Model odpowiedzi-materiał diagnostyczny 2008-poziom rozszerzony
MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA
POZIOM ROZSZERZONY
Numer
zadania
Etapy rozwiązania zadania
Liczba
punktów
Uwagi dla
egzaminatorów
1.1 Zapisanie warunku
0
12
4
3
2
3
≥
+
−
−
x
x
x
.
1
1.2 Zapisanie lewej strony nierówności w postaci iloczynowej
0
3)
-
2)(x
2)(x
-
(x
>
+
.
1
1.3 Rozwiązanie warunku
)
,
3
2
,
2
∞
<
∪
>
−
∈<
x
.
1
1.4 Zapisanie warunków 5-x>0 i
1
5
≠
− x
.
1
1.5 Zapisanie
warunku,
że liczba logarytmowana jest dodatnia.
1
1.6
Zastosowanie wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczenie dla
jakich argumentów x suma wyrazów tego ciągu jest dodatnia x>2.
1
1
1.7 Wyznaczenie dziedziny funkcji
}
4
{
\
)
5
,
3
∈<
x
.
1
2.1
Zauważenie, że suma dwóch nieujemnych składników może być zerem tylko
wtedy, gdy każdy składnik jest zerem
0
)
2
1
2
(
2
=
−
x
i
0
1
3
2
2
=
+
− x
x
.
1
2.2 Rozwiązanie równania
0
1
3
2
2
=
+
− x
x
x=1 lub x=0,5.
1
2.3 Rozwiązanie równania
0
)
2
1
2
(
2
=
−
x
x=0,5.
1
2
2.4 Podanie odpowiedzi do zadania
5
,
0
=
x
.
1
3.1 Zapisanie warunku
0
≥
∆
i przekształcenie go do postaci
0
9
8
4
2
≥
+
− p
p
1
Uznajemy warunek
0
>
∆
.
3.2 Rozwiązanie nierówności 0
9
8
4
2
≥
+
− p
p
,
R
p
∈
1
3.3
Skorzystanie ze wzorów Viete’a i wyznaczenie iloczynu miejsc zerowych funkcji
f:
p
p
x
x
2
2
2
1
+
−
=
⋅
1
3.4 Rozwiązanie równania
0
)
2
)(
2
3
(
=
−
−
p
x
x
: x’=6 lub x’’=0,5p.
1
3.5
Rozpatrzenie przypadku, że x’<x’’, rozważenie warunku
6
2
2
=
+
−
p
p
i zauważenie, że
∅
∈
p
.
1
3
3.6
Rozpatrzenie przypadku, że x’>x’’, zapisanie warunku
2
2
2
p
p
p
=
+
−
i rozwiązanie warunku
2
2
2
p
p
p
=
+
−
, czyli p=0 lub p=1,5.
1
Model odpowiedzi-materiał diagnostyczny 2008-poziom rozszerzony
4.1
Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego do zapisania warunku
α
α
cos
3
2
3
2
sin
=
.
1
4.2
Wykorzystanie wzoru na kwadrat sumy
α
α
α
α
α
α
2
2
2
cos
cos
sin
2
sin
)
cos
(sin
+
+
=
+
..
1
4.3 Wykorzystanie wzoru jedynkowego:
α
α
α
α
cos
sin
2
1
)
cos
(sin
2
+
=
+
.
1
4
4.4 Obliczenie
α
α
cos
sin
+
:
3
17
cos
sin
=
+
α
α
.
1
5.1
Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego do zapisania
zależności.
6
1
1
−
=
− a
q
a
.
1
5.2
Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego do zapisania zależności:
18
1
3
1
−
=
− a
q
a
.
1
5.3
Wykorzystanie wzoru skróconego mnożenia do zapisania zależności
18
)
1
)(
1
(
2
1
−
=
+
+
−
q
q
q
a
.
1
5.4
Doprowadzenie równania do postaci
0
2
2
=
−
+ q
q
.
1
5.5
Rozwiązanie równania
0
2
2
=
−
+ q
q
:
2
lub
1
−
=
=
q
q
Zauważenie, że
1
=
q
nie spełnia warunków zadania.
1
5
5.6
Obliczenie
1
a
:
2
1
=
a
Obliczenie a
3
:
a
3
=8.
1
6.1
Zapisanie nierówności między wysokościami i bokami dowolnego trójkąta
ostrokątnego lub rozwartokątnego h
a
<b, h
b
<c, h
c
<a,
gdzie a,b,c -boki trójkąta, a h
a
, h
b
, h
c
wysokości opuszczone odpowiednio proste
zawierające boki a,b,c.
1
6.2 Wykazanie,
że h
a
+h
b
+h
c
<a+b+c.
1
6
6.3
Rozpatrzenie przypadku trójkąta prostokątnego:
a
h
a
= ,
b
h
b
= i
c
h
c
<
stąd h
a
+h
b
+h
c
<a+b+c (c oznacza przeciwprostokątną).
1
Model odpowiedzi-materiał diagnostyczny 2008-poziom rozszerzony
7.1 Wykonanie rysunku pomocniczego, wprowadzenie oznaczeń, np.
a-dłuższa podstawa trapezu, b-krótsza podstawa trapezu, c-długość dłuższego
ramienia r-promień okręgu wpisanego, h-wysokość trapezu
i zauważenie, że h=2r i zapisanie wzoru na pole trapezu
5
2
)
(
=
⋅
+
=
h
b
a
P
1
7.2
Wykorzystanie własności czworokąta opisanego na okręgu do zapisania
zależności a+b=2r+c.
1
7.3 Wykorzystanie obwodu trapezu do zapisania zależności a+b+2r+c=10. 1
7.4 Obliczenie sumy długości podstaw a+b=5. 1
7
7.5 Obliczenie
długości promienia okręgu: r=1. 1
8.1
Sporządzenie rysunku pomocniczego z narysowanymi obydwoma odcinkami
jednokładnymi i środkami jednokładności.
1
8.2
Wyznaczenie równania prostej S
1
B
(lub S
1
A
).
2
9
2
1
:
.
1
+
= x
y
B
S
pr
3
:
.
1
−
−
= x
y
A
S
pr
.
1
8.3
Wyznaczenie równania prostej S
2
A (lub S
2
B).
3
:
.
2
=
x
B
S
pr
1
:
.
2
−
= x
y
A
S
pr
.
1
8.4
Obliczenie współrzędnych punktu B’, będącego obrazem B w jednokładności (lub
A’):
(
)
6
,
3
−
lub
(
)
10
,
11
.
1
8
8.5 Obliczenie skali jednokładności
2
−
=
k
.
1
9.1 Obliczenie, na ile sposobów można wybrać trzy liczby spośród 9
3
9
.
1
Przyznajemy punkt, gdy zdający
zastosował poprawną metodę,
nawet w sytuacji, gdy popełni
błąd rachunkowy.
9.2
Zauważenie, że wśród danych liczb są 4 liczby parzyste i 5 nieparzystych.
1
9.3 Wyznaczenie ilości zdarzeń, w których otrzymamy nieparzysty iloczyn
3
5
.
1
9.4
Wyznaczenie ilości zdarzeń, w których otrzymamy parzysty iloczyn
−
3
5
3
9
.
1
Jeżeli zdający zapisze ilość
zdarzeń, w których otrzymamy
parzysty iloczyn w sposób
+
⋅
+
⋅
3
4
1
5
2
4
2
5
1
4
otrzymuje punkty za czynności
9.3 i 9.4.
9
9.5 Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia, że iloczyn liczb jest parzysty
42
37
.
1
Prawidłowość obliczeń
oceniamy w punkcie 5.5.
Model odpowiedzi-materiał diagnostyczny 2008-poziom rozszerzony
10.1
Zapisanie założeń 0<r<2, 0<h<4,
gdzie r - promień podstawy walca, h - wysokość walca
i zapisanie wzoru na pole powierzchni bocznej walca
h
r
P
⋅
⋅
=
π
2
.
1
10.2
Wykorzystanie podobieństwa trójkątów do zapisanie zależności między
wysokością i promieniem walca
4
2
2
=
−
h
r
.
1
10.3
Przedstawienie pola powierzchni bocznej walca jako funkcji jednej zmiennej r
lub h,
)
2
(
4
f(r)
P
r
r
−
⋅
⋅
=
=
π
lub
)
4
(
)
(
P
h
h
h
f
−
⋅
⋅
=
=
π
.
1
10.4
Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli
2
1
=
=
h
r
, sprawdzenie, czy spełnione są warunki z punktu 10.1.
1
10
10.5
Obliczenie objętości walca
π
2
=
V
.
1
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.