Algebra z geometri
ą
2013-01-12
1
MiNI PW
ALGEBRA
1
UZUPEŁNIENIE i ROZSZERZENIE
Ogólna postać powierzchni walcowych
i stożkowych w przestrzeni
R
3
.
Powierzchnie walcowe i sto
ż
kowe
Powierzchnie walcowe i sto
ż
kowe
MiNI PW
ALGEBRA
2
Niech
L
będzie pewną krzywą płaską (leżącą na
pewnej płaszczyźnie) w przestrzeni
R
3
.
Definicja
Powierzchnią walcową nazywamy powierzchnię
utworzoną przez rodzinę prostych równoległych do
danej prostej i przechodzących przez punkty
krzywej
L
.
Krzywą
L
nazywamy kierownicą.
Każdą prostą tej rodziny tworzącą powierzchni
walcowej.
Powierzchnie walcowe i sto
ż
kowe
Powierzchnie walcowe i sto
ż
kowe
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
2
MiNI PW
ALGEBRA
3
N
iech
L
będzie pewną krzywą płaską (leżącą na pewnej
płaszczyźnie) w przestrzeni
R
3
, zaś
W
ustalonym punktem tej
przestrzeni (
W
∉
L
).
Definicja
Powierzchnią stożkową nazywamy zbiór punktów
współliniowych z punktami
W
i
P
, gdzie
P
należy do
krzywej
L
(tzn. powierzchnię utworzoną przez rodzinę
prostych przechodzących przez punkt
W
i punkty krzywej
L)
.
Krzywą
L
nazywamy kierownicą.
Punkt
W
nazywamy wierzchołkiem stożka.
Każdą prostą tej rodziny tworzącą powierzchni stożkowej.
Powierzchnie walcowe i sto
ż
kowe
Powierzchnie walcowe i sto
ż
kowe
MiNI PW
ALGEBRA
4
Jeżeli krzywa
L
leżąca w pewnej płaszczyźnie ma przedstawienie parametryczne
L
:
=
=
=
)
(
)
(
)
(
3
2
1
t
f
z
t
f
y
t
f
x
,
t
∈
[
t
0
, t
1
]
zaś prosta
l jest równoległa do wektora
[
]
z
y
x
v
v
v
v
,
,
=
r
,
to równanie powierzchni walcowej ma postać
]
[
gdzie
)
(
)
(
)
(
1
0
3
2
1
t
,
t
t
v
t
f
z
v
t
f
y
v
t
f
x
z
y
x
∈
−
=
−
=
−
Powierzchnie walcowe
Powierzchnie walcowe
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
3
MiNI PW
ALGEBRA
5
Równanie powierzchni walcowej w postaci parametrycznej
+
=
∈
∈
+
=
+
=
s
v
t
f
z
R
s
t
,
t
t
s
v
t
f
y
s
v
t
f
x
z
y
x
)
(
,
]
[
)
(
)
(
3
1
0
2
1
]
,
,
[
z
y
x
v
v
v
kierownica
K
tworz
ą
ca
Powierzchnie walcowe
Powierzchnie walcowe
MiNI PW
ALGEBRA
6
Jeżeli krzywa
L
ma przedstawienie parametryczne
L
:
=
=
=
)
(
)
(
)
(
3
2
1
t
f
z
t
f
y
t
f
x
,
t
∈
[
t
0
, t
1
]
i
W(x
w
, y
w
, z
w
)
jest ustalonym punktem przestrzeni,
to równanie powierzchni stożkowej ma postać
]
[
gdzie
)
(
)
(
)
(
1
0
3
2
1
t
,
t
t
t
f
z
z
z
t
f
y
y
y
t
f
x
x
x
w
w
w
w
w
w
∈
−
−
=
−
−
=
−
−
Powierzchnie sto
ż
kowe
Powierzchnie sto
ż
kowe
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
4
MiNI PW
ALGEBRA
7
Równanie powierzchni stożkowej w postaci parametrycznej
−
+
=
∈
∈
−
+
=
−
+
=
s
t
f
z
z
z
R
s
t
,
t
t
s
t
f
y
y
y
s
t
f
x
x
x
))
(
(
,
]
[
))
(
(
))
(
(
3
0
0
1
0
2
0
0
1
0
0
kierownica
K
tworz
ą
ca
)]
(
),
(
),
(
[
3
0
2
0
1
0
t
f
z
t
f
y
t
f
x
−
−
−
wierzchołek
W
Powierzchnie sto
ż
kowe
Powierzchnie sto
ż
kowe
Sto
ż
ek
Sto
ż
ek
Przekroje sto
ż
ka płaszczyznami prostopadłymi do osi Oz s
ą
elipsami
(z wyj
ą
tkiem płaszczyzny przechodz
ą
cej przez pocz
ą
tek układu
współrz
ę
dnych – wówczas cz
ęś
ci
ą
wspóln
ą
jest punkt).
Przekroje sto
ż
ka płaszczyznami prostopadłymi do osi Ox i Oy s
ą
hiperbolami, a gdy zawieraj
ą
o
ś
Oz par
ą
prostych, b
ę
d
ą
cych tworz
ą
cymi
sto
ż
ka.
Przekroje sto
ż
ka płaszczyznami równoległymi do tworz
ą
cej s
ą
parabolami.
Podane równanie (oraz rysunek) prezentuje powierzchni
ę
otwart
ą
wzdłu
ż
osi Oz.
Aby uzyska
ć
równanie sto
ż
ka otwartego wzdłu
ż
innej osi nale
ż
y
odpowiednio zmodyfikowa
ć
równanie. Zmienna przeniesiona na drug
ą
stron
ę
równania, dla zachowania tego samego znaku współczynników,
wskazuje o
ś
wzdłu
ż
której sto
ż
ek jest otwarty.
Przykładowo - sto
ż
ek otwarty wzdłu
ż
osi Ox ma równanie:
ALGEBRA
8
2
2
2
2
2
2
a
x
c
z
b
y
=
+
MiNI PW
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
5
MiNI PW
ALGEBRA
9
Definicja (bardzo ogólna)
Powierzchni
ą
stopnia drugiego (kwadryk
ą
) nazywamy zbiór punktów
przestrzeni trójwymiarowej, spełniaj
ą
cych równanie
0
2
2
2
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
K
Iz
Hy
Gx
Fyz
Exz
Dxy
Cz
By
Ax
gdzie
A, B, …, K
s
ą
stałymi i przynajmniej jedna ze stałych
A, B, C, D, E, F
jest ró
ż
na od zera.
Równanie to nazywamy
ogólnym równaniem powierzchni drugiego
stopnia
.
Mo
ż
na wykaza
ć
,
ż
e istnieje takie przekształcenie płaszczyzny (zło
ż
enie
obrotu i przesuni
ę
cia) w wyniku którego otrzymamy tzw. posta
ć
kanoniczn
ą
równania powierzchni:
0
~
~
~
~
2
2
2
=
+
+
+
K
z
C
y
B
x
A
lub
0
~
~
~
~
2
2
=
+
+
+
K
z
C
y
B
x
A
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego
MiNI PW
ALGEBRA
10
Spo
ś
ród 17 ró
ż
nych powierzchni stopnia drugiego, 9 to kwadryki wła
ś
ciwe.
Pozostałe to kwadryki zdegenerowane (niewła
ś
ciwe).
Kwadryki wła
ś
ciwe to:
−
elipsoida (w tym sfera),
−
hiperboloida jednopowłokowa,
−
hiperboloida dwupowłokowa,
−
sto
ż
ek,
−
paraboloida eliptyczna,
−
paraboloida hiperboliczna,
−
walec eliptyczny,
−
walec hiperboliczny,
−
walec paraboliczny,
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
6
MiNI PW
ALGEBRA
11
Przykłady kwadryk niewła
ś
ciwych:
−
Równanie
x
2
+
y
2
+
z
2
= 0
przedstawia punkt
O
(0,0,0),
−
Równanie
x
2
+
y
2
+
z
2
= −1
przedstawia zbiór pusty,
−
Równanie
x
2
+
y
2
= 0
przedstawia prost
ą (
o
ś
Oz
),
−
Równanie
x
2
−
y
2
= 0
przedstawia sum
ę
dwóch płaszczyzn
o równaniach
:
x
−
y
= 0
i
x
+
y
=0.
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego
MiNI PW
ALGEBRA
12
Zmienna przed którą stoi znak minus wskazuje oś wzdłuż której
hiperboloida jest „otwarta” (oś symetrii dla hiperboloidy obrotowej).
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
7
MiNI PW
ALGEBRA
13
Hiperboloida dwupowłokowa
2
2
2
2
2
2
1
z
x
y
c
a
b
−
−
=
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego
MiNI PW
ALGEBRA
14
Przekroje hiperboloidy płaszczyznami prostopadłymi do osi
Oz
są
elipsami.
Przekroje hiperboloidy płaszczyznami prostopadłymi do osi
Ox i
Oy
są hiperbolami.
Szczególnym przypadkiem hiperboloidy dwupowłokowej jest
hiperboloida obrotowa, powstała przez obrót hiperboli wokół osi
rzeczywistej.
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego