Elementy i Obwody Elektryczne
Element ( element obwodowy) –
jedno z podstawowych pojęć teorii obwodów.
Element jest modelem pewnego zjawiska lub cechy fizycznej związanej z
obwodem. Elementy (jako modele) mogą mieć róŜny stopień komplikacji.
i(t)
u(t)
ELEMENT
Funkcja zaciskowa
(obwodowa)
Zacisk
Zacisk
Końcówka
Końcówka
Element dwuzaciskowy (dwukońcówkowy) – DWÓJNIK
Funkcja zaciskowa
(obwodowa)
B
A
Strzałkowanie odbiornikowe !
Funkcje zaciskowe elementu: prąd elementu i(t) oraz napięcie elementu u(t)
związane są ze sobą równaniem elementu, które definiuje dany element i określa
jego podstawowe właściwości.
W TO UŜywane są elementy wielozaciskowe: trójnik, czwórnik itd.
Obwody, układy, sieci
Obwód – moŜliwie najprostsze połączenie elementów umoŜliwiające
przepływ prądu elektrycznego.
Układ ( obwód rozgałęziony ) –
struktura bardziej rozbudowana niŜ obwód.
Sieć –
bardzo duŜy układ.
Podstawowe modele zjawisk w obwodzie
Zjawisko:
BEZSTRATNY PRZEPŁYW PRĄDU
Element:
ZWARCIE
( GALWANICZNE )
u
≡
0
i
Równanie elementu:
∀
∀
∀
∀
u
≡≡≡≡
0
i
Moc chwilowa z jaką zwarcie pobiera energię elektryczną z obwodu:
p(t) = u(t)
i(t) = 0
⋅⋅⋅⋅
i
(t)
≡≡≡≡
0
Zjawisko:
BRAK PRZEPŁYWU PRĄDU
Element:
ROZWARCIE ( PRZERWA)
i
≡
0
u
Równanie elementu:
∀
∀
∀
∀
i
≡≡≡≡
0
u
Moc chwilowa z jaką rozwarcie pobiera energię elektryczną z obwodu:
p(t) = u(t)
i(t) = u
(t)
⋅⋅⋅⋅
0
≡≡≡≡
0
Zjawisko: ROZPRASZANIE ( DYSSYPACJA )
ENERGII ELEKTRYCZNEJ
Element:
OPÓR LINIOWY
R (G)
i
u
Równanie elementu (
POSTULAT OHMA
):
u = R
⋅⋅⋅⋅
i
lub
i = G
⋅⋅⋅⋅
u
G = R
–1
Strzałkowanie odbiornikowe !
Jednostki:
R: [
Ω
Ω
Ω
Ω
] – ohm
G: [S] – simens
Opór jest elementem dyssypatywnym (rozpraszającym) bezinercyjnym.
l
S
ρρρρ
I
U
S
l
I
U
R
ρ
=
=
⋅
Ω
m
mm
2
ρ
– opór właściwy materiału
Moc chwilowa z jaką opór przetwarza energię elektryczną:
p
R
(t) = u(t)
i(t) = R
i
2
(t) = G
u
2
(t)
≥≥≥≥
0
Przykład. Jaka jest rezystancja przewodu miedzianego o przekroju S= 2,5 mm
2
i długości
l= 50 m.
ODP
[ ]
[
]
m
Cu
⋅
Ω
=
=
⋅
Ω
µ
m
mm
2
0175
,
0
0175
,
0
ρ
– rezystancja właściwa miedzi
Ω
=
=
35
,
0
5
,
2
50
0175
,
0
R
Uwaga: średnica przewodu wynosi: D= 0,89 mm (dosyć cienki!)
Przykład. Z jaką mocą wydziela się energia elektryczna z przewodu z poprzedniego
zadania przy przepływie prądu i= 2 A.
ODP
W
4
,
1
)
(
2
=
⋅
=
i
R
t
p
Przykład Do jakiej temperatury T nagrzeje się przewód z poprzednich zadań podczas
godzinnej pracy. Temperatura początkowa T
0
= 293 K. ZałoŜenie: brak chłodzenia!
ODP
Wydzielona energia elektryczna:
kJ
04
,
5
=
⋅
=
t
p
W
T
V
k
T
m
k
Q
k
W
Cu
Cu
Cu
∆
⋅
⋅
⋅
⋅
=
∆
⋅
⋅
⋅
=
⋅
=
γ
c
c
⋅
=
⋅
=
K
g
cal
K
kg
kcal
c
Cu
092
,
0
092
,
0
– ciepło właściwe miedzi
⋅
=
=
=
3
3
3
Cu
m
g
m
kg
dm
kg
6
10
9
,
8
8900
9
,
8
γ
– gęstość miedzi
=
cal
J
1868
,
4
k
– przelicznik kalorii na dŜule
Objętość przewodu:
3
3
dm
m
125
,
0
10
125
50
10
5
,
2
6
6
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
−
−
l
S
V
Masa przewodu:
kg
1125
,
1
125
,
0
9
8
=
⋅
=
⋅
=
,
V
m
Cu
γ
Przetworzona energia:
T
T
kQ
W
∆
⋅
=
∆
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
519
,
428
10
1125
,
1
092
,
0
1868
,
4
3
Przyrost temperatury:
K
76
,
11
519
,
428
5040
0
=
=
−
=
∆
T
T
T
Temperatura przewodu:
K
304,76
=
+
=
∆
+
=
76
,
11
293
0
T
T
T
C
T
o
76
,
31
=
Przykład
Dane:
R = 5
Ω
( G =
1
5
1
Ω
= 0,2 S )
u(t) = 10
⋅
1(t) – 15
⋅
1(t–2) + 5
⋅
1(t–3) [V]
Obliczenia: i(t) = u(t)
⋅
G = 2
⋅
1(t) – 3
⋅
1(t–2) + 1
⋅
1(t–3) [A]
–5
+1
u(t) [V]
t [s]
3
2
+2
–1
i(t) [A]
t [s]
3
2
p(t) =
G
⋅
u
2
(t) =
R
⋅
i
2
(t)
u
2
(t) = 100
⋅
1(t) – 75
⋅
1(t–2) – 25
⋅
1(t–3)
+100
+2
u
2
(
t) [V
2
]
t [s]
3
2
+1
+4
i
2
(
t) [A
2
]
t [s]
3
2
p(t)=G
⋅
u
2
(t) =
20
⋅
1(t) – 15
⋅
1(t–2) – 5
⋅
1(t–3)
+20
+5
p(t) [W]
t [s]
3
2
45
w
R
(0,t) [J]
t [s]
1
3
2
20
40
Zjawisko: GROMADZENIE ( KONSERWACJA )
ENERGII ELEKTRYCZNEJ
Element:
POJEMNOŚĆ LINIOWA
C
i
u
Równania elementu :
q = C
⋅⋅⋅⋅
u
dt
du
C
dt
dq
i
=
=
q
Strzałkowanie odbiornikowe !
Jednostki:
C: [F]
– farad = 1A
⋅⋅⋅⋅
1s
⋅⋅⋅⋅
1V
–1
q:
[C]
– kulomb = 1A
⋅⋅⋅⋅
1s
i t
d u t
d t
u t
i
d
u t
t
t
( )
( )
( )
( )
( )
=
=
+
∫
C
C
1
0
0
τ τ
Pojemność jest elementem konserwatywnym inercyjnym.
Moc chwilowa z jaką energia elektryczna jest gromadzona w polu
elektrycznym pojemności:
[ ]
W
C
dt
t
dq
t
u
t
i
t
u
t
p
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
⋅
=
⋅
=
S
d
εεεε
=
εεεε
w
⋅⋅⋅⋅
εεεε
0
+q
–q
d
S
u
q
C
ε
=
=
0
ε
ε
ε
w
=
– przenikalność elektryczna
⋅
=
−
m
F
π
9
0
10
36
1
ε
– przenikalność elektryczna próŜni
Przykład Jaka jest przybliŜona pojemność kondensatora powietrznego o
kołowych okładkach mających średnicę D= 30 cm i oddalonych o d= 0,3 mm.
ODP
ε
w
≅
1 – bo, powietrze ;
Powierzchnia okładek:
2
2
m
071
,
0
π
400
9
π
4
1
=
=
=
D
S
nF
2,1
F
10
48
1
3
10
400
9
9
4
10
7
4
9
0
p
=
⋅
=
⋅
π
⋅
⋅
π
=
ε
=
−
+
−
d
S
C
Przykład Jaka jest przybliŜona pojemność kondensatora z poprzedniego
przykładu jeśli zostanie on wypełniony polistyrenem?
ODP
ε
w
≅
2,65 – przenikalność względna polistyrenu;
nF
nF
2,1
2,65
p
1
56
,
5
0
=
⋅
=
⋅
=
=
C
d
S
C
w
w
ε
ε
ε
Przykład Jaki ładunek zostanie zgromadzony na okładkach kondensatora z
poprzedniego przykładu jeśli podłączymy je do źródła o napięciu 200 V?
ODP
µ
C
113
,
1
200
10
56
,
5
9
=
⋅
⋅
=
=
−
CU
Q
Przykład Ile energii zostanie zgromadzonej w kondensatorze z poprzedniego
przykładu?
ODP
C
Q
CU
QU
W
2
2
2
2
2
=
=
=
W= 111,2
µ
J
Zjawisko: GROMADZENIE ( KONSERWACJA )
ENERGII ELEKTRYCZNEJ
Element:
INDUKCYJNOŚĆ LINIOWA
L
i
u
Równania elementu :
ψ
ψψ
ψ
= L
⋅⋅⋅⋅
i
dt
di
L
dt
d
u
=
ψ
=
ψ
Strzałkowanie odbiornikowe !
Jednostki:
L: [H]
– henr = 1V
⋅⋅⋅⋅
1s
⋅⋅⋅⋅
1A
–1
ψ
ψ
ψ
ψ
: [Wb]
– weber = 1V
⋅⋅⋅⋅
1s
u t
d i t
d t
i t
u
d
i t
t
t
( )
( )
( )
( )
( )
=
=
+
∫
L
L
1
0
0
τ τ
Indukcyjność jest elementem konserwatywnym inercyjnym.
Moc chwilowa z jaką energia elektryczna jest gromadzona w polu
magnetycznym indukcyjności:
[ ]
p t
u t
i t
d
t
dt
i t
L
W
( )
( ) ( )
( )
( )
=
⋅
=
⋅
ψ
Zjawisko: DOSTARCZANIE LUB POBIERANIE
ENERGII ELEKTRYCZNEJ
Element: ŹRÓDŁO NAPIĘCIA
( DOWOLNA MOC CHWILOWA )
u
e
i
e
Równania elementu :
e – dowolne ( zadane )
i
e
– wymuszone przez
obwód zewnętrzny
Strzałkowanie źródłowe !
p
e
< 0
p
e
> 0
E
i
P
p
i [A]
e [V]
Charakterystyka źródła napięcia o
stałej wartości:
e(t) = E = const
e
i
!?
Moc chwilowa energii elektrycznej źródła napięcia:
[ ]
p t
u t
i t
e t
i t
e
e
W
( )
( ) ( )
( )
( )
=
⋅
=
⋅
p
e
(t) > 0 –
ź
ródło oddaje energię
p
e
(t) < 0 –
ź
ródło pobiera energię
Zjawisko: DOSTARCZANIE LUB POBIERANIE
ENERGII ELEKTRYCZNEJ
Element: ŹRÓDŁO PRĄDU
( DOWOLNA MOC CHWILOWA )
j
i
u
j
Równania elementu :
j – dowolne ( zadane )
u
j
– wymuszone przez
obwód zewnętrzny
Strzałkowanie źródłowe !
p
j
> 0
J
u
p
p
j
< 0
P
p
u [V]
j [A]
Charakterystyka źródła prądu o stałej
wydajności:
j(t) = J = const
i
j
! ?
Moc chwilowa energii elektrycznej źródła prądu:
[ ]
p t
u t
i t
u t
j t
j
j
W
( )
( ) ( )
( )
( )
=
⋅
=
⋅
p
j
(t) > 0 –
ź
ródło oddaje energię
p
j
(t) < 0 –
ź
ródło pobiera energię
Element:
Ź
RÓDŁO STEROWANE
u
2
k
⋅
u
1
i
1
≡
0
i
2
ZNSN ( VCVS )
u
1
u
2
r
⋅
i
1
i
2
i
1
ZNSP ( CCVS )
u
1
≡
0
u
2
g
u
1
i
2
u
1
ZPSN ( VCCS )
i
1
≡
0
u
2
α
i
1
i
1
i
2
ZPSP ( CCCS )
u
1
≡
0
W przypadku źródeł sterowanych moc chwilowa „pierwotna” jest
zawsze równa zero: p
1
(t)
≡≡≡≡
0 co oznacza, Ŝe źródła nie pobierają
energii od strony sterowania.
Postulaty Teorii Obwodów
Prądowy Postulat Kirchhoffa ( PPK )
i
∑
=
0
Algebraiczna suma prądów we węźle jest równa zero.
Napięciowy Postulat Kirchhoffa ( NPK )
u
∑
=
0
Algebraiczna suma napięć w oczku jest równa zero.
Postulat Ohma ( PO )
Ω
⋅
=
⋅
=
1
R
1
=
[S]
G
G
lub
R
u
i
i
u
Zjawisko: DOSTARCZANIE LUB POBIERANIE
ENERGII ELEKTRYCZNEJ
Element:
NAPIĘCIOWE ŹRÓDŁO ENERGII
(OGRANICZONA MOC CHWILOWA)
r
U
r
⋅
I
E
I
Równania elementu :
E – dowolne ( zadane )
I – wymuszone
Strzałkowanie źródłowe !
NPK:
(+U) + (– E) + (+ r I) = 0
U = E – r I
p = U
⋅⋅⋅⋅
I = E
⋅⋅⋅⋅
I – r
⋅⋅⋅⋅
I
2
rI
p
I
p
U
0
= E
I [A]
U [V]
I
E
r
z
=
U
p
p < 0
p > 0
p < 0
P
p
(0,5I
z
,0,5E)
→
→
→
→
p
max
p
E
4 r
2
max
=
I [A]
p [W]
I
E
2 r
I
p
1
2
z
=
=
I
E
r
z
=
p
< 0
p
< 0
p
> 0
Zadanie 1 Przedyskutować prądowe źródło energii i porównać jego
zachowanie w róŜnych stanach pracy ze źródłem prądu.
Łączenie elementów bezźródłowych dwuzaciskowych
Połączenie szeregowe ( dzielnik napięcia )
i
1
u
u
1
u
2
i
2
i
……
B
A
B
A
i = i
1
= i
2
= …
u = u
1
+ u
2
+ …
D
z
D
2
D
1
Rezystory
R
R
R
R
z
k
=
+
+ =
∑
1
2
L
R
R
z
k
k
>
max
Indukcyjności
( bez sprzęŜeń )
L
L
L
L
z
k
=
+
+ =
∑
1
2
L
L
L
z
k
k
>
max
Indukcyjności
(ze sprzęŜeniem)
(
)
L
L
L
M
z
=
+
+ ⋅ ±
1
2
2
(+M) sprz. Zgodne
(–M) sprz. Przeciwne
Pojemności
1
1
1
1
1
2
C
C
C
C
z
k
=
+
+ =
∑
L
C
C
z
k
k
<
min
Rezystancyjny Dzielnik Napięcia (nie obciąŜony)
u
R
1
i
u
N
u
k
u
2
u
1
R
2
R
k
R
N
i
1
≡
0
u
R
R
u
R
R
u
k
k
i
i
N
k
z
=
⋅ =
⋅
=
∑
1
Przykład Jakie będzie napięcie U
2
na rezystorze R
2
jeśli nieobciąŜony dzielnik napięcia
zasilany jest napięciem U= 24 V. Dane: R
1
= 24
Ω
, R
2
= 47
Ω
, R
3
= 12
Ω
.
R
2
R
1
R
3
U
U
2
V
59
,
13
24
12
47
24
47
3
2
1
2
2
=
+
+
=
+
+
=
U
R
R
R
R
U
Przykład „Tradycyjne” Ŝaróweczki stosowane do oświetlenia choinki mają moc P= 5 W
przy napięciu U= 14 V. Ile takich Ŝaróweczek naleŜy połączyć szeregowo, jeśli napięcie
sieci zasilającej wynosi U
z
= 230 V. Jaka jest moc elektryczna takiego „łańcucha świateł”?
43
,
16
=
=
U
U
N
z
;
N= 17
Rezystancja Ŝaróweczki:
Ω
=
=
=
2
,
39
5
14
2
2
P
U
R
Rezystancja łańcucha:
Ω
=
⋅
=
⋅
=
4
,
666
2
,
39
17
0
R
N
R
Moc łańcucha:
W
38
,
79
0
2
0
=
=
R
U
P
z
Przykład Połączono szeregowo Ŝaróweczkę o parametrach znamionowych U
1
= 12 V,
P
1
= 5 W z Ŝarówką o parametrach znamionowych P
2
= 100 W, U
2
= 230 V i włączono na
napięcie U= 230 V. Co się stanie?
P
2
, U
2
U
P
1
, U
1
R
2
U
R
1
Ω
=
=
8
,
28
1
2
1
1
P
U
R
Ω
=
=
529
2
2
2
2
P
U
R
V
87
,
11
2
1
1
11
=
+
=
U
R
R
R
U
– świeci pełnym światłem
V
3
,
218
2
1
2
21
=
+
=
U
R
R
R
U
– świeci trochę słabiej
A
41
,
0
2
1
0
=
+
=
R
R
U
I
W
84
,
94
0
0
=
⋅
=
I
U
P
Połączenie równoległe ( dzielnik prądu )
i
1
u
1
i
2
……
A
B
u = u
1
= u
2
= …
i = i
1
+ i
2
+ …
u = u + u + …
u
i
B
A
D
z
D
2
D
1
i
N
D
N
i
k
i
u
1
u
N
Rezystory
∑
=
+
+
=
k
z
G
G
G
G
K
2
1
G
G
z
k
k
>
max
Indukcyjności
( bez sprzęŜeń )
1
1
1
1
1
2
L
L
L
L
z
k
=
+
+ =
∑
L
L
L
z
k
k
<
min
Indukcyjności
(ze sprzęŜeniem)
L
L L
M
L
L
M
z
=
−
+
− ⋅ ±
1
2
2
1
2
2 (
)
(+M) sprz.
Zgodne
(
–M) sprz.
Przeciwne
Kondensatory
C
C
C
C
z
k
=
+
+ =
∑
1
2
L
C
C
z
k
k
>
max
Konduktancyjny Dzielnik Prądu ( nie obciąŜony )
G
N
G
k
G
2
G
1
i
i
1
u
i
2
i
k
i
N
i
G
G
i
G
G
i
k
k
i
i
N
k
z
=
⋅ =
⋅
=
∑
1
Wybrane Zasady i Twierdzenia Teorii Obwodów
Przekształcenie „gwiazda
↔
↔
↔
↔
trójkąt”
A
C
B
R
B
R
A
R
C
A
C
B
G
BC
G
BA
G
CA
R
R R
R
R
R
R
R R
R
R
R
R
R R
R
R
R
A
AB
CA
AB
BC
CA
B
AB
BC
AB
BC
CA
C
BC
CA
AB
BC
CA
=
+
+
=
+
+
=
+
+
G
G G
G
G
G
G
G G
G
G
G
G
G G
G
G
G
AB
A
B
A
B
C
BC
B
C
A
B
C
CA
C
A
A
B
C
=
+
+
=
+
+
=
+
+
Przykład Przeliczyć wartości rezystorów symetrycznego czwórnika kształtu T na
wartości rezystorów symetrycznego czwórnika kształtu
Π
.
35,14
Ω
25,97
Ω
25,97
Ω
R
2
R
1
R
3
S
1055
,
0
14
,
35
1
97
,
25
2
0
=
+
=
+
+
=
C
B
A
G
G
G
G
S
S
S
01039
,
0
1055
,
0
14
,
35
1
97
,
25
1
01406
,
0
1055
,
0
97
,
25
1
97
,
25
1
01039
,
0
1055
,
0
14
,
35
1
97
,
25
1
3
2
1
=
⋅
=
=
⋅
=
=
⋅
=
G
G
G
Ω
=
Ω
=
Ω
=
25
,
96
13
,
71
25
,
96
3
2
1
R
R
R
RównowaŜność zaciskowa źródeł energii
G
i
u
j
e
R
i
u
B
B
A
A
i = j – G u
Warunki równowaŜności zaciskowej
R
⋅⋅⋅⋅
G = 1
e = R
⋅⋅⋅⋅
j
∨∨∨∨
j = G
⋅⋅⋅⋅
e
u = e – R i
OBC.
OBC.
PZE
NZE
Przykład 1
0,5 S
i
u
5 A
10 V
2
Ω
i
u
B
B
A
A
NZE:
U
0
= 10 V, I
z
= 5 A;
PZE:
U
0
= 10 V, I
z
= 5 A;
u = 10 – 2 i
i = 5 – 0,5 u
Przykład 2
i
w
w
u
10 A
40 V
4
Ω
i
u
B
A
A
5 A
B
10 V
2
Ω
i
u
30 V
6
Ω
A
B
B
5 A
A
i
u
1
6
S
1
2
S
1
4
S