Arkusz I 1/2
PROBABILISTYKA
Prawdopodobieństwo klasyczne, warunkowe, całkowite,
niezależność zdarzeń
1) Rzucamy dwiema kostkami do gry. Opisać Ω. Niech A polega na tym, że suma oczek jest
liczbą parzystą, B - co najmniej na jednej kostce wypadnie jedynka.
a) opisać zdarzenia:
A
B
B
A
B
A
B
A
B
A
\
,
\
,
,
,
,
∩
∪
b) obliczyć prawdopodobieństwa otrzymania powyższych zdarzeń.
2) Wiedząc, że zdarzenia A, B są niezależne, oraz P(A)=0,2 ; P(B)=0,5 obliczyć:
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
B
A
A
P
B
A
A
P
B
A
P
B
A
P
B
A
P
B
A
P
∪
∩
∪
∩
/
,
/
,
/
,
\
,
,
3) W urnie A są 4 kule białe i 6 czarnych; w urnie B: 2 białe i 8 czarnych. Z każdej z urn
losujemy po 1 kuli. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) obie kule są czarne
b) jedna z nich jest czarna
c) co najmniej jedna jest czarna
d) co najwyżej jedna jest czarna
4) Na rysunku są fragmenty sieci elektrycznych, gdzie z
i
, i=1,2,.. oznaczają żarówki:
Zakładając, że żarówki przepalają się niezależnie od siebie, oraz że prawdopodobieństwo
przepalenia dla każdej z nich w czasie t godzin jest takie samo i równe p=0,1 obliczyć
prawdopodobieństwo ciągłego przepływu prądu w czasie t godzin dla każdego fragmentu
sieci.
5) Rzucamy monetą aż do otrzymania orła.
a) określić Ω
b) obliczyć prawdopodobieństwo, że gra skończy się przed piątym rzutem.
A
B
C
z
1
z
2
z
1
z
2
z
1
z
2
z
3
z
1
z
2
z
3
D
Arkusz I 2/2
6) Niech
}
{
1,3,6,8
Ω =
. Losujemy jedną liczbę. Niech A polega na wylosowaniu liczby parzystej,
B- nieparzystej, C- podzielnej przez 3. Zbadać niezależność zdarzeń:
a) parami
b) zespołową zdarzeń A, B, C.
7) Na odcinku
0,1
umieszczamy losowo i niezależnie punkty x i y. Niech zdarzenie A polega na
tym, że x>y, B na tym, że x<0,5. Czy zdarzenia A i B są niezależne?
8) Rzucamy trzy razy monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przy pierwszym rzucie
otrzymano reszkę, jeśli wiadomo, że wyrzucono co najmniej dwa orły.
9) Mamy dwie partie jednakowych przedmiotów po 10 i 9 sztuk, przy czym w każdej partii jedna
sztuka jest wadliwa. Losowo wziętą z pierwszej partii sztukę przełożono do drugiej partii.
Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania sztuki wadliwej z drugiej partii.
10) Z trzech niezależnie pracujących elementów urządzenia dwa zawiodły. Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, że zawiodły elementy pierwszy i drugi, jeśli prawdopodobieństwa
awarii elementów pierwszego, drugiego i trzeciego są odpowiednio równe: p
1
=0,2, p
2
=0,3,
p
3
=0,1.
11)Pewna choroba występuje u 0,2% ogółu ludności. Przygotowano test do jej wykrycia. Test
daje wynik pozytywny u 97% chorych i 1% zdrowych. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że
losowo wybrana osoba jest chora, jeśli test tej osoby dał wynik pozytywny,
12) W gimnazjum jest n uczniów, z czego n
k
, k=1,2,3 uczy się k-ty rok. Wylosowano dwóch
uczniów i okazało się, że jeden z nich uczy się dłużej niż drugi. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że uczy się on trzeci rok?
Arkusz II 1/2
PROBABILISTYKA
Zmienna losowa jednowymiarowa, dystrybuanta
1) Sprawdzić, czy funkcja:
1
1
( )
,
1
f n
n N
n n
= −
∈
+
, jest funkcją prawdopodobieństwa zmiennej
losowej X o wartościach ze zbioru N. Jeśli tak, to obliczyć.
(
)
3
≥
X
P
2) Sprawdzić, czy funkcja:
a)
( )
t
e
e
t
F
−
−
=
b)
( )
arctgt
t
F
π
1
2
1
+
=
jest dystrybuantą zmiennej losowej X.
3) Dobrać tak stałą c aby funkcja
( )
>
≤
<
≤
=
2
1
2
0
sin
0
0
π
π
t
dla
t
dla
t
c
t
dla
t
F
była dystrybuantą zmiennej
losowej X:
a) typu ciągłego
b) skokowego
c) innej
d) Obliczyć
3
1
,
2
=
=
c
gdy
X
P
π
4) Rzucamy trzema symetrycznymi monetami. Niech X będzie liczba orłów otrzymanych w tych
rzutach. Wyznaczyć i naszkicować dystrybuantę zmiennej losowej X.
5) Dobrać tak stałą c aby funkcja
( )
,
2
n
c
f n
n N
=
∈
, była funkcją prawdopodobieństwa zmiennej
losowej X o wartościach z N. Obliczyć
(2,5)
x
F
Arkusz II 2/2
6) W urnie są 4 kule białe i 6 czarnych. Losujemy:
a) bez zwrotu
b) ze zwrotem
dwie kule. Niech X będzie liczba kul białych wśród wylosowanych. Wyznaczyć
dystrybuantę zmiennej losowej X.
7) Dla jakiego c funkcja
( )
>
≤
<
≤
=
2
1
2
0
0
0
2
t
dla
t
dla
t
c
t
dla
t
F
jest dystrybuantą zmiennej losowej typu
ciągłego? Wyznaczyć:
a) gęstość zmiennej losowej X
b)
(
)
1
1
≤
<
−
X
P
.
8) Dla jakich a,b funkcja:
( )
F t
a b arctg t
= +
jest dystrybuantą zmiennej losowej X. Wyznaczyć:
a) gęstość zmiennej losowej X
b)
(
)
3
1
<
≤
−
X
P
.
9) Dobrać tak stałą c aby funkcja
( )
<
<
=
x
pozost
dla
x
dla
x
c
x
f
.
0
1
0
była gęstością zmiennej losowej
X. Wyznaczyć dystrybuantę X, obliczyć
1
(
1)
4
P
X
<
<
i zaznaczyć na wykresach gęstość i
dystrybuanty.
10) Zmienna losowa X ma gęstość
( )
>
≤
−
=
1
0
1
1
x
dla
x
dla
x
x
f
. Wyznaczyć
a) dystrybuantę zmiennej losowej X
b)
1
(
2)
2
P
X
− <
<
Arkusz III
PROBABILISTYKA
Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych
1) Sprawdzany przyrząd składa się z trzech elementów. Wyniki sprawdzania poszczególnych
elementów są od siebie niezależne. Prawdopodobieństwo, że element o numerze i, i=1,2,3
nie działa jest równe
0, 2 0,1( 1)
i
p
i
=
+
−
. Niech X będzie liczbą niedziałających elementów.
Obliczyć
2
,
EX D X
i medianę.
2) Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Niech
i
X
będzie liczbą oczek otrzymanych w i-tym rzucie
i=1,2. Wyznaczyć:
a) rozkład zmiennej losowej
1
2
Y
X
X
=
−
b)
EY
i medianę
c)
(
)
P Y
EY
>
3) Przy grze w kręgle został niezbity jeden kręgiel, a graczowi zostały jeszcze 3 rzuty.
Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa liczby X niewykorzystanych rzutów po zbiciu
ostatniego kręgla, jeśli prawdopodobieństwo zbicia w jednym rzucie jest p=0,6. Obliczyć
medianę oraz trzeci moment zwykły zmiennej losowej X.
4) Zmienna losowa X ma gęstość prawdopodobieństwa:
( )
( )
>
≤
−
=
1
0
1
1
4
3
2
x
dla
x
dla
x
x
f
Obliczyć:
a)
(
)
P X
EX
<
b)
0,5
x
c)
2
D X
5) Zmienna losowa X ma dystrybuantę:
( )
>
≤
<
−
≤
=
2
1
2
1
1
1
2
1
0
t
dla
t
dla
t
t
dla
t
F
X
Wyznaczyć: wartość przeciętną, drugi moment zwykły i wariancję zmiennej losowej X.
6) Zmienna losowa X ma gęstość:
( )
<
≥
=
1
0
1
2
3
4
x
dla
x
dla
x
x
f
Wyznaczyć wartość przeciętną, wariancję, medianę zmiennej losowej X.
Arkusz IV 1/2
PROBABILISTYKA
Wybrane rozkłady skokowe i ciągłe
1) Dobrać tak stałą c, aby funkcja
1
( )
,
3
n
c
f n
n N
−
=
∈
, była funkcją prawdopodobieństwa
zmiennej losowej X o wartościach ze zbioru N. Podać interpretację zmiennej losowej X.
Obliczyć EX i medianę.
2) Linia automatyczna przy normalnym ustawieniu może wypuścić przedmiot wykonany
wadliwie z prawdopodobieństwem 0,1. Obliczyć przeciętną liczbę przedmiotów
wypuszczonych między dwoma kolejnymi wadliwymi.
3) Rzucamy 5 razy dwiema monetami. Niech X będzie liczbą rzutów, w których otrzymano na
obu monetach orły. Wyznaczyć:
a) rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
b)
(2,5)
x
F
c)
(
)
2
≥
X
P
d)
2
,
EX D X
.
4) W magazynie znajduje się towar pochodzący z produkcji dwóch zakładów: 40% z A i
w 60% z B. Wadliwość produkcji w tych zakładach wynosi odpowiednio: 1% i 2%.
Wylosowano do kontroli 3 szt. (ze zwrotem). Niech X będzie liczbą sztuk wadliwych wśród
wylosowanych. Podać:
a) rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
b)
2
,
EX D X
c) prawdopodobieństwo, że co najmniej jedna sztuka będzie wadliwa.
5) Wiadomo, że prawdopodobieństwo wyprodukowania wiertła o zwiększonej kruchości jest
0,02. Wiertła układa się w pudełka po 100 szt. Obliczyć:
a) prawdopodobieństwo, że w pudełku nie będzie braku
b) przeciętną liczbę braków w pudełku
6) Urządzenie składa się z 750 lamp. Prawdopodobieństwo awarii lampy w ciągu jednej doby
pracy urządzenia jest p=0,004. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu doby pracy
urządzenia, ulegną awarii co najmniej trzy lampy.
Arkusz IV 2/2
7) Podziałka skali woltomierza jest wycechowana co 0,5V. Wskazania woltomierza zaokrągla się
do najbliższego punktu podziału. Obliczyć:
a) prawdopodobieństwo tego, że przy odczycie zostanie popełniony błąd przekraczający
0,1V
b) przeciętny błąd popełniony przy odczycie.
8) Czas X bezawaryjnej pracy pewnego urządzenia ma rozkład wykładniczy o
5.
EX
=
Podać:
a) gęstość
b) dystrybuantę
c) medianę zmiennej losowej X
9) Błąd pomiaru odległości od drogowskazu jest zmienną losową X o gęstości.
( )
(
)
−
−
=
8
1
exp
2
2
1
2
x
x
f
π
Obliczyć:
a)
(3)
x
F
b)
(
)
2
0
≤
≤
X
P
c)
(
)
1 4
P X
− <
i zaznaczyć na wykresie gęstości
d)
2
0,5
,
,
EX D X x
10) Zmienna losowa X ma rozkład
−
2
1
;
1
N
. Obliczyć
a)
(
)
0
P X
>
b)
(
)
2
1
P
X
− <
<
c)
>
2
1
X
P
d)
(
)
2
3
E
X
−
+
e)
(
)
2
2
3
D
X
−
+
Arkusz V 1/2
PROBABILISTYKA
Zmienna losowa wielowymiarowa
1) Wektor losowy (X,Y) ma funkcję prawdopodobieństwa:
(
)
,
21
i k
P X
i Y
k
+
=
=
=
dla i=1,2,3 k=1,2.
Obliczyć:
a)
(
)
4
5
,
3
7
,Y
X
F
b)
2
,
EX D X
c)
(
)
1,
2
P X
Y
>
<
d) zbadać niezależność zmiennych: X, Y
2) Rzucamy kostką sześcienną do gry, jeśli otrzymamy 6 oczek, to rzucamy dalej itd. Niech X
będzie sumą uzyskanych oczek, Y – liczbą wykonanych rzutów. Wyznaczyć:
a) rozkład prawdopodobieństwa wektora (X,Y)
b)
( , )
(13, 4)
X Y
F
c)
EY
d)
(
)
20
P X
>
.
3) Wektor (X,Y) ma dystrybuantę:
a)
( )
+
+
=
arctgs
arctgt
s
t
F
π
π
1
2
1
1
2
1
,
b)
( )
>
>
+
−
−
=
−
−
−
−
t,s
pozost.
dla
, s
t
dla
e
e
e
s
t
F
s
t
s
t
0
0
0
1
,
2
2
Zbadać niezależność X, Y. Wyznaczyć gęstość wektora losowego (X,Y).
Obliczyć
2
2
,
,
,
EX EY D X D Y
, o ile istnieją.
Arkusz V 2/2
4) Dobrać tak stałą c aby funkcja:
a)
( )
(
)
≤
≤
≤
≤
+
=
y
x
pozost
dla
1
y
0
1,
x
0
dla
y
x
c
y
x
f
,
.
0
,
2
2
b)
( )
(
)
≤
≤
≤
≤
+
=
y
x,
pozost.
dla
1
y
0
1,
x
0
dla
y
x
c
y
x
f
0
2
,
była gęstością prawdopodobieństwa wektora (X,Y). Zbadać niezależność X, Y. Obliczyć:.
( )
(
)
1
1
,
2
,
3
,
2
1
,
1
,
2
1
>
Y
P
oraz
F
F
F
.
Obliczyć:
(
) (
)
,
E X Y
E X Y
−
⋅
.
5) X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowych rozkładach wykładniczych z
1
λ
=
. Podać gęstość oraz dystrybuantę wektora (X,Y) oraz obliczyć
>
<
2
1
,
1 Y
X
P
.
6) X ma rozkład równomierny w
0, 2
, zaś Y rozkład równomierny w
1,1
−
. Zakładając, że są
to niezależne zmienne losowe podać gęstość i dystrybuantę wektora losowego (X,Y) oraz
obliczyć
(
)
1
P X Y
+ <
Arkusz VI 1/2
PROBABILISTYKA
Korelacja, równanie prostej regresji
1) Wektor losowy (X,Y) ma funkcję prawdopodobieństwa:
y
k
x
i
-1
2
3
-1
0,1
0,2
0,1
1
0,1
c
0,2
Obliczyć:
a) stałą c
b)
(
)
(
)
2
2
3 ,
2
3
E
X
Y
D
X
Y
−
−
c)
,
2 ,3
1
X Y
X Y
oraz
ρ
ρ
−
−
d)
(
)
1
E X Y
= −
2)
Na czterech kartkach napisano liczby: 112, 212, 121, 221. Losujemy 1 kartkę. Niech X będzie
liczba jedynek występujących w wylosowanej liczbie, Y przyjmuje wartość 0, gdy wylosowana
liczba jest parzysta, Y=1 gdy wylosowana liczba jest nieparzysta.
a) czy X,Y są zależne?
b) czy X,Y są skorelowane
c) obliczyć
(
)
2
0
P X
Y
<
=
,
(
)
0
E X Y
=
,
(
)
2
0
D X Y
=
3)
Rzucamy trzema monetami. Niech X będzie liczbą wyrzuconych orłów, Y- liczbą reszek.
a) czy X,Y są skorelowane? (podać
X
ρ
)
b) napisać równanie prostej regresji
4)
Niech
(
)
2
1
P X Y
− = −
=
.
a) podać
,
X Y
ρ
oraz równanie prostej regresji
b) obliczyć
(
)
(
)
2
,
E Y X
D Y X
−
−
Arkusz VI 2/2
5)
Wektor losowy (X,Y) ma gęstość:
A.
( )
≤
≤
≤
≤
+
=
y
x,
pozost.
dla
0
1
y
0
1,
x
0
dla
y
x
y
x
f ,
B.
( )
≤
≤
≥
=
y
x,
pozost.
dla
0
1
y
0
0,
x
dla
e
y
x
f
x
-
,
a) czy X, Y są zależne?
b) czy są skorelowane?
c) obliczyć
=
<
3
1
4
1
Y
X
P
d) dla A napisać równanie prostej regresji zmiennej X względem Y.
6)
Rozważmy układ złożony z dwóch elementów. Czas pracy do chwili uszkodzenia dla
pierwszego z nich oznaczmy X, dla drugiego Y. Zakładając, że X,Y są niezależnymi
zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie wykładniczym z
1
λ
=
, wyznaczyć rozkład
bezawaryjnego czasu pracy układu gdy:
a) elementy są połączone szeregowo
b) elementy są połączone równolegle
c) pierwszy element pracuje do chwili awarii, wtedy zostaje automatycznie zastąpiony
drugim (tzw. rezerwa nieobciążona).
PROBABILISTYKA Arkusz VII
Twierdzenia graniczne
1)
Czy dla niezależnego ciągu zmiennych losowych:
1
2
,
,....,
,....
n
X X
X
o rozkładach:
a)
(
)
N
i
i
X
P
i
n
∈
=
=
,
2
1
b)
(
)
N
n
X
P
n
n
∈
=
±
=
,
2
1
2
zachodzi centralne twierdzenie graniczne?
2)
Niech
1
2
,
,....,
,....
n
X X
X
będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie:
a) wykładniczym
b) geometrycznym z
1
2
p
=
.
Obliczyć
>
∑
=
100
1
200
n
n
X
P
.
3)
Rzucano 420 kostkami sześciennymi. Niech Y będzie sumą uzyskanych oczek. Obliczyć:
(
)
1505
P Y
<
4)
Komputer dodaje 1500 liczb rzeczywistych, z których każdą zaokrągla się do najbliższej
całkowitej, a liczbę: n+0,5 do najbliższej parzystej. Liczby zapisywane są z dokładnością do
1 miejsca po przecinku. Zakładając, że błędy zaokrągleń są niezależne o rozkładzie
równomiernym w (-0,5; 0,5) obliczyć prawdopodobieństwo tego, że błąd w obliczeniu sumy
przekroczy 15.
5)
Na ulicy stoi sprzedawca gazet. Załóżmy, że każdy z mijających go przechodniów kupuje
gazetę z prawdopodobieństwem
1
3
p
=
. Niech X będzie liczbą ludzi mijających sprzedawcę
do chwili, gdy sprzeda on 100 gazet. Obliczyć
(
)
120
P X
<
.
6)
Wadliwość produkowanych elementów jest 5%. Z bieżącej produkcji pobrano losowo 500 szt.
tych elementów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że co najmniej 20 sztuk będzie wadliwych.
7)
Prawdopodobieństwo trafienia celu przy jednym strzale wynosi 0,7. Ile razy należy strzelić,
aby z prawdopodobieństwem większym niż 0,96 można było orzec, że odchylenie częstości
trafienia do celu od prawdopodobieństwa tego zdarzenia będzie mniejsze niż 0,01?