FALE
Zakłócenie mechaniczne wywołane w pewnym miejscu ośrodka ciągłego
(gaz, ciecz lub ciało stałe) będzie się rozprzestrzeniało w tym ośrodku w
postaci fal bieżących. Gdy zakłócenie ma charakter drgań harmonicznych,
powstanie fala sinusoidalna.
y = A sin
ωt (w punkcie x=0)
w punkcie odległym o x przesunięcie
fazowe
ϕ ∼ x,
ϕ =kx (opóźnienie)
y = A sin(
ωt - kx)
Jeśli x =
λ, to ϕ = 2π
2
π = kπ
k =
liczba falowa
Podstawiając
ω =
y = A sin2
π (
)
Równanie fali bieżącej (harmonicznej)
2π
λ
2
π
T
t
T
x
−
λ
Zaburzenie przesunie się x =
λ
w czasie t = T, tzn. prędkość
przemieszczenia się zaburzenia w danej fazie (np. grzbietu fali,
zaznaczonego x na rysunku)
v = =
λ f
prędkość fali
(prędkość fazowa)
T =
⇒ v =
ω
=
y = A sin
(t -
) = A sin
ω
(t -
)
Przykład:
Wyznaczyć prędkość v fali opisanej równaniem :
y = A sin (Bx + Ct)
z porównania : B = -
ω
/v i C =
ω
czyli v = -
λ
T
2π
ω
λ
2π
ω
k
2
π
T
xT
λ
x
V
C
B
W ośrodkach sprężystych mogą rozchodzić się fale:
podłużne
, polegające na periodycznej zmianie gęstości ośrodka; kierunek
drgań jest zgodny z kierunkiem rozchodzenia się fali; zależą od modułu
ściśliwości ośrodka;
poprzeczne
, polegają na zmianie kształtu ciała; drgania zachodzą w
kierunku prostopadłym do kierunku fali; zależą od modułu sztywności
(możliwe tylko w ośrodkach mających sprężystość postaci - ciałach stałych;
wyjątek - powierzchnia cieczy.
Zakłada się, że zaburzenie ośrodka wywołane rozchodzącą się falą można
opisać odpowiednim prawem Hooke'a.
Odkształcenie objętości
, pod wpływem ciśnienia p (siły skierowane
prostopadle do powierzchni ciała):
p = - K
(prawo Hooke
’
a dla odkształcenia objętości)
K - moduł ściśliwości (sprężystości objętościowej)
∆V
V
Odkształcenie postaci
, pod wpływem siły stycznej do powierzchni ciała
(ciśnienie styczne
τ)
τ = G α (prawo Hooke
’
a dla odkształcenia postaci)
G - moduł sztywności;
τ =
;
F - siła styczna do powierzchni s
Powyższe dwa rodzaje odkształceń są od siebie niezależne (tzn.
odkształcenia podstawowe). Związane z nimi jest
rozciąganie i ściskanie
(odkształcenie wymiaru liniowego)
.
σ = E
(prawo Hooke
’
a dla odkształcenia liniowego)
E - moduł sprężystości na rozciąganie (moduł Younga);
σ =
;
σ - naprężenie
F - siła prostopadła do pola przekroju s
Rozciąganiu towarzyszy zmiana wymiarów poprzecznych.
F
s
∆l
l
F
s
Prędkość fali sprężystej.
Rozważmy falę podłużną w cieczy, wywołaną ruchem tłoka w rurze
wypełnionej cieczą.
p - ciśnienie cieczy
s - powierzchnia tłoka,
(p s - przyłożona siła)
u - prędkość ruchu tłoka
v - prędkość rozchodzenia
się zaburzenia w cieczy
ρ
- gęstość cieczy
Masa cieczy w ruchu :
m =
ρ
s v t
(s v t = v; objętość)
ta masa uzyskała od tłoka pęd: P = m u =
ρ
s v t u
Objętość cieczy w ruchu (v= s v t ) zmaleje o
∆V = s u t
więc z prawa Hooke
’
a :
∆p = K
= K
∆V
V
sut
svt
K
u
v
=
Przyrost ciśnienia wywołała siła F =
∆
p s ; ta siła również nadała pęd p
części cieczy (w ruchu); zatem z II-ej zasady dynamiki:
(F =
):
∆p s = (
ρ
s v t u)
Po podstawieniu : K s =
ρ
s v u
⇒ v =
Ogólnie v = -
wzór Newtona
M - odpowiedni moduł sprężystości
dP
dt
d
dt
u
v
K
ρ
M
ρ
Rozważmy dokładniej ruch cząsteczek ośrodka w którym
rozchodzi się fala sprężysta.
Oznaczymy wychylenie cząstki w chwili t w punkcie x przez
ξ
(ksi) (
ξ
jest funkcją zmiennych x i t)
Prędkość odkształcenia : u =
Prędkość rozchodzenia się zaburzenia: v =
Przyrost ciśnienia :
∆p =K
= K
inaczej dp = K
(*)
- pochodna cząstkowa funkcji
ξ
(x,t) po zmiennej x,
traktujemy zmienną t jako stałą.
Siła wywołująca przyrost ciśnienia : F =
∆p s
Z II-ej zasady dynamiki (F=ma):
∆p s = m a
Element masy w ruchu : m =
ρ
s
∆x
Po podstawieniu
∆p s =
ρ
s
∆x a
⇒
=
ρ
a
∆ξ
∆
t
∆
∆
x
t
U
V
∆ ξ
∆
x
δ ξ
δ
x
δ ξ
δ
x
∆
∆
p
x
Przyspieszenie: a =
=
inaczej:
=
ρ
a
Po podstawieniu : = p
(**)
Po zróżniczkowaniu równania (* ) po zmiennej x:
Po podstawieniu do równania (**)
=
inaczej
=
Prędkość fali: v =
⇒ v
2
=
⇒
=
δ
δ
u
t
δ2ξ
δ
2
t
δ
δ
p
x
δ
δ
p
x
δ2ξ
δ
2
t
δ
δ
δ ξ
δ
2
p
x
K
x
2
=
K
x
2
2
δ ξ
δ
ρ δ ξ
δ
2
2
t
2
2
x
δ ξ
δ
ρ
K
δ ξ
δ
2
2
t
K
ρ
K
ρ
ρ
K
1
v
2
Po podstawieniu:
Różniczkowe równanie
falowe
Równanie to stosuje się do wszystkich rodzajów fal, np. dźwiękowych,
fal sprężystych na strunie, fal na wodzie, fal elektromagnetycznych.
Równanie y = A sin2
π(
) jest rozwiązaniem różniczkowego
równania falowego (dla fali poprzecznej;
ξ
= y)
t
T
x
−
λ
2
2
2
2
2
δ ξ
δ ξ
= 1 δ ξ
δ
v
t
Interferencja fal
Zasada niezakłóconej superpozycji
: każdy ciąg fal rozchodzi się tak,
jakby nie było innych ciągów fal; punkt do którego dochodzą
jednocześnie różne fale, ulega wychyleniu będącemu sumą wychyleń
wywołanych przez poszczególne fale.
Niezakłócone nakładanie się fal nazywamy interferencją:
Rozpatrzmy nakładanie dwu fal o tej samej częstotliwości i amplitudzie,
lecz o różnych fazach (gdy np. ich źródła znajdują się w różnych
odległościach, x
1
i x
2
):
y
1
= A sin 2
π (
)
y
2
= A sin 2
π (
)
t
T
x
1
−
λ
t
T
x
2
−
λ
po nałożeniu : y= y
1
+ y
2
= A[(sin2
π (
+ sin2
π (
)]
ponieważ: sin
α + sinβ = 2 sin
cos
y = 2Asin
π(
)cos
π(
) =
= 2Asin2
π(
)
Oznaczmy : B = 2 A cos
π
i x =
y = B sin 2
π (
)
Amplituda B jest funkcją położenia. Wartość
maksymalną
(B=2A) osiąga
dla cos (
π
) = 1,
czyli :
= 0, 1, 2, 3, .....n, tzn. gdy różnica dróg jest wielokrotnością
długości fali : x
2
- x
1
= n
λ
.
t
T
x
1
−
λ
t
T
x
2
−
λ
1
2
α + β
(
)
1
2
α − β
(
)
t
T
x
t
T
x
1
2
−
+ −
λ
λ
t
T
x
t
T
x
1
2
−
− +
λ
λ
t
T
x
x
2
)
x
x
1
2
2
1
−
+
−
λ
π
λ
cos
2
1
x
x
−
λ
1
2
x
x
2
+
t
T
x
−
λ
2
1
x
x
−
λ
−
+
2
1
x
x
−
λ
Wartość
minimalną
(B=0) osiąga dla cos
λ
=0,
czyli
=
(2n+1), tzn. gdy różnica dróg jest nieparzystą
wielokrotnością połowy długości fali : x
2
- x
1
= (2n+1)
Gdy źródła dwóch fal są koheretne (tzn. zgodne w fazie lub o stałej
różnicy faz), punkty maksimum amplitudy i minimum amplitudy są
stałe.
2
1
x
x
−
λ
2
1
x
x
−
λ
1
2
λ
2
Fale stojące
- wynik interferencji dwóch fal o tej samej częstotliwości
(długości) i amplitudzie, ale rozchodzących się w przeciwnych
kierunkach.
y
1
= A sin 2
π
(
); y
2
= A sin 2
π
(
)
y = y
1
+ y
2
= 2A cos(
x) sin
ω
t
Równanie fali stojącej
W - węzły
St - strzałki
Amplituda: B = 2A cos (
x ) jest maksymalna (strzałka),
gdy: cos(
x ) = 1, czyli dla x = n (n = 0, 1, 2, ....)
Amplituda jest minimalna, (węzły), gdy cos (
x ) =0, czyli
dla x = (2n +1) (n = 0, 1, 2, ...)
Położenie strzałek i węzłów nie zmienia się. Fala stojąca powstaje np.
przy odbiciu fal: gdy odbicie od środka gęstszego, na granicy tworzy
się węzeł; gdy od ośrodka rzadszego, na granicy tworzy się strzałka.
t
T
x
−
λ
t
T
x
+
λ
2π
λ
2
π
λ
2
π
λ
λ
2
2
π
λ
λ
4
Zasada Huygensa
Wszystkie punkty czoła fali wysyłają jednocześnie kuliste fale
elementarne, których interferencja daje falę obserwowaną.
Fala kołowa (kulista)
Fala płaska
Wydzielenie elementarnej fali
kulistej z czoła fali płaskiej
Zasada Huygensa pozwala na łatwe otrzymywanie dwu lub więcej
źródeł koherentnych:
⇒
siatka dyfrakcyjna
Fale dźwiękowe
Każdy drgający przedmiot przekazuje drgania powietrzu i jest źródłem
fali dźwiękowej. Jeśli drgania mają stałą częstotliwość w granicach 16
do 20 000 Hz powstają dźwięki słyszalne przez człowieka.
Każde rozchodzące się zaburzenie okresowe można rozłożyć na sumę
fal harmonicznych (analiza Fouriera). Fala zawierająca tylko jedną
częstotliwość jest tonem. Zaburzenie okresowe niesinusoidalne
(nieharmoniczne) tworzy dźwięk.
Źródło dźwięku może być liniowe (struny, pręty drgające, słupy
powietrza), płaskie (membrany i płyty) i przestrzenne (pulsująca kula).
Prędkość fali podłużnej w gazie.
v = ;
M - moduł ściśliwości gazu K:
∆
p = - K
Z prawa Boyle
,
a - Mariotte
,
a: pV = const.,
po zróżniczkowaniu:
Vdp + p dV = 0
czyli:
dp = - p
⇒
(p = K)
⇒
v =
V
∆V
V
M
ρ
dV
p
ρ
Prawo Boyle
,
a-Mariotta jest słuszne dla procesów izotermicznych.
Zaburzenia ciśnienia w gazie przy rozchodzeniu się fal głosowych są tak
szybkie, że wskutek zbyt wolnej wymiany ciepła z otoczeniem warunek
izotermiczności nie jest spełniony. Lepszym przybliżeniem jest prawo
Poissona dla procesu adiabatycznego:
pV
κ
= const.
gdzie:
κ =
C
p
- molowe ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu
C
v
- molowe ciepło właściwe przy stałej objętości
po zróżniczkowaniu : V
κ
dp +
κ
pV
κ
-1
dV = 0
czyli :
dp = -
κ
p
p
v
C
C
dV
V
Z porównania z prawem Hooke
’
a: p = - K
wynika, że iloczyn
κ
p
odpowiada modułowi ściśliwości dla gazu, więc z prawa Newtona :
v =
dV
V
p
κ
ρ
∆
Prędkość dźwięku w różnych ośrodkach nie zależy od częstotliwości, o ile
amplituda drgań nie jest zbyt duża.
Prędkość dźwięku w powietrzu zależy od temperatury, bo gęstość
powietrza
ρ
zmienia się z temperaturą.
v= v
o
gdzie v
o
jest prędkością dźwięku w T
o
= 273,16 K
T
T
o
Ośrodek
Prędkość
dźwięku (m/s)
Powietrze (0
o
C)
Wodór
Woda
Żelazo
Aluminium
Guma
340
1286
1450
5130
5100
54
Ciśnienie i natężenie dźwięku
Wykazaliśmy, że ciśnienie wywołane falą jest proporcjonalne do prędkości
odkształcenia u
∆p = - K
Jeśli równanie fali ma postać :
ξ
= A sin (
ω
t -
),
to: u =
∼ cos (
ω
t -
) i można wykazać, że ciśnienie
wywołane falą:
∆p = ∆p
m
cos (
ω
t -
)
gdzie amplituda ciśnienia fali:
∆p
m
=
ρ
v
2
A
Ciśnienie zmienia się w sposób harmoniczny.
Najsłabszy słyszalny dźwięk o częstotliwości 1000 Hz ma amplitudę ciśnienia
∆p
m
= 210
-5
N/m
2
,
- najsilniejszy dźwięk jaki może znieść ucho człowieka ma
∆p
m
= 20 N/m
2
- bardzo mało w porównaniu z ciśnieniem atmosferycznym ok. 10
5
N/m
2
.
Wykazaliśmy, że oscylator harmoniczny posiada energię drgań :
E =
k A
2
gdzie k = m
ω
2
u
v
2
π
λ
x
d
dt
ξ
2
π
λ
x
2
π
λ
x
2
π
λ
1
2
Wykazaliśmy, że oscylator harmoniczny posiada energię drgań :
E =
k A
2
gdzie k = m
ω
2
inaczej : E =
m
ω
2
A
2
Jeśli oscylator jest źródłem fali dźwiękowej, to fala przenosi energię drgań
źródła i wzór:
E =
m
ω
2
A
2
określa energię fali akustycznej zawartej w masie m.
Wówczas gęstość energii akustycznej E
a
:
E
a
= =
ω
2
A
2
=
ρ ω
2
A
2
gdzie V - objętość
Na powierzchnię S prostopadłą do fali, pada w czasie t energia fali zawarta
w objętości:
V = S v t wynosząca :
E = V E
a
= S v t
ρ ω
2
A
2
tzn. moc wynosi : P =
= S v t
ρ ω
2
A
2
1
2
1
2
E
V
1
2
m
V
1
2
1
2
dE
dt
1
2
1
2
Natężeniem fali I
nazywamy moc fali na jednostkę powierzchni
prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali
I = = S V
ρ ω
2
A
2
Najsłabszy dźwięk ma I
o
∼ 10
-12
W/m
2
,
najsilniejszy I
maks
= 1 W/m
2
.
Poziom natężenia dźwięku
L określa się w
decybelach
(dB):
L = 10 log (I/I
o
).
Dla najsłabszego dźwięku L = 0 dB;
dla najsilniejszego L = 120dB
2
1
P
S
Zjawisko Dopplera
- występuje przy ruchu źródła fali (np. dźwiękowej)
względem obserwatora, lub obserwatora względem źródła; obserwator
odbiera fale o innej częstotliwości niż wysyłane.
Rozpatrzmy przypadek źródła zbliżającego się do obserwatora:
v
ź
- prędkość źródła
c- prędkość roz-
chodzenia się fal
T - okres fal ( )
Gdy źródło nieruchome, fala pokonuje w czasie T drogę :
λ
=cT. Przy prędkości źródła v
ź
, droga w czasie T wynosi
λ
‘
=
λ
- v
ź
T. Jakiej częstotliwości to odpowiada ? f
’
=
=
=
; dla
1
f
c
λ
'
c
v T
λ
−
ź
c
cT v T
1
T
c
c v
f
c
c v
ź
ź
ź
−
−
−
=
−
v
c
1
ź
〈〈
f
’
≈ f (1+
)
Obserwator odbiera wyższą częstotliwość gdy źródło się zbliża,
analogicznie gdy źródło się oddala
f
’’
≈ f (1 -
)
Obserwator odbiera niższą częstotliwość.
=========================
Ultradźwięki
- fale dźwiękowe o częstotliwości większej od
20 000 s
-1
(20 kHz)
Wytwarzane np. z wykorzystaniem kryształów piezoelektrycznych (np.
kwarcu) - umieszczone w zmiennym polu elektrycznym drgają stając
się źródłem fali ultradźwiękowej. Amplituda drgań maksymalna, gdy
częstotliwość zmian pola elektrycznego jest równa częstotliwości
własnej drgań
danego kryształu (rezonans). Wiele ważnych
zastosowań technicznych, m.in. pomiary głębokości akwenów (morza),
wykrywanie ławic ryb, badanie uszkodzeń wewnętrznych materiałów
(defektoskopia), wytwarzanie emulsji z niemieszalnych cieczy,
usuwanie zanieczyszczeń np. szkła laboratoryjnego.
Infradźwięki
- fale dźwiękowe o częstotliwości
< 16 Hz,
generowane przez źródła o wielkich rozmiarach (np. podłużne fale
sejsmiczne)
ź
v
c
ź
v
c