1
Odpowiedzi i schematy oceniania
Arkusz 7
Zadania zamknięte
Numer
zadania
Poprawna
odpowiedź
Wskazówki do rozwiązania zadania
1.
A.
6
2
3
9
1
27
−
=
⇒
−
=
⋅
−
=
W
W
, zatem wartość wyraŜenia została
zmniejszona o 3 .
2.
B.
n
x
2
1
+
=
. Tylko liczby
1 i 2 spełniają warunki zadania, dla
większych liczb naturalnych drugi składnik sumy jest ułamkiem
właściwym.
3.
A.
Np.
6
3
4
,
3
2
=
+
⇒
+
=
−
=
y
x
y
x
.
4.
C.
W podanym zbiorze wraz ze wzrostem argumentów maleje wartość
funkcji.
5.
D.
2
3
3
2
3
0
3
3
2
3
3
+
=
⇒
=
+
−
⋅
y
y
6.
B.
Skorzystaj z definicji wartości bezwzględnej i pamiętaj, Ŝe
0
0
−
=
.
7.
D.
3
0
3
3
3
≤
⇒
≤
−
⇒
−
=
−
x
x
x
x
8.
D.
(
) (
)
(
)
(
)
0
3
4
0
3
4
3
12
4
3
2
2
2
3
=
−
+
⇒
=
−
+
−
⇒
=
+
−
a
a
a
a
a
a
a
a
,
zatem
3
=
a
.
9.
A.
Skorzystaj z zasady rysowania funkcji
)
(x
f
y
−
=
.
10.
C.
1
7
+
=
n
a
n
, zatem
43
6
=
a
11.
C.
5
2
2
32
2
<
⇒
<
n
n
, więc liczby naturalne dodatnie spełniające tę
nierówność to
4
,
3
,
2
,
1
.
12.
B.
Gdy zwiększamy
n
, ułamek
n
1
się zmniejsza.
13.
B.
KaŜdy punkt symetralnej odcinka jest jednakowo odległy od końców
tego odcinka.
14.
D.
2
1
2
1
2
1
r
r
S
S
r
r
+
<
<
−
, więc okręgi przecinają się.
2
15.
C.
140
10
180
10
−
−
=
∠
⇒
=
∠
CDA
CAO
30
=
⇒ CDA
16.
D.
x
x 2
,
– boki prostokąta, d – przekątna prostokąta,
5
5
2
cos
5
2
cos
5
=
⇒
=
⇒
=
α
α
x
x
x
d
.
17.
C.
Nierówność przekształcamy do postaci
(
) (
)
0
3
1
2
2
≤
+
+
−
y
x
, zatem
spełnia ją jedynie punkt
(
)
3
,
1
−
=
P
.
18.
A.
a
– krawędź sześcianu, d – przekątna sześcianu,
więc
6
6
6
3
=
⇒
=
a
a
2
3
18
3
=
⇒
=
⇒
=
⇒
d
d
a
d
.
19.
C.
x
x 2
,
3
– odpowiednio ramię i podstawa trójkąta będącego
przekrojem,
x
r
=
, zatem
3
1
3
sin
=
=
x
x
α
.
20.
D.
16
11
)
(
11
,
16
=
⇒
=
=
Ω
=
=
A
P
A
21.
B.
25
,
4
8
6
5
5
4
4
4
3
3
=
+
+
+
+
+
+
+
=
−
x
Zadania otwarte
Numer
zadania
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
Liczba
punktów
Wyznaczenie pierwiastków trójmianu:
2
1
,
4
2
1
=
−
=
x
x
.
1
22.
RozłoŜenie wielomianu na czynniki:
(
)
−
+
=
2
1
4
2
)
(
x
x
x
W
.
1
Wyznaczenie długości wysokości:
5
4
=
AB
.
1
23
Wyznaczenie długości boku trójkąta:
3
15
8
=
a
.
1
Zapisanie liczby pod pierwiastkiem w postaci:
25
log
2
2
=
a
.
1
24.
Wykorzystanie własności logarytmu do wykazania tezy zadania:
5
25
=
=
a
.
1
3
Wyznaczenie dziedziny równania:
{ }
2
\
R
D
=
.
1
25.
Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi:
D
x
∉
=
2
,
zatem równanie sprzeczne.
1
Wyznaczenie sumy pól trójkątów
ab
P
BCP
APD
2
1
:
,
=
, gdzie
b
a,
są bokami prostokąta.
1
26.
Wyznaczenie sumy pól trójkątów
ba
P
DCP
APB
2
1
:
,
=
, co
wykazuje tezę zadania.
1
Zapisanie równania wynikającego z treści zadania:
1
1
=
+
x
x
.
1
27.
Wykazanie sprzeczności równania:
0
,
0
1
2
<
∆
=
+
−
x
x
.
1
Wprowadzenie oznaczeń:
β
α
,
,
, h
a
– odpowiednio krawędź
podstawy, wysokość ostrosłupa, kąt nachylenia ściany bocznej
do płaszczyzny podstawy, kąt nachylenia krawędzi bocznej do
płaszczyzny podstawy oraz zapisanie proporcji wynikającej z
definicji tangensa kąta
α
:
3
2
2
=
a
h
.
1
28.
Obliczenie tangensa kąta
3
2
tg
:
=
β
β
.
1
Wyznaczenie równania prostej k prostopadłej do prostej l
przechodzącej przez punkt
4
3
1
:
+
−
=
x
y
A
.
2 ( w tym
1 punkt za
współczynnik
kierunkowy)
Wyznaczenie współrzędnych punku przecięcia się prostych
=
2
7
,
2
3
:
,
P
k
l
.
2 (1 punkt za
zapisanie
układu i 1 za
rozwiązanie)
29.
Wyznaczenie współrzędnych punktu
(
)
5
,
3
:
−
=
B
B
.
1
Zapisanie układu równań:
(
) (
)
=
+
+
+
=
+
+
+
+
+
185
2
42
5
3
2
1
2
1
1
1
1
r
a
r
a
r
a
r
a
r
a
.
2 (po 1 punkcie
za kaŜde
równanie)
30.
Przekształcenie układu do równania kwadratowego:
1
4
0
207
84
5
2
=
+
−
r
r
.
Rozwiązanie równania:
8
,
13
,
3
2
1
=
=
r
r
.
1
Wyznaczenie pierwszego wyrazu i zapisanie odpowiedzi:
∨
=
=
3
5
1
r
a
=
−
=
8
,
13
4
,
27
1
r
a
.
1
Wyznaczenie krawędzi podstawy graniastosłupa:
12
=
a
.
1
Wyznaczenie wysokości graniastosłupa:
4
=
h
.
1
Wyznaczenie objętości graniastosłupa:
3
144
=
V
.
1
Wyznaczenie przekątnej ściany bocznej:
10
4
=
d
.
1
31.
Wyznaczenie cosinusa kąta między przekątną ściany bocznej i
krawędzią podstawy:
10
10
3
cos
=
α
.
1