Materiały do ćwiczeń z przedmiotu Prognozowanie w turystyce  

Opracowanie: Katarzyna Frodyma 

Trend liniowy 

- 1 - 

Teoria  oraz  wzory  z  podręcznika:  „Prognozowanie  ekonomiczne  –  Teoria,  przykłady,  zadania”  – 
A. Zeliaś, B. Pawełek, S. Wanat; PWN, Warszawa 2003. 
Rozdział 3.3. wzory (3.10) – (3.98) oraz przykład 3.1. 
 

TREND LINIOWY 

 
Zadanie: Tabela przedstawia dane dotyczące liczby samochodów osobowych zarejestrowanych na 1000 
mieszkańców w Polsce w latach 2000 – 2011 : 

rok 

2007  2008  2009  2010  2011 

t

y

 

383 

422 

432 

451 

474 

1.  Oszacuj parametry liniowej funkcji trendu.  
2.  Dokonaj  oceny  zgodności  danych  empirycznych  z  danymi  wynikającymi  z  oszacowanej  funkcji  trendu  na 

podstawie  ocen  parametrów  struktury  stochastycznej,  tj.  odchylenia  standardowego  składnika  resztowego, 
współczynnika zmienności resztowej, współczynnika zbieżności i współczynnika determinacji liniowej. 

3.  Wyznacz prognozy punktowe na 2012 i 2013 rok.  
4.  Sprawdź dopuszczalność prognoz punktowych miernikami  ex  ante. 
 
Rozwiązanie: 

Rok 

t 

t

y  

 

2007 

1 

383 

 

2008 

2 

422 

 

2009 

3 

432 

 

2010 

4 

451 

 

2011 

5 

474 

 



 

 

 

 

Ad. 1. Szacowana funkcja trendu jest funkcją liniową postaci: 

t

t

t

y













1

0

, 

Estymatory parametrów: 

 





 







































t

a

y

a

t

t

y

y

t

t

a

o

n

t

n

t

t

1

1

2

1

1

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Oszacowana funkcja trendu ma postać: ................................................................................................... 
 
Interpretacja 

1

a :  W  latach  2007-2011  liczba  samochodów  osobowych  zarejestrowanych  na  1000 

mieszkańców w Polsce wzrastała/malała przeciętnie o ................. aut.  

 

(niepotrzebne 

skreślić)  

 
Interpretacja 

0

a : W 2006 r. liczba samochodów osobowych zarejestrowanych na 1000 mieszkańców w Polsce 

wynosiła teoretycznie ................. aut. 

Materiały do ćwiczeń z przedmiotu Prognozowanie w turystyce  

Opracowanie: Katarzyna Frodyma 

Trend liniowy 

- 2 - 

Ad. 2.  Weryfikacja modelu  



  Wariancja resztowa: 















n

t

t

t

e

y

y

n

s

1

2

2

ˆ

2

1

 

 
 



  Odchylenie standardowe składnika resztowego: 

2

e

e

s

s



 = 

 

Interpretacja  S

e

:  Przeciętna  różnica  między  zaobserwowanymi  wielkościami  zmiennej  (liczbą  samochodów 

osobowych  zarejestrowanych  na  1000  mieszkańców  w  Polsce  w  latach  2007-2011),  a  teoretycznymi 

(obliczonymi na podstawie oszacowanego modelu trendu liniowego) wynosi ok. ....... aut. 



 

Współczynnik zmienności resztowej: 

y

s

V

e

e



 

Interpretacja  V

e

:  Przeciętna  różnica  między  zaobserwowanymi  wielkościami  zmiennej  (liczbą  samochodów 

osobowych  zarejestrowanych  na  1000  mieszkańców  w  Polsce  w  latach  2007-2011),  a  teoretycznymi 

(obliczonymi  na podstawie  oszacowanego  modelu  trendu  liniowego)  stanowi  ok.  ...........  %  średniej  wielkości 

zmiennej w badanym okresie.  



 

Współczynnik zbieżności: 























n

t

t

n

t

t

t

y

y

y

y

1

2

1

2

2

ˆ



 

 

Interpretacja 



2

: Zmienność liczby samochodów osobowych zarejestrowanych na 1000 mieszkańców w Polsce 

nie została wyjaśniona przez model w ok. …..... % 



 

Współczynnik determinacji liniowej: 























n

t

t

n

t

t

t

y

y

y

y

R

1

2

1

2

2

ˆ

   

2

2

1







R

= 

 

Interpretacja R

2

: 

 

 

Materiały do ćwiczeń z przedmiotu Prognozowanie w turystyce  

Opracowanie: Katarzyna Frodyma 

Trend liniowy 

- 3 - 

Ad. 3. Prognoza punktowa   

T

a

a

y

P

T

1

0





 

- 

prognoza na 2012 r.: 



P

y

6

  

 

Interpretacja:  Prognoza  liczby  samochodów  osobowych  zarejestrowanych  na  1000  mieszkańców  w  Polsce 

na 2012 r. wynosi ... aut. 

- 

prognoza na 2013 r.: 



P

y

7

  

Interpretacja: 

 

 

Ad. 4. Mierniki ex ante  



  Ocena ex ante średniego błędu predykcji: 





 







































n

t

e

D

t

t

t

T

n

s

s

T

1

2

2

2

1

1

  

- 

dla prognozy na 2012 r : 



6

D

s

  

 

Interpretacja  S

D6

:  Prognozowa  liczba  samochodów  osobowych  zarejestrowanych  na  1000  mieszkańców 

w Polsce na 2012 r. może się różnić od wartości rzeczywistej przeciętnie o... aut. 

- 

dla prognozy na 2013 r : 



7

D

s

 

 

Interpretacja S

D7

: 

 

 



  Ocena ex ante względnego błędu predykcji: 

100





P

T

D

D

y

s

V

T

T

 

- 

dla prognozy na 2012 r : 

100

6

6

6





P

D

D

y

s

V

   

Interpretacja  V

D6

:  Oczekiwany  błąd  prognozy  samochodów  osobowych  zarejestrowanych  na  1000 

mieszkańców w Polsce na 2012 r. wynosi  …... aut 

- 

dla prognozy na 2013 r : 



7

D

V

 

 

 

 

Interpretacja V

D7

: