiennej objaśniającej do funkcji regresji. 

 

 













n

i

i

e

x

x

S

a

D

1

2

 

















n

i

i

n

i

i

e

x

x

n

x

S

b

D

1

2

1

2

2

wyrazu wolnego b 

16 

Ocena dopasowania funkcji regresji do danych 

empirycznych - 

przykład 

Wniosek:  wszystkie  obliczone  miary dopasowania 

potwierdzają  bardzo  dobre  dopasowanie  funkcji 

regresji do danych  empirycznych 

Liczba 

reklam x

i 

Obroty 

y

i 

ŷ

i 

y

i

-

ŷ 

(y

i

-

ŷ)

2 

1 

3 

115 

114,375 

-35 

0,625 

1225 

0,391 

2 

5 

140 

138,125 

-10 

1,8751 

100 

3,516 

3 

7 

155 

161,875 

5 

-6,8751 

25 

47,266 

4 

7 

160 

161,875 

10 

-1,8751 

100 

3,516 

5 

8 

180 

173,75 

30 

6,254 

900 

39,063 

Σ 

2350 

93,75 

Śr. 

6 

150 

y

y

i







2

i

y

y











0399

,

0

2350

75

,

93

ˆ

1

2

1

2

2



















n

i

i

n

i

i

i

y

y

y

y



96

,

0

0399

,

0

1

1

2

2













R

96

,

0

979

,

0

2

2

2







xy

r

R









59

,

5

2

5

75

,

93

ˆ

1

2

2



















k

n

y

y

S

S

n

i

i

i

e

e

n= 5 

k= 2 

037

,

0

150

59

,

5







y

S

V

e

e

2013-05-28 

9 

17 

Ocena dopasowania funkcji regresji do danych 

empirycznych - 

przykład 



Interpretacja współczynników – miar dopasowania: 
 



współczynnik zbieżności φ

2

 = 0,0399 

mierzy zgodność między danymi empirycznymi i danymi oszacowanymi 

na podstawie modelu. Jeżeli φ

2

 

= 0 wówczas składnik losowy nie 

występuje 
 



współczynnik determinacji R

2

 = 0,96 

duża wartość R

2

 

świadczy o dobrym dopasowaniu modelu do  danych 

empirycznych i oznacza, żę zmienność ta została w 96% wytłumaczona 
przez model 
 



średni błąd szacunku S

e 

= 5,59  

wielkość obrotów różni się przeciętnie o 5,59 od wartości uzyskanych z 
funkcji trendu liniowego, 
 



współczynnik zmienności resztowej V

e

 = 0,037 

udział odchylenia standardowego składnika resztowego w przeciętnej 

wartości obrotów wynosi ponad 3,7 %, 

18 

Hipotezy o istotności współczynnika regresji 

Weryfikacja hipotezy o istotności współczynnika regresji a 

 



Hipoteza H

0

: α

1

 = 0 wobec H

1

: α

1

 

≠ 0   (H

1

: α

1

 

≥ 0  lub H

1

: α

1

 

≤ 0 ) 

 



Statystyka: 
 
 
 
 
 
ma rozkład t-Studenta o s=n-2 stopniach swobody 
 



Weryfikacja hipotezy 
jeżeli | t | ≥ t

α,n-2

  

to hipotezę H

0

 

należy odrzucić,  

jeżeli | t | < t

α,n-2

  

to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezę H

0

,  

 



 

























n

i

i

i

n

i

i

y

y

x

x

k

n

a

a

D

a

t

1

2

1

2

ˆ

*

*

)

(

2013-05-28 

10 

19 

Hipotezy o istotności współczynnika regresji 

Weryfikacja hipotezy o istotności wyrazu wolnego 
 



Hipoteza H

0

: 

β

1

 = 0 wobec H

1

: 

β

1

 

≠ 0   (H

1

: 

β

1

 

≥ 0  lub H

1

: 

β

1

 

≤ 0 ) 

 



Statystyka: 
 
 
 
 
 

ma rozkład t-Studenta o s=n-2 stopniach swobody 

 



Weryfikacja hipotezy 

jeżeli | t | ≥ t

α,n-2

  

to hipotezę H

0

 

należy odrzucić,  

jeżeli | t | < t

α,n-2

  

to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezę H

0

,

  

 



 





























n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

y

y

x

x

x

k

n

n

b

b

D

b

t

1

2

1

1

2

ˆ

*

*

*

*

)

(

20 

Istotność parametrów funkcji regresji - przykład 

Wniosek:   

Zarówno  parametr  a jak i parametr  b 

wywierają  statystycznie  istotny  wpływ na 

zmienną  objaśnianą, 

Liczba 

reklam x

i 

Obroty 

y

i 

ŷ

i 

y

i

-

ŷ 

(y

i

-

ŷ)

2 

1 

3 

115 

114,375 

-35 

0,625 

1225 

,0391 

2 

5 

140 

138,125 

-10 

1,8751 

100 

3,516 

3 

7 

155 

161,875 

5 

-6,8751 

25 

47,266 

4 

7 

160 

161,875 

10 

-1,8751 

100 

3,516 

5 

8 

180 

173,75 

30 

6,254 

900 

39,063 

Σ 

2350 

93,75 

Śr. 

6 

150 

y

y

i







2

i

y

y



n= 5 

k= 2 







 



397

,

1

16

*

3

75

,

93

*

ˆ

)

(

1

2

1

2





















n

i

i

n

i

i

i

x

x

k

n

y

y

a

D







 



75

,

8

16

*

3

*

5

196

*

75

,

93

ˆ

)

(

1

2

1

1

2

2

























n

i

i

n

i

n

i

i

i

i

x

x

k

n

n

x

y

y

b

D

T

α,n-2

 = 3,182 

0

,

9

75

,

8

75

,

78

)

(







b

D

b

t

b

49

,

8

397

,

1

875

,

11

)

(







a

D

a

t

a

2013-05-28 

11 

21 

Badanie losowości odchyleń losowych 

Założenia: 



daną populację generalną bada się ze względu na dwie cechy X i Y, 



wylosowano n 

elementów otrzymując wyniki (x

i

, y

i

), 



należy zweryfikować hipotezę, że funkcja regresji cechy Y względem X w 
populacji jest liniowa, tzn. jest postaci y = 

αx + β. 

Hipoteza: 



H

0

:rozkład składnika losowego jest losowy  wobec 



H

1

:rozkład składnika losowego nie jest losowy 

Sposób postępowania: 



Określić liczbę reszt dodatnich n

1

 i ujemnych n

2  

(reszty =0 pomija się), 



Określić liczbę serii s reszt dodatnich i ujemnych 

Statystyka: 



Dla n ≤ 20 – liczba serii s 
wartość krytyczna – tablice serii 
 

Dla n ≤ 20 – statystyka u - rozkład N(0,1) 









1

1

2

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1





































n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

s

u

22 

Hipoteza o istnieniu związku liniowego między zmienną 

X i Y 

Hipoteza: 



H

0

 : R

2

 = 0   wobec   H

1

 : R

2

 

≠ 0 

 

Statystyka: 

 
 
 
 
 

ma rozkład F Fishera-Snedecora o m

1

= 1 i m

2

 = n-2 stopniach swobody 

 

Weryfikacja hipotezy: 



Jeżeli  F < F

α

 

– to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

 

 

 









2

ˆ

ˆ

1

2

1

2

















n

y

y

y

y

F

n

i

i

i

n

i

i

2013-05-28 

12 

23 

Badanie normalności rozkładu składnika losowego 



Stosuje się testy nieparametryczne, które określają stopień 
zgodności rozkładu reszt z rozkładem normalnym 

 

Hipoteza: 



H

0

 

: rozkład reszt jest normalny wobec 



H

1

 

: rozkład reszt nie jest rozkładem normalnym 

 

Stosowane testy: 



dla małych prób – test Hellwiga 



dla dużych prób – test λ-Kołmogorowa 

24 

Test Hellwiga 

Sposób postępowania: 



Uporządkować reszty e

t

 

(t = 1, … , n) w ciąg niemalejący, 



Standaryzować reszty wg wzoru:  
gdzie: s 

– odchylenie standardowe reszt  

 



Każdej wartości e

i

’ przypisać wartość dystrybuanty rozkładu normalnego F

i

, 



Odcinek [ 0 ,1 ] podzielić na n równych części, tzw. cel (tzn.obliczyć d=1/n  
i utworzyć n przedziałów o długości d), 
 

Statystyka:

 



Wyznaczyć liczbę k cel, do których nie trafiła żadna wartość F

i

 

(liczbę cel 

pustych), 

Weryfikacja hipotezy: 



Odczytać z tablic testu Hellwiga dla zadanego poziomu istotności α wartości 
krytyczne k

1

 i k

2

, 



Jeżeli k

1

 < k < k

2

 to nie ma podstaw do odrzucenia H

0 

 

s

e

e

i

i



'

2013-05-28 

13 

25 

Test Hellwiga - 

przykład 

e

i

=y

i

-

ŷ

i 

e

i

' 

F

i

(e

i

’) 

d=1/n 

Cela  

0-pusta 

-6,875 

-1,420 

0,078 

0,2 

1 

-1,875 

-0,387 

0,349 

0,4 

1 

0,625 

0,129 

0,551 

0,6 

1 

1,875 

0,387 

0,651 

0,8 

1 

6,25 

1,291 

0,902 

1 

1 

s  = 4,84 

Liczba cel pustych k = 0 

Dla n = 5   k

1

 = 0  k

2

 = 3 

Wniosek: 

Ponieważ k

1

<k<k

2

 nie ma podstaw do 

odrzucenia hipotezy, że rozkład przyrostów 

trendu jest rozkładem normalnym 

26 

Funkcje Excela 



CZĘSTOŚĆ(lista_zakres;lista przedziały) – formuła tablicowa, 



REGLINP

(znane_y;znane_x;stała,statystyka) – formuła tablicowa 

  gdzie:  



znane_y 

– wartości zmiennej objaśnianej Y, 



znane_x - 

wartości zmiennej objaśniającej X, 



stała – wartość logiczna, czy ma być szacowany model z wyrazem 

wolnym (jeśli tak, to argument można pominąć), 



statystyka 

– wartość logiczna określająca czy mają być zwracane 

statystyki regresji, 

Formuła tablicowa - zaznaczony obszar akceptować (Shift+Crlt+Enter) 

Ocena  a

k 

Ocena  a

k+1 

…… 

Ocena  a

0 

Błąd oceny  a

k 

= D(a

k

) 

Błąd oceny  a

k+1

=d(a

k+1

)

 

Błąd oceny  a

0 

Współczynnik 
determinacji  R

2 

Odchylenie  standardowe 
składnika  resztowego  S

e 

Statystyka  Fishera  F 

Liczba stopni  swobody 

Regresyjna  suma 
kwadratów  Σ(ŷ

i

-y

śri

)

2 

Resztowa  suma kwadratów 
Σ(y

i

-

ŷ

i

)

2 

2013-05-28 

14 

27 

Oznaczenia sum i błędów 

 



całkowita suma kwadratów SS

Y 

 



suma kwadratów błędów SSE 
 



suma kwadratów odchyleń 
regresyjnych SSR 

 

 



współczynnik determinacji R

2 

 

 

 



statystyka F 

 













n

i

i

y

y

SSE

1

2















n

i

i

y

y

SSR

1

2















n

i

i

Y

y

y

SS

1

2

    

Y

Y

SS

SSE

SS

SSR

R







1

2

    

2

1

1









n

SSE

SSR

MSE

MSR

F