WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

1 

Warszawa 2013 

www.wml.wat.edu.pl

 

 

ppłk dr inż. Wojciech KACZMAREK

 

tel.    022 683 72 83 

kom. 604 529 718 

pokój 31 budynek 63 
Wojciech.Kaczmarek@wat.edu.pl

  

„Jeśli uczysz się od innych, ale sam nie pomyślisz – to najczystsze oszołomstwo. 

Jeśli myślisz, ale nie uczysz się od innych – to może być dla Ciebie wręcz niebezpieczne.” 

                                                                                                                              - Konfucjusz 

PODSTAWY  AUTOMATYKI I ROBOTYKI 

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

2 

WYKŁAD 3 

 

OPIS PRZESTRZENNY ROBOTÓW I MANIPUATORÓW  

UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH 

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

3 

ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORA 

Prace nad zagadnieniami związanymi z robotyką prowadzone są przez 

uczonych zajmujących się różnymi dziedzinami nauki. 

 

Podejście takie zostało wymuszone interdyscyplinarną złożonością całego 

problemu. 

  

Aby uporządkować zakres kompetencji oraz uprościć zagadnienie 

robotykę podzielono na cztery dziedziny: 

 

- manipulację mechaniczną 

- lokomocję 

- komputerowe systemy wizyjne 

- sztuczną inteligencję. 

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

4 

ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORA –POJĘCIA PODSTAWOWE 

Zadanie  proste  kinematyki  -  polega  na  wyznaczeniu  pozycji  i  orientacji 

efektora manipulatora względem układu podstawy przy znanych współrzędnych 

konfiguracyjnych.  

 

Innymi  słowy  można  powiedzieć,  że  jest  to  odwzorowanie  opisu  położenia 

manipulatora  z  przestrzeni  współrzędnych  konfiguracyjnych  do 

przestrzeni współrzędnych kartezjańskich. 

Poprzez  opis  kinematyczny  układu  wielociałowego  rozumie  się  przepis 

opisujący  zależność  geometryczną  miedzy  współrzędnymi  uogólnionymi  (q)  i 

współrzędnymi kartezjańskimi otoczenia (R): 

 

q

f

R



kinematyka prosta (bezpośrednia) 

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

5 

ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORA –POJĘCIA PODSTAWOWE 

Zadanie  odwrotne  kinematyki  jest  znacznie  trudniejsze  i  polega  na 

wyznaczeniu  wszystkich  możliwych  zbiorów  współrzędnych  konfiguracyjnych 

umożliwiających osiągnięcie zadanych pozycji i orientacji manipulatora.  

Trudność  tego  zagadnienia  spowodowana  jest  nieliniowością  równań 

kinematyki, niejednoznacznością rozwiązań lub ich brakiem.  

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

6 

Innymi  słowy  znając  położenie  chwytaka  konieczne  jest  wyznaczenie 

zmiennych uogólnionych, co sprowadza się do określenia konfiguracji układu 

wielociałowego według zależności: 

 

R

f

q

1





kinematyka odwrotna 

Możliwe rozwiązania: 

 
• Wiele rozwiązań 
• Jedno rozwiązanie 
• Brak rozwiązań 

ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORA –POJĘCIA PODSTAWOWE 

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

7 

Wiele  rozwiązań  –  konstrukcja  manipulatora  umożliwia  umieszczenie 

narzędzia w zadanym punkcie w różnych konfiguracjach 

ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORA –POJĘCIA PODSTAWOWE 

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

8 

ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORA –POJĘCIA PODSTAWOWE 

Jedno  rozwiązanie  –  np.  punkt  zadany  znajduje  się  na  granicy  przestrzeni 

roboczej manipulatora 

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

9 

ANALIZA KINEMATYCZNA MANIPULATORA –POJĘCIA PODSTAWOWE 

Brak  rozwiązań  -  manipulator  nie  może  osiągnąć  zadanych  pozycji  i 

orientacji, ponieważ znajdują się one poza jego przestrzenią roboczą 

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

10 

ZASADY OBOWIĄZUJĄCE W KINEMATYCE 

• robota  opisuje  się  za  pomocą  struktury  kinematycznej  (szkicu 

schematu  kinematycznego),  na  której  zaznacza  się  człony  oraz 

połączenia 

 

• oznaczenia  osi  współrzędnych,  kierunków  i  zespołów  ruchu,  konieczne 

do  jednoznaczności  opracowanego  szkicu  zapisane  są  w  normie  PN-

93/M-55251 

 

•  robota opisuje się w układach odniesienia: 

 

• bazowym  (oznaczonym  cyfrą  0)  –  opis  przemieszczenia  robota 

względem  globalnego,  nieruchomego  układu  współrzędnych 

(najczęściej względem stanowiska roboczego) 

 

• regionalnym  (oznaczonym  cyframi  k=1,2,3,…  rozpoczynając 

numerację  od  członu  znajdującego  się  najbliżej)  –  opis 

przemieszczenia manipulatora 

 

• lokalnym  (oznaczonym  literą  C)  –  opis  przemieszczenia  i  orientacji 

chwytaka.

  

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

11 

ZASADY OBOWIĄZUJĄCE W KINEMATYCE 

• podstawowy  układ  osi  jest  prawoskrętnym  układem  kartezjańskim 

(prostokątnym), gdzie osie x i y tworzą płaszczyznę poziomą. 

• za dodatni przyjmuje się zwroty ruchów: 

 

• w ruchu liniowym na zewnątrz mechanizmów (od początku układów 

bazowego, regionalnego, lokalnego) 

 

• w  ruchu  obrotowym  w  kierunku  prawoskrętnym,  zgodnie  z 

przyjętym układem współrzędnych. 

• numerację  łańcucha  kinematycznego  należy  rozpocząć  od  podstawy 

(układu bazowego), a zakończyć przed efektorem (układem lokalnym). 

 

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

12 

UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH I ICH TRANSFORMACJE 

Do  scharakteryzowania  układu  współrzędnych  używane  są  wektory 

jednostkowe  i,  j,  k.  Jeżeli  są  one  niezależne  liniowo,  to  tworzą  pewną 

bazę i mogą być użyte do przedstawienia dowolnego wektora miejsca. 

Współrzędne x, y, z wektora miejsca dają się 

 zebrać w macierz kolumnową:  

Macierz transponowana 

k

z

j

y

i

x

r

C

C

C

C

















T

C

C

C

C

C

C

C

z

y

x

z

y

x

r

,

,

























z

y

x

C(x

c

,y

c

,z

c

)

r

C

y

c

x

c

z

c

k

i

j

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

13 

UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH I ICH TRANSFORMACJE 

1. Można zapisać dla układu bazowego 

 

 

0

0

0

0

0

0

0

k

z

j

y

i

x

r

C

C

C

C













0

0

0

0

0

0

0

i

k

z

i

j

y

i

i

x

i

r

i

r

x

i

C

i

i

C

i

i

C

i

C

i

C

C



























0

0

0

0

0

0

0

j

k

z

j

j

y

j

i

x

j

r

j

r

y

i

C

i

i

C

i

i

C

i

C

i

C

C



























0

0

0

0

0

0

0

k

k

z

k

j

y

k

i

x

k

r

k

r

z

i

C

i

i

C

i

i

C

i

C

i

C

C



























2. Dla układu i-tego (obróconego) 

 

 

Obydwa wektory są reprezentacją tego 

samego wektora r można więc zapisać: 

C

i

i

C

r

rot

r





0

0

3

3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

x

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

R

k

k

k

j

k

i

j

k

j

j

j

i

i

k

i

j

i

i

rot











































i

C

i

i

C

i

i

C

i

C

i

k

z

j

y

i

x

r













Z 1 i 2 można zapisać 

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

14 

UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH I ICH TRANSFORMACJE 

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

15 

Ogólnie można zapisać następujące zależności: 

dla przemieszczenia 

dla obrotu 

 

 

Pełną  transformację  współrzędnych  można 

przedstawić  jako  połączenie  przemieszczenia 

(translacji) i obrotu (rotacji): 

 

 

Powyższa  zależność  mówi,  iż  znając  współrzędne  lokalne 

(wektor 

i

r

c

 oraz pozycję 

(wektor 

0

r

i

)

 i orientację 

(macierz 

obrotu 

0

rot

i

)

 i-tego układu współrzędnych względem układu 

nieruchomego  możliwe  jest  wyznaczenie  współrzędnych 

inercjalnych  (znalezienie  transformacji  współrzędnych  układu 

lokalnego względem układu nieruchomego).  

iC

i

C

r

r

r

0

0

0





C

i

i

iC

r

rot

r





0

0

C

i

i

i

C

r

rot

r

r







0

0

0

UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH I ICH TRANSFORMACJE 

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

16 

Odwrócenie  tego  związku  prowadzi  równania 

transformacji  odwrotnej,  to  znaczy  znalezienia 

transformacji  współrzędnych  układu  nieruchomego 

względem układu lokalnego.  

 

Wyznaczone  wyrażenia  pozwalają  na  rozwiązanie 

dwóch  najważniejszych  w  teorii  kinematyki 

manipulatorów 

zadań 

(bezpośredniego 

i 

odwrotnego),  a  poprzez  ich  różniczkowanie  po 

czasie dają możliwość wyznaczenia zależności dla 

prędkości i przyspieszeń. 

 

Szczególnymi 

przypadkami 

omawianych 

transformacji są: 

 

•czysty obrót 

 

0

r

i

=0; 

•czyste przemieszczenie   

0

rot

i

=I. 

 



 



iC

i

i

C

T

i

C

i

r

rot

r

r

rot

r

0

0

0

0

0









UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH I ICH TRANSFORMACJE 

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

17 

OBROTY ELEMENTARNE 

Zgodnie  z  ogólnie  panującymi  zasadami  przyjęto  prawoskrętny  układ 

współrzędnych.  









T

C

R

T

C

w

v

u

r

z

y

x

r

,

,

,

,

,

0





 













































































w

v

u

r

r

rot

r

z

y

x

r

R

C

R

x

R

C











cos

sin

0

sin

cos

0

0

0

1

0

0

0

z

y







x



C

z

y

w

v

0

r

C

a)

b)

R

r

C

z

0

y

0

x

0

y

R

x

R

z

R

0

r

R

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

18 

OBROTY ELEMENTARNE 























z

na

z

z

na

y

z

na

x

y

na

z

y

na

y

y

na

x

x

na

z

x

na

y

x

na

x

rot

R

R

R

R

R

R

R

R

R

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(



































cos

sin

0

sin

cos

0

0

0

1

)

(

x

rot

 



































cos

0

sin

0

1

0

sin

0

cos

y

rot

 

























1

0

0

0

cos

sin

0

sin

cos











z

rot

z

x



x

R

z

R

z

y



C

z

y

y

R

z

R

a)

b)

c)

y

R

y

x



x

R

x

y

z

x

R

y

R

z

R

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

19 

OBROTY ZŁOŻONE 

Obroty  złożone  mogą  być  tworzone  z  trzech  kolejno  po  sobie 

wykonywanych obrotów elementarnych.  

     













































































































c

c

s

s

c

c

s

c

s

c

s

s

c

s

s

s

s

c

c

c

s

s

s

c

s

s

c

c

c

rot

rot

rot

rot

z

y

x

)

,

,

(

     

















































































































c

c

s

s

s

s

c

c

c

c

s

s

s

c

c

c

s

s

s

c

c

s

s

c

s

c

s

c

c

rot

rot

rot

rot

x

y

z

)

,

,

(

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

20 

WSPÓŁRZĘDNE JEDNORODNE  

Do  tej  pory,  przedstawione  rozważania  przeprowadzano  w  oparciu  o 

współrzędne niejednorodne

.  

 

Jednak  już  od  roku  1969,  kiedy  do  obliczeń  wykorzystano  komputery, 

wszystkie  problemy  związane  z  kinematyką  manipulatorów  rozwiązywane  są 

przy wykorzystaniu 

współrzędnych homogenicznych (jednorodnych). 

 

Opisanie  punktu  czterema  współrzędnymi  (punkt  o  współrzędnych  x,y,z 

opisano jako x

1

,x

2

,x

3

,x

4

) znacznie uprościło obliczenia na macierzach.  

Zależność  między  współrzędnymi  niejednorodnymi  (x,y,z)  i  współrzędnymi 

jednorodnymi można zapisać następująco: 

 

4

3

4

2

4

1

x

x

z

x

x

y

x

x

x







WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

21 

WSPÓŁRZĘDNE JEDNORODNE  

4

3

4

2

4

1

x

x

z

x

x

y

x

x

x







Współrzędne jednorodne można określić za pomocą wektora: 





T

x

x

x

x

R

4

3

2

1





lub przy założeniu, że  





T

x

x

x

R

1

3

2

1





Dla przykładu  





T

1

0

0

0





T

0

0

0

1





T

0

0

1

0





T

0

1

0

0

wektor zerowym  

punkty nieskończenie oddalone od 

początku układu i leżące odpowiednio 

na osiach Ox,Oy,Oz  

1

4



x

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

22 

WSPÓŁRZĘDNE JEDNORODNE  

Podejście  takie  umożliwiło  rozszerzenie  macierzy  N-wymiarowej  do  wymiaru 

(N+1) tworząc tzw., jednorodną macierz transformacji  o postaci: 















skali

czynnik

a

perspektyw

translacji

wektor

rotacji

macierz

T

4

4

1

1

1

1

000

1

000

x

i

i

i

i

i

i

R

r

rot

translacji

wektor

rotacji

macierz

T





































Przypadkami szczególnymi jednorodnej macierzy transformacji są: 

 

Czysta rotacja (r=0) – wektor przemieszczenia jest równy zero 

 

 



















1

000

0

0

rot

Rot

T

r

Czysta translacja (rot=I) – macierz obrotu jest macierzą izogonalną 

 

 



















1

000

r

I

P

T

I

rot

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

23 

WSPÓŁRZĘDNE JEDNORODNE - PRZYKŁAD  

Podać jednorodną transformację układu przedstawionego na rysunku. 

z

0

y

0

x

0

x

1

y

1

z

1

a

b

c

P

1

R

P

Wyznaczenie zależności współrzędnych 

 





y

x

Rot

Rot

Rot

















2

1

0

































1

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

c

b

a

T

P

R

T

R

1

1

0

1

0









T

P

z

y

x

R

1

,

,

,

1

1

1

1



c

y

z

b

z

y

a

x

x



















1

0

1

0

1

0

Przemieszczenie i obrót 

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

24 

ZADANIE PROSTE KINEMATYKI 

Konfiguracja  (parametry  geometryczne)  układu  manipulatora  jest  realizowana  poprzez 

zmienne konfiguracyjne q=(q

1

,q

2

,..,q

n

) tzn. że każdej wartości zmiennej konfiguracyjnej 

odpowiada jedno położenie chwytaka R w układzie bazowym. Jeśli założy się, iż chwytak 

C jest zdefiniowany miejscem na ciele i układu wielociałowego to można zapisać: 

C

i

i

C

R

T

R





0

0

Zadanie bezpośrednie kinematyki można podzielić na etapy: 

 
1. Usytuowanie manipulatora w położeniu początkowym i wprowadzenie układu 

bazowego. 

2. Wprowadzenie układów dla wszystkich członów manipulatora. 
3. Wprowadzenie współrzędnych konfiguracyjnych. 
4. Wyznaczenie  wzajemnych  położeń  poszczególnych  członów  za  pomocą 

jednorodnych macierzy transformacji. 
 
 

5. Wyznaczenie położenia końcówki manipulatora względem układu bazowego. 

 

 

6. Wyznaczenie zależności pomiędzy współrzędnymi bazowymi i współrzędnymi 

lokalnymi końcówki manipulatora  

 
 

n

i

T

i

i

,...

2

,

1

1





i

i

i

T

T

T

T

1

2

1

1

0

0

...











i

i

i

i

R

T

R





0

0

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

25 

ZADANIE PROSTE KINEMATYKI - PRZYKŁAD 

Wyznaczyć jednorodną macierz transformacji 

0

T

2

 oraz współrzędne wektora 

0

r

2

 

manipulatora przedstawionego na rysunku. 

y

0

z

0





x

0

x

1

z

1

y

1

x

2

z

2

y

2





U

1

U

0

U

2

l

1

l

2

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

26 

ZADANIE PROSTE KINEMATYKI - PRZYKŁAD 

Wyznaczyć jednorodną macierz transformacji 

0

T

2

 oraz współrzędne wektora 

0

r

2

 

manipulatora przedstawionego na rysunku. 

y

0

z

0





x

0

x

1

z

1

y

1

x

2

z

2

y

2





U

1

U

0

U

2

l

1

l

2

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

27 

NOTACJA DENAVITA - HARTENBERGA 

Prace  nad  opracowaniem  niezawodnej  metody,  która  pozwoliłaby  nie 

tylko  analizę  mechanizmów  istniejących,  ale  również  syntezę  nowych 

rozpoczął 

F. Reloux w 1900 roku

. Jednak dopiero w 1955 roku udało się 

zdefiniować notację funkcjonującą do dzisiaj. 

Zalety notacji D-H: 

 

• opis typu mechanizmu 

• przedstawienie ruchu mechanizmu 

• opis ruchu za pomocą równań matematycznych. 

 

Wady notacji D-H:  

 

•opis par kinematycznych niższego rzędu 

•duża komplikacja obliczeń. 

 

Kinematyka prosta z doborem odpowiednich układów współrzędnych opisanych 

przez notację Denavita-Hartenberga. 

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

28 

NOTACJA DENAVITA - HARTENBERGA 

Zaproponowany  przez  J.  Denavita  i  R.S.  Hartenberga  układ  współrzędnych 

umożliwia  opis  prostej  w  przestrzeni  czterema  (rys.b),  a  nie  pięcioma  (rys.a) 

parametrami. 

x

0

y

0

z

0

0

0

x

y

z

P(x,y,z)





x

0

y

0

z

0

0

0

P(x,y,z)

s

a





90

o

0

i

a)

b)

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

29 

NOTACJA DENAVITA - HARTENBERGA 

Oś wiążąca dwa człony kinematyczne nazywana jest osią pary kinematycznej.  
 
W przypadku par kinematycznych klasy V osiami pary kinematycznej są: 

 



oś obrotu członu i względem i-1 dla pary obrotowej – oś z

i-1

; 



prosta o kierunku przemieszczania się członu i względem i-1 dla pary przesuwnej – oś z

i-1

 

x

i-1

y

i-1



i

z

i-1

x

i

y

i

z

i

a

i

x

i-1

y

i-1

z

i-1

y

i

x

i

z

i

s

i



i

a)

b)

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

30 

NOTACJA DENAVITA - HARTENBERGA 

x

i-1

y

i-1

z'

i-1

0

i-1



i

z

i-1

y'

i-1

x'

i-1

y"

i-1

x"

i-1

z"

i-1

y"

’

i-1

x"'

i-1

z"'

i-1

0

i

s

i

a

i

y

i

z

i

x

i



i



i



i



i



i

Wzajemne  usytuowanie  dwóch  kolejnych 

układów wyznaczają parametry: 

 

kąt  konfiguracji  członów 



i

  powstały  w  wyniku 

obrotu  wokół  osi  z

i-1

  do  momentu  aż  osie  x

i-1

  i  x

i 

staną się równoległe; 

 

odsunięcie 

członu 

s

i

 

powstałe 

w 

wyniku 

przesunięcia wzdłuż osi z

i-1

 do momentu aż osie x

i-1

 

i x

i

 pokryją się; 

 

długość  członu 

a

i

  powstała  w  wyniku  przesunięcia 

wzdłuż osi x

i

 do momentu aż początki układów 0

i-1

 i 

0

i

 pokryją się; 

 

kąt  skręcenia  członu 



i

  powstały  w  wyniku  obrotu 

wokół  osi  x

i 

do  momentu  aż  pokryją  się  wszystkie 

osie. 

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

31 

NOTACJA DENAVITA - HARTENBERGA 

Spośród  czterech  wymienionych  parametrów 



i

  oraz  a

i 

są  zawsze  stałe,  ponieważ 

określa je konstrukcja członów. Dwa pozostałe natomiast mogą być zmienne.  

Ogólnie dla wektora przemieszczenia we współrzędnych jednorodnych można zapisać: 

i

i

i

i

i

i

R

T

R









1

1

g

dzie macierz transformacji jednorodnej ma postać: 















































1

0

0

0

cos

sin

0

sin

sin

cos

cos

cos

sin

cos

sin

sin

cos

sin

cos

1

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

s

a

a

T





























)

(

)

(

)

1

(

)

1

(

1

i

x

i

x

i

z

i

z

i

i

Rot

P

P

Rot

T















WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

32 

NOTACJA DENAVITA - HARTENBERGA 

Aby można było jednoznacznie zdefiniować kierunki osi (wersory kierunkowe) 

układów: układy O

i-1

 oraz O

i

 charakteryzują się następującymi własnościami: 

 

•oś x

i

 jest prostopadła do osi z

i-1

 – warunek DH1 

•oś x

i

 przecina oś z

i-1

– warunek DH2 

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

33 

NOTACJA DH – DOBÓR UKŁADÓW WSPÓŁRZĘDNYCH 

W celu ustalenia i-

tego układu niezbędne jest rozpatrzenie dwóch przypadków: 

 
1.osie z

i-1

, z

i

 

nie leżą w jednej płaszczyźnie 

wówczas istnieje dokładnie jeden odcinek prostopadły do obu osi, który łączy obie osie i ma 
najmniejszą długość. Prostą zawierającą ten odcinek (prostopadłą do osi z

i-1

 i z

i

.

) należy 

obrać za oś x

i

, a punkt przecięcia z osią z

i

. 

przyjąć za początek układu O

i

. Oś y

i

 

dobiera się 

tak, aby tworzyła z pozostałymi osiami układ prawoskrętny;

 

 

 

Początek układu O

i

 nie musi leżeć na przegubie i.  

Istnieje wiele możliwości wyboru układów 

(dwóch inżynierów może przypisać kolejne układy w różny sposób).  

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

34 

NOTACJA DH – DOBÓR UKŁADÓW WSPÓŁRZĘDNYCH 

W celu ustalenia i-

tego układu niezbędne jest rozpatrzenie dwóch przypadków: 

 
1. osie z

i-1

, z

i

 

leżą w jednej płaszczyźnie i są równoległe  

– istnieje wówczas nieskończenie wiele wspólnych normalnych między nimi.  
Dlatego przyjmuje 

się, że: 

•

oś x

i

 jest 

prostopadła do z

i-1

 

•

wybrany  na  i-tym  przegubie 

początek  układu  O

i

 

spełnia  warunek,  że  oś  x

i

  przez 

niego przechodzi.  

 
Z  rysunku  a 

widać,  że  prostą  prostopadłą  do  osi  z

i-1

  i  z

i

 

można  przyjąć  również  jako 

przechodzącą  przez  punkt  O

i-1

 

(wówczas  odległość  d

i

  jest 

równa  zero).  Oś  y

i

 

dobiera 

się tak, aby tworzyła z pozostałymi osiami układ prawoskrętny; 

x

i-1

y

i-1



i

z

i-1

x

i

y

i

z

i

a

i

x

i-1

y

i-1

z

i-1

y

i

x

i

z

i

s

i



i

a)

b)

O

i-1

O

i

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

35 

NOTACJA DH – DOBÓR UKŁADÓW WSPÓŁRZĘDNYCH 

W celu ustalenia i-

tego układu niezbędne jest rozpatrzenie dwóch przypadków: 

 
1. osie z

i-1

, z

i

 

leżą w jednej płaszczyźnie i przecinają się  

– oś x

i

 jest skierowana prostopadle do z

i-1

 oraz z

i

 i przyjmowana jest zgodnie z 

zasadą 

przedstawioną na rysunku (oś x

i

 jest normalna do 

płaszczyzny na której leżą osie 

z

i-1

 oraz z

i

).  

 
Czasami  wygodnie  jest 

przyjąć  oś  x

i

  jako 

prostopadłą  do  płaszczyzny  wyznaczonej 

przez osie z

i-1

 i z

i

 na 

przecięciu się tych osi.  

 
Oś y

i

 dobiera 

się tak, aby tworzyła z pozostałymi osiami układ prawoskrętny.  

0

i

z

i

x

i

z

i-1

0

i-1

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

36 

NOTACJA DENAVITA - HARTENBERGA 

Układ współrzędnych związany z chwytakiem orientuje się oddzielnie: 

•oś z

n

 

określa kierunek zbliżania się chwytaka do obiektu (ang. a-approach);  

•oś y

n

 

leży w płaszczyźnie chwytania – wzdłuż tej osi poruszają się szczęki chwytaka (ang. 

s-sliding); 

• oś x

n

 jest 

prostopadła do płaszczyzny wyznaczonej przez osie z

n

 i y

n

 i tworzy z nimi 

układ 

prawoskrętny (ang. n-normal). 

x  (n)

n

z  (a)

n

y  (s)

n

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

37 

NOTACJA DH - ZADANIE 

x

2

y

2

a

2

x

1



1

a

1

z

2



2

y

4

y

3

x

4

z

0

y

1

z

1

x

0

y

0

z

3

x

3

z

4

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

38 

ZADANIE ODWROTNE KINEMATYKI 

Nakazanie  robotowi  przemieszczenia  końcówki  roboczej  do  wyznaczonego  w  przestrzeni 

roboczej punktu możliwe jest poprzez rozwiązanie zadania odwrotnego kinematyki.  

Dane:  

 

współrzędne kartezjańskie 

Poszukiwane :  

współrzędne konfiguracyjne   

Korzystając z nieliniowych równań kinematyki prostej widać, że: 

•zadanie jest trudne 

•rozwiązanie nie jest jednoznaczne    



2





x

0

y

0

z

0



1

l

1

l

2

Rozwiązania dla przypadku przedstawionego na rysunku: 

• brak rozwiązań – punkt leży poza przestrzenią manipulatora  

• dwa  rozwiązania  (łokieć  u  góry/dołu)  –  punkt  leży 

w przestrzeni manipulatora 

• jedno rozwiązanie – punk leży na granicy przestrzeni roboczej   









2

1

2

1

1

0

2

1

2

1

1

0

0

sin

sin

cos

cos

0



































l

l

z

l

l

y

x

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

39 

ZADANIE ODWROTNE KINEMATYKI 

Równania  uzyskane  z  analizy  zadania  prostego  kinematyki  są  zbyt  trudne  ponieważ  tworzą 

układ nieliniowych równań trygonometrycznych.   

Dana jest macierz:    















1

0

r

rot

H

Należy znaleźć:    

n

n

n

n

n

n

T

T

q

q

T

gdzie

H

q

q

T

1

1

0

1

0

1

0

)

,...,

(

)

,...,

(











Równanie daje 12 nieliniowych elementów macierzy (ostatni wiersz macierzy jest znany):    

Poszukujemy  rozwiązania  w  postaci  zamkniętej  (nie  rozwiązania 

numerycznego) czyli:    

n

k

gdzie

h

h

f

q

k

k

,...,

1

)

,...,

(

34

11





ponieważ: 

• dają się szybciej rozwiązać (wymagane podczas śledzenia trajektorii ruchu 

kamerą na.: spawanie) 

• dają możliwość wyboru konkretnego rozwiązania  

Rozwiązanie problemu jest zajęciem dla matematyka i inżyniera: 

• możliwość różnych konfiguracji robota dla osiągnięcia tej samej pozycji    

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

40 

ZADANIE ODWROTNE KINEMATYKI – ODSPŻĘŻENIE KINEMATYCZNE  

Dla manipulatorów o 6-ciu stopniach swobody z kiścią typu sferycznego   

Podzielenie problemu na dwa mniejsze: 

• kinematyka odwrotna pozycji 

 

 

• kinematyka odwrotna orientacji   

rot

q

q

rot

n



)

,...

(

1

6

0

r

q

q

r

n



)

,...

(

1

6

0

r – pozycja narzędzia   

rot – orientacja narzędzia   

Współrzędne kiści można wyznaczyć ze wzoru:   























































33

6

3

6

0

23

6

3

6

0

13

6

3

6

0

3

0

3

0

3

0

k

r

r

k

r

r

k

r

r

r

r

r

z

z

y

y

x

x

z

y

x































1

0

0

0

6

0

33

32

31

6

0

23

22

21

6

0

13

12

11

6

0

z

y

x

r

k

k

k

r

k

k

k

r

k

k

k

T

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

41 

ZADANIE ODWROTNE KINEMATYKI - PRZYKŁAD 



2





x

0

y

0

z

0



1

l

1

l

2

Rozwiązanie 
Rozwiązanie  polega  na  wyznaczeniu  kątów 



1

  i 



2

  w  funkcji  x,y,z  czyli  



i

=f

-1

(x,y,z).  W  związku  z  tym,  iż  x

0

=0  układ  sprowadza  się  do  zależności  



i

=f

-1

(y,z). 

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA 

WYDZIAŁ MECHATRONIKI I LOTNICWA 

Wojskowa Akademia Techniczna 

Wydział Mechatroniki i Lotnictwa 

42 

WYKŁAD 4 

DEFINICJE PRĘDKOŚCI I PRZYSPIESZEŃ  

CZŁONÓW MANIPULATORA