Fizyk
a
dla
in»ynieró
w
Zbiór
pra
k
on
troln
y
h
w
semestrze
jesienno-zimo
wym
roku
ak
ademi
kiego
2008/2009
Prof.
dr
hab.
T
adeusz
Lulek
1
Fizyk
a
dla
in»ynieró
w
Zbiór
pra
k
on
troln
y
h
w
semestrze
jesienno-zimo
wym
roku
ak
ademi
kiego
2008/2009
Prof.
dr
hab.
T
adeusz
Lulek
1
PRA
CA
KONTR
OLNA
1
1.
Dane
s¡:
ukªad
nieru
hom
y
O
x, y, z, t,
i
ukªad
ru
hom
y
O
′
x
′
, y
′
, z
′
, t
′
,
p
orusza
j¡ y
si
wzgldem
ukªadu
nieru
homego
z
prdk
o± i¡
v =
4
5
c
wzdªu»
wsp
ólnej
osi
x = x
′
;
osie
y
i
y
′
oraz
z
i
z
′
s¡
parami
ró
wnolegªe:
w
h
wili
t = t
′
= 0
osie
obu
ukªadó
w
p
okryw
a
j¡
si;
W
ukªadzie
nieru
hom
ym
sp
o
zyw
a
sfera
o
promieniu
R
i
±ro
dku
w
p
o
z¡tku
ukªadu.
Z
p
o
z¡tku
ukªadu
nieru
homego
wyrzu ono
6
kul
(mo»na
je
trakto
w
a¢
jak
punkt
y
materialne)
z
ró
wn
ymi
prdk
o± iami
u =
3
5
c
w
ró
wn
y
h
o
dstpa
h
zasu
T
,
w
kierunk-
a
h
zadan
y
h
przez
tab
el
kula
1
2
3
4
5
6
h
wila
wyrzu enia
0
T1
T2
T3
T4
T5
kierunek
~i
−~i
~j
−~j
~k
−~k
zdarzenie
z
1
z
2
z
3
z
4
z
5
z
6
Ozna zm
y
przez
z
i
,
gdzie
i ∈ ˜6 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
,
zdarzenie
wyrzu enia
i
-tej
kuli,
za±
przez
y
i
-
zdarzenie
uderzenia
i
-tej
kuli
w
p
o
wierz
hni
sfery
sp
o
zyw
a
j¡ ej.
2.
W
yzna zy¢
w
arto± i
obu
k
anoni zn
y
h
rzuto
w
a«
p
1
: E
A
→ T
,
p
2
: E
A
→ V
zaso-
przestrzeni
Arystotelesa
zadanej
przez
ukªad
nieru
hom
y
dla
zdarze«
z
i
,
y
i
,
i ∈ ˜6
.
3.
Przedyskuto
w
a¢
zagadnienie
ró
wno
zesno± i.
Przy
jaki
h
w
arto± ia
h
parametró
w
R
i
T
niektóre
ze
zde nio
w
an
y
h
zdarze«
mog¡
b
y¢
ró
wno
zesne
(a)
w
zasoprzestrzeni
Galileusza.
(b)
w
zasoprzestrzeni
Mink
o
wskiego
w
ukªadzie
nieru
hom
ym.
( )
w
zasoprzestrzeni
Mink
o
wskiego
w
ukªadzie
ru
hom
ym.
(d)
W
yzna zy¢
in
terw
aªy
zasoprzestrzenne
∆
z
i
,y
i
, 1 ≤ i ≤ j ≤ 6
i
p
o
da¢
i
h
t
yp
y
w
zale»no± i
o
d
R
i
T.
4.
Ci iem
zasoprzestrzeni
Galileusza
E
G
,
trakto
w
anej
jak
o
wi¡zk
a
wªóknista
(E
G
, T, V, π)
,
gdzie
π : E
G
→ T
,
nazyw
am
y
do
w
olne
o
dwzoro
w
anie
ψ : T → E
G
,
o
wªasno± i
π ◦ ψ = id
T
.
P
o
da¢
kinemat
y zn¡
in
terpreta j
i¢
zadan
y
h
przez:
2
ψ
1
(t) = (t, x
o
),
t ∈ T
ψ
2
(t) = (t, x
o
+ v
o
t),
t ∈ T
ψ
3
(t) = (t, x
o
+ v
o
t +
1
2
gt
2
), t ∈ T
ψ
4
(t) = (t, x
o
cos(ωt)),
t ∈ T
(1)
gdzie
dla
uprosz zenia
zapisu
przyjm
ujem
y
,
»e
ru
h
jest
jedno
wymiaro
wy
,
tzn.
V = R
.
Ka»de
z
t
y
h
i¢
okre±la
p
ewien
ukªad
o
dniesienia.
Które
z
ni
h
s¡
ukªadami
iner jaln
ymi?
PRA
CA
KONTR
OLNA
NR
2
1.
P
ok
aza¢,
»e
aªk
a
ogólna
ró
wnania
ru
h
u
Newtona
m¨
x = F
dla
jedno
wymiaro
w
ego
ru
h
u
(a)
jednosta
jnego,
(b)
p
o
d
dziaªaniem
staªej
siªy
F,
( )
p
o
d
dziaªaniem
siªy
harmoni znej
F = −kx
ma
o
dp
o
wiednio
p
osta¢:
(a)
x(t) = x
0
+ vt
(b)
x(t) = x
0
+ vt + vt
2
/2m
( )
x(t) = x
0
cos(ωt + δ)
Przedyskuto
w
a¢
w
arunki
p
o
z¡tk
o
w
e
w
k
a»ym
przypadku.
2.
Punkt
materialn
y
wyk
on
uje
ru
h
harmoni zn
y
opisan
y
w
przypadku
( )
zadania
1.
P
o
da¢
mo»liw
e
w
arto± i
(a)
fazy
δ
,
(b)
prdk
o± i
p
o
z¡tk
o
w
ej,
je»eli
wiadomo,
»e
wy
h
ylenie
w
h
wili
t = 0
ró
wna
si
p
oªo
wie
amplitudy
.
3.
Dan
y
jest
ukªad
me
hani zn
y
zw
an
y
w
ahadªem
p
o
dw
ó
jn
ym
pªaskim,
tj.
w
ahadªo
o
dªugo± i
l
1
i
masie
m
1
jest
za
wieszone
z
jednego
k
o« a,
a
na
drugim
k
o« u
za
wieszon
y
jest
p
o
z¡tek
drugiego
w
ahadªa
o
promieniu
l
2
i
masie
m
2
.
Ukªad
zna
jduje
si
w
jednoro
dn
ym
p
olu
przy i¡
gania
Ziemi.
(a)
P
ok
aza¢,
»e
przestrze«
k
on gura yjna
Q
tego
w
ahadªa
jest
toroidem.
(b)
Przedsta
wi¢
przestrze«
k
on gura yjn¡
Q = {(α
1
, α
2
)|0 ≤ α
1
< 2π, 0 ≤ α
2
<
2π}
na
mapie
kw
adratu
o
b
oku
2π
i
przedyskuto
w
a¢
top
ologi zne
wªasno± i
brzegu
tego
kw
adratu.
3
PRA
CA
KONTR
OLNA
NR
3
1.
(a)
P
ok
aza¢,
»e
siªy
w
punkta
h
(a),
(b)
i
( )
zadania
1
pra y
k
on
trolnej
2
s¡
p
oten -
jalne
oraz
wyzna zy¢
o
dp
o
wiednie
p
oten jaªy
(w
jedn
ym
wymiarze
przestrzen-
n
ym).
Odp.:
(a) V = const, (b) V = (F/m)x, (c) V = kx
2
/2.
(b)
Sp
orz¡dzi¢
wykresy
zale»no± i
energii
kinet
y znej
T
,
p
oten jalnej
V
oraz
me-
hani znej
E
jak
o
funk
ji
zasu
dla
trze
h
p
o
wy»szy
h
ru
hó
w
i
zin
terpreto
w
a¢
o
dp
o
wiednie
zasady
za
ho
w
ania.
2.
W
yzna zy¢
p
o
wierz
hnie
ekwip
oten jalne
oraz
gradien
t
p
oten jaªu
dla
przypadk
ó
w:
(a)
jednoro
dnego
przy i¡
gania
ziemskiego,
V (x, y, z) = −mgz
,
(b)
p
oten jaªu
Coulom
ba,
V (x, y, z) = C/
√
x
2
+ y
2
+ z
2
,
( )
tró
jwymiaro
w
ego,
izotrop
o
w
ego
os ylatora
harmoni znego,
V (x, y, z)
=
(1/2)k(x
2
+ y
2
+ z
2
).
3.
P
o
dw
ó
jne
w
ahadªo
matemat
y zne
pªaskie
skªada
si
z
w
ahadªa
pierwszego,
za zepi-
onego
w
punk
ie
(0, 0)
(rys.
1),
oraz
w
ahadªa
drugiego,
za zepionego
na
k
o« u
pier-
wszego.
Dªugo± i
w
ahadeª
wynosz¡
o
dp
o
wiednio
l
1
i
l
2
,
a
i
h
masy
-
m
1
i
m
2
.
P
ar
(α
1
, α
2
)
,
0 ≤ α
1
< 2π
,
0 ≤ α
2
< 2π
in
terpretujem
y
jak
o
p
oªo»enie
uogólnione
ukªadu
w
sensie
formalizm
u
Lagrange'a
-
Eulera.
(a)
P
ok
aza¢,
»e
przestrze«
k
on gura yjna
Q
w
ahadªa
jest
toroidem,
sp
orz¡dzi¢
jego
map
w
e
wsp
óªrzdn
y
h
(α
1
, α
2
)
i
przedyskuto
w
a¢
top
ologi zne
wªasno± i
brzegó
w
tej
map
y
.
W
sk
aza¢
punkt
y
ró
wno
w
agi
trw
aªej
i
h
wiejnej
(w
jednoro
d-
n
ym
p
olu
przy i¡
gania
ziemskiego
wzdªu»
osi
z).
(b)
P
ok
aza¢,
»e
energia
kinet
y zna
ukªadu
wyraªa
si
wzorem:
T =
1
m
1
+ m
2
l
2
1
˙
α
1
2
+
1
2
m
2
l
2
2
˙
α
2
2
+ m
1
l
1
l
2
˙
α
1
˙
α
2
cos(α
1
− α
2
)
za±
energia
p
oten jalna:
V = −gl
1
(m
1
+ m
2
) cos(α
1
) − gm
2
l
2
cos(α
2
)
P
o
da¢
in
terpreta j
me
hani zn¡
p
osz zególn
y
h
zªonó
w
i
okre±li¢
lagrangian
ukªadu.
4
( )
W
yzna zy¢
i
zin
terpreto
w
a¢
siªy
i
p
dy
uogólnione
oraz
napisa¢
ukªad
ró
wna«
Lagrangea
-
Eulera.
rys.
1,
W
ahadªo
pªaskie
4.
Caªk
a
ogólna
ró
wnania
ró»ni zk
o
w
ego
x + ω
2
x = 0
ma
p
osta¢
x(t) = Acos(ωt + δ)
,
gdzie
A
i
δ
s¡
staªymi
aªk
o
w
ania.
W
yzna zy¢
te
staªe
z
w
arunk
ó
w
p
o
z¡tk
o
wy
h
(a)
x(0) = 0
,
˙x(0) = v
0
(b)
x(0) = x
0
,
˙x(0) = 0
5.
Dane
s¡
nastpuj¡ e
p
oten jaªy:
(a)
jednoro
dn
y
p
oten jaª
gra
wita yjn
y
,
zadan
y
w
e
wsp
óªrzdn
y
h
k
artezja«ski
h
przez
V (x, y, z) = mgz
(b)
p
oten jaª
kulom
b
o
wski,
zadan
y
w
e
wsp
óªrzdn
y
h
sfery zn
y
h
przez
V (r, ϑ, ϕ) =
C
r
( )
p
oten jaª
spr»yst
y
,
zadan
y
w
e
wsp
óªrzdn
y
h
sfery zn
y
h
przez
V (r, ϑ, ϕ) = kr
2
.
P
o
da¢
geometry zn
y
opis
p
o
wierz
hni
ekwip
oten jaln
y
h
oraz
wyzna zy¢
p
ola
siª
zadan
y
h
przez
k
a»dy
z
t
y
h
p
oten jaªó
w.
W
yzna zy¢
w
arto±¢
p
oten jaªu
oraz
w
ektor
siªy
w
punk
ie
~r = a(~i + ~j + ~k)
dla
k
a»dego
przypadku.
PRA
CA
KONTR
OLNA
NR
4
1.
P
o
da¢
geometry zn¡
in
terpreta j
mo
dó
w
normaln
y
h
zadan
y
h
przez
k
a»d¡
k
olumn
tab
eli
W
sp
óªrzdne
symetry zne
wierz
hoªk
ó
w
kw
adratu.
5
(a)
W
sk
aza¢
meto
dy:
transla yjne,
rota yjne,
o
ddy
ha
j¡ e,
wibra yjne.
(b)
Przedyskuto
w
a¢
stopnie
zwyro
dnienia
o
dp
o
wiedni
h
zsto± i
wªasn
y
h.
2.
Rozwi¡za¢
zagadnienie
wªasne
ma ierzy
dla
dw
ó
h
przypadk
ó
w
V
1
=
5
2
0
2
2
5
2
0
0
2
5
2
2
0
2
5
V
2
=
7
1
3
1
1
7
1
3
3
1
7
1
1
3
1
7
(2)
(a)
P
ok
aza¢,
»e
specV
1
= (1, 5, 5, 9)
,
specV
2
= (4, 4, 8, 12)
.
(b)
P
ok
aza¢,
»e
do
w
oln
y
w
ektor
wªasn
y
ma ierzy
,
o
dp
o
wiada
j¡ y
zwyro
dniaªej
w
arto± i
wªasnej
λ = 5
dla
ma ierzy
V
1
,
lub
λ = 4
dla
ma ierzy
V
2
,
ma
p
osta¢
q = a(e
1
− e
3
) + b(e
2
− e
4
)
,
gdzie
a, b
s¡
do
w
oln
ymi
li zbami
rze zywist
ymi,
za±
e
1
, e
2
, e
3
, e
4
stano
wi¡
baz
ortonormaln¡,
w
której
zadana
jest
ma ierz
V.
Unormo
w
a¢
ten
w
ektor
wªasn
y
.
( )
W
yzna zy¢
unormo
w
ane
w
ektory
wªasne,
o
dp
o
wiada
j¡ e
w
arto± iom
wªasn
ym
niezwyro
dniaªym.
(d)
Przedsta
wi¢
ró
wnanie
sekularne
w
p
osta i
i.
wyzna znik
o
w
ej,
ii.
wielomian
u
o
d
w
arto± i
wªasnej,
w
p
osta i
rozwinitej
i
sfaktoryzo
w
anej.
(e)
P
o
da¢
in
terpreta j
me
hani zn¡
ma ierzy
V
i
jej
elemen
tó
w
ma ierzo
wy
h
w
k
on
tek± ie
zadania
1.
(f
)
W
sk
aza¢
zwi¡zek
w
ektoró
w
wªasn
y
h
ma ierzy
V
z
mo
dami
normaln
ymi
z
zadania
5.
W
sz zególno± i,
dopaso
w
a¢
w
arto± i
li zb
a, b
z
punktu
b)
do
t
y
h
mo
dó
w.
PRA
CA
KONTR
OLNA
NR
5
1.
Stan
kw
an
to
wy
elektron
u
sw
ob
o
dnego
w
szes ianie
zadan
y
jest
przez
|φ >=
1
√
3
|2, 1, 0 > +
1
√
2
| − 1, 0, 2 > −
1
√
6
|0, −2, −1 >
(a)
W
yjasni
zna zenie
li zb
kw
an
to
wy
h
oraz
amlplitud
pra
wdop
o
dobienst
w
a.
6
(b)
Czy
ten
stan
jest
stanem
wªasn
ym
op
eratora
(a)
ˆ
p
x
,
(b)
ˆ
p
y
,
( )
ˆ
p
z
,
(d)
p
2
=
ˆ
p
x
+ ˆ
p
y
+ ˆ
p
z
,
(e)
hamiltonian
u?
Je±li
tak
-
prosz
p
o
da¢
o
dp
o
wiedni¡
w
arto±¢
wªasna,
a
je±li
nie
-
obli zy¢
w
arto±¢
±redni¡
w
t
ym
stanie.
( )
Jakie
jest
pra
wdop
o
dobie«st
w
o
znalezienia
n
kw
an
tó
w
p
du,
n = 0, 1, 2, 3 . . .
,
w
kierunku
osi
x, y, z
,
w
t
ym
stanie?
2.
Okresli¢
dziaªanie
grup
y
oktaedry znej
O
h
na
zbiorze
wierz
hoªk
ó
w
szes ian
u.
W
yniki
przedsta
wi¢
w
p
osta i
tab
eli,
z
wierszami
n
umero
w
an
ymi
przez
g ∈ O
h
,
z
up
orzad-
k
o
w
aniem
w
edªóug
klas
elemen
to
w
wza
jemnie
sprzezon
y
h,
a
k
olumn
y
-
przez
wierz-
hoªki
A, B, C, D, A
′
, B
′
, C,
′
D,
′
.
Przy
p
omo
y
tej
tab
elki
(a)
p
ok
aza¢,
»e
elemen
t
y
k
a»dej
klasy
ma
j¡
jednak
o
w
¡
struktur
yklo
w
¡,
(b)
p
o
da¢
ma ierze
reprezen
ta ji
w
ektoro
w
ej
grup
y
O
h
,
( )
sp
orz¡dzi¢
tab
el
prezen
tuj¡ a
grup
e
O
h
jak
o
ilo
zyn
p
oªprost
y
O
h
= D
2
h
C
A
3
V
i
zin
terpreto
w
a¢
zynnik
D
2
h
jak
o
grup
e
o
dp
o
wiedzialn¡
za
zmian
znak
ó
w
li zb
kw
an
to
wy
h
|pqr >
stanó
w
elektron
u
sw
ob
o
dnego
w
szes ianie,
za±
zynnik
C
A
3
V
jak
o
grup
p
erm
uta ji
t
y
h
li zb
kw
an
to
wy
h.
3.
Przedyskuto
w
a¢
zwi¡zek
symetrii
ze
zwyro
dnieniem
na
przykªadzie
elektron
u
sw
ob
o
d-
nego
w
sze± ianie.
(a)
P
o
da¢
mo»liw
e
t
yp
y
stabilizatoró
w
stanó
w
kw
an
to
wy
h
|n
x
n
y
n
z
>
w
grupie
ok-
taedry znej
O
h
.
(b)
Sp
orz¡dzi¢
tab
el,
wi¡»¡ a
symetrie
za
stopniem
zwyro
dnienia
p
oziom
u
energii.
( )
P
o
da¢
trzy
przykªady
taki
h
sz zebli
l
drabin
y
energet
y znej
dla
elektron
u
sw
o-
b
o
dnego
w
szes ianie,
gdzie
istniej¡
rozwi¡zania
ró
wnania
diofan
t
y znego
p
2
+ q
2
+ r
2
= l
o
dp
o
wiada
j¡ e
dw
óm
ró»n
ym
orbitom
grup
y
oktaedry znej.
7
PRA
CA
KONTR
OLNA
NR
6
1.
(a)
P
o
da¢
rela je
k
om
uta ji
dla
kw
an
to
wy
h
op
eratoró
w
skªado
wy
h
momen
tu
p
du.
(b)
P
o
da¢
zagadnienie
wªasne
op
eratoró
w
(~
L)
2
i
L
z
.
Okresli¢
widmo
t
y
h
op
eratoró
w.
P
o
da
wsp
ólne
funk
je
wªasne.
2.
Dane
s¡
nastpuja e
dw
a
momen
t
y
p
du:
(a)
j
1
= 1
,
j
2
= 1
,
(b)
j
1
= 1/2
,
j
2
= 2
,
( )
j
1
= 1
,
j
2
= 2
.
W
yzna zy¢
w
k
a»dym
przypadku
widmo
wypadk
o
w
ego
momen
tu
p
du
J
i
spra
wdzi¢
zwyro
dnienia.
3.
W
yzna zy¢
term
y
LS
Russela-Saundersa
nastpuj¡ y
h
k
on gura ji
elektrono
wy
h:
(1s)
1
,
(2p)
1
,
(2p)
2
,
(3d)
1
,
(3d)
2
,
(3d)
8
,
(3d)
9
i
wsk
aza¢
term
Hunda.
4.
W
yzna zy¢
subteln¡
struktur
term
u
4
I
.
P
ok
aza¢,
»e
±ro
dek
ie»k
o± i
tej
struktury
p
okryw
a
si
z
p
oziomem
wyjs io
wym.
Spra
wdzi¢
reguª
in
terw
aªó
w
Landego.
5.
Dane
s¡
nastpuj¡ e
pary
(l
1
, l
2
)
momen
tó
w
p
du
(1, 1)
,
(1, 2)
,
(2, 2)
,
(1/2, 1/2)
,
(1/2, 2)
.
(a)
W
ypisa¢
bazy
|l
1
m
1
> |l
2
m
2
>
niesprz»on
y
h
momen
tó
w
p
du
dla
k
a»dej
z
t
y
h
par
i
p
o
da¢
wymiary
o
dp
o
wiedni
h
przestrzeni
kw
an
to
wy
h.
(b)
Sp
orz¡dzi¢
wyk
az
wszystki
h
elemen
tó
w
bazy
|l
1
l
2
LM >
wypadk
o
w
ego
momen
tu
p
du
dla
k
a»dej
z
t
y
h
par
i
p
o
da¢
bilans
wymiaró
w.
6.
W
yzna zy¢
nastpuj¡ e
li zb
y
niezale»n
y
h
stanó
w
kw
an
to
wy
h
w
teorii
atom
u:
(a)
li zb
t
y
h
stanó
w
jedno
elektrono
wy
h,
dla
który
h
dla
który
h
gªó
wna
li zba
kw
an
to
w
a
n
wynosi
1,
2,
3,
4,
(b)
li zb
stanó
w
jedno
elektrono
wy
h
na
p
o
wªok
a
h
4s
,
4p
,
4d
,
4f
,
( )
li zb
stanó
w
ukªadu
zadanego
przez
k
on gura je
elektrono
w
e:
1s
2
, 2p
2
, 2p
3
, 2p
4
, 3d
2
, 3d
3
, 3d
5
, 3d
9
, 3d
10
, 4f
2
, 4f
3
, 4f
7
, 4f
12
.
8
7.
(a)
W
yzna zy¢
term
y
Russela-Saundersa
dla
k
on gura ji
elektrono
w
ej
3d
3
.
(b)
W
yzna zy¢
term
p
o
dsta
w
o
wy
przy
p
omo
y
reguªy
Hunda.
( )
W
yzna zy¢
subteln¡
struktur
term
u
Hunda
i
spra
wdzi¢
reguª
in
terw
aªó
w
Lan-
dego.
9