Całka krzywoliniowa
DEFINICJA
KRZYW K W PRZESTRZENI
m
nazywa si wykres ci głej funkcji wektorowej
[[[[ ]]]]
(((( ))))
m
r : ,
t
r t
α β ∋ →
∈
∋ →
∈
∋ →
∈
∋ →
∈
Warto ci funkcji
r traktuje si jak wektory wodz ce punktów krzywej wzgl dem pocz tku
układu współrz dnych.
Równanie
(((( ))))
r r t
====
nazywa si
RÓWNANIEM PARAMETRYCZNYM KRZYWEJ K
W POSTACI WEKTOROWEJ.
Funkcj
r nazywa si
PARAMETRYZACJ KRZYWEJ K.
DEFINICJA
Krzyw
K nazywa si
ŁUKIEM REGULARNYM, gdy
(i) nie ma punktów wielokrotnych, tzn.
[ ]
( ) ( )
1
2
1
2
1
2
t ,t
,
t
t
r t
r t
∀
∈ α β
≠
≠
(ii) funkcja
r jest kl.
1
C w przedziale
[[[[ ]]]]
,
α β
(iii)
[[[[ ]]]]
(((( ))))
0
dr
t
,
t
dt
α β
∀ ∈
≠
∀ ∈
≠
∀ ∈
≠
∀ ∈
≠
UWAGA
Je eli krzywa
K jest łukiem regularnym, to jej długo
(((( ))))
dr
d
t dt
dt
β
α
====
DEFINICJA
Niech
K b dzie łukiem regularnym w
((((
))))
2 3
m
m
,
====
o równaniu
(((( ))))
[[[[ ]]]]
r r t , t
,
α β
=
∈
=
∈
=
∈
=
∈
.
Niech
P b dzie podziałem przedziału
[[[[ ]]]]
,
α β na n cz ci
((((
))))
n ∈
∈
∈
∈
0
1
n
P :
t
t
... t
α
β
= < < < =
= < < < =
= < < < =
= < < < =
Niech
(((( ))))
{{{{
}}}}
1
1
k
k
k
k
P : max t : t
t
t , k
,..,n
δ
∆
∆
−−−−
=
= −
=
=
= −
=
=
= −
=
=
= −
=
b dzie rednic podziału
P oraz
(((( ))))
0
n
lim P
δ
→∞
→∞
→∞
→∞
====
Niech
1
1
k
k
k
t ,t , k
,...,n
ξ
−−−−
∈
=
∈
=
∈
=
∈
=
b dzie punktem po rednim.
Punktom podziału
0 1
k
t , k
, ,...,n
====
odpowiadaj na krzywej
K punkty
0 1
k
A , k
, ,...,n
====
o wektorach wodz cych
(((( ))))
0 1
k
k
r t
OA , k
, ,...,n
=
=
=
=
=
=
=
=
.
Niech
(((( ))))
1
k
k
t
k
t
dr
l
t dt
dt
∆
−−−−
====
oznacza długo łuku
1
1
k
k
A A , k
,...,n
−−−−
====
Niech
(((( ))))
1
k
k
k
B , OB
r
, k
,...,n
ξ
=
=
=
=
=
=
=
=
oznacza punkt po redni łuku
1
k
k
A A
−−−−
CAŁK KRZYWOLINIOW NIEZORIENTOWAN (NIESKIEROWAN ) z funkcji
((((
))))
2 3
m
f :
K
m
,
⊃
→
=
⊃
→
=
⊃
→
=
⊃
→
=
po krzywej
K definiuje si wzorem
(((( ))))
(((( ))))
1
n
k
k
n
k
K
f M dl : lim
f B
l
∆
→∞
→∞
→∞
→∞ ====
====
o ile granica jest wła ciwa i nie zale y od wyboru podziału
P i punktów po rednich
1
k
B , k
,...,n
====
INTERPRETACJA FIZYCZNA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ
NIEZORIENTOWANEJ
(((( ))))
K
m
M dl
ρ
====
Całka krzywoliniowa niezorientowana z funkcji g sto ci
ρ
po krzywej
K jest liczbowo
równa masie
m krzywej K o g sto ci
ρ
TWIERDZENIE
Je eli funkcja
((((
))))
2 3
m
f :
K
m
,
⊃ →
=
⊃ →
=
⊃ →
=
⊃ →
=
jest ci gła na łuku regularnym
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
[[[[ ]]]]
x x t
K : r r t : y y t , t
,
z z t
α β
====
=
=
∈
=
=
∈
=
=
∈
=
=
∈
====
to całka krzywoliniowa niezorientowana z funkcji
f po krzywej K istnieje i zachodzi wzór
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
((((
))))
(((( ))))
((((
))))
(((( ))))
((((
))))
(((( ))))
((((
))))
2
2
2
K
dr
f M dl
f r t
t dt
f x t , y t ,z t
x t
y t
z t
dt
dt
β
β
α
α
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
=
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
TWIERDZENIE
(i) Je eli
f i g s funkcjami całkowalnymi na krzywej K, to dla dowolnych
,
α β ∈
∈
∈
∈
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
K
K
K
f M
g M dl
f M dl
g M dl
α
β
α
β
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
(ii) Je eli
f jest całkowalna na krzywej
K AB
====
i
C jest dowolnym punktem krzywej K, to
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
AB
AC
CB
f M dl
f M dl
f M dl
=
+
=
+
=
+
=
+
UWAGA
(i) Niech krzywa
2
K ⊂
⊂
⊂
⊂
b dzie wykresem funkcji
y = y(x),
[[[[ ]]]]
x
a,b .
∈
∈
∈
∈
Krzywa K
po parametryzacji ma posta :
(((( ))))
[[[[ ]]]]
x x
K :
, x
a,b .
y y x
====
∈
∈
∈
∈
====
Wtedy
((((
))))
(((( ))))
((((
))))
(((( ))))
2
1
b
K
a
f x, y dl
f x, y x
y x
dx
′′′′
=
+
=
+
=
+
=
+
(ii) Długo krzywej
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
[[[[ ]]]]
x x t
K : y y t , t
,
z z t
α β
====
=
∈
=
∈
=
∈
=
∈
====
wyra a si wzorem
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
2
2
2
d
x t
y t
z t
dt
β
α
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
DEFINICJA
Punkt
A krzywej K, któremu odpowiada warto t
,
α
==== nazywa si POCZ TKIEM
KRZYWEJ K, natomiast punkt B, któremu odpowiada t
,
β
==== warto parametru
nazywa si
KO CEM KRZYWEJ K. Krzyw K nazywa si wtedy KRZYW
ZORIENTOWAN OD PUNKTU A DO PUNKTU B.
DEFINICJA
Niech
1
2
r ,r b d dwiema ró nymi parametryzacjami krzywej K
(((( ))))
[[[[ ]]]]
(((( ))))
[[[[ ]]]]
1
1
2
2
K : r r t , t
,
K : r
r u , u
a,b
α β
=
∈
=
∈
=
∈
=
∈
=
∈
=
∈
=
∈
=
∈
Mówimy, e
PARAMETRYZACJE
1
2
r ,r
WYZNACZAJ T SAM ORIENTACJ
KRZYWEJ K, gdy
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
1
2
1
2
r
r a
r
r b
α
β
====
====
Gdy
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
1
2
1
2
r
r b
r
r a
α
β
====
====
to
PARAMETRYZACJE
1
2
r ,r
WYZNACZAJ PRZECIWNE ORIENTACJE
KRZYWEJ K
DEFINICJA
Niech
m
U ⊂
⊂
⊂
⊂
b dzie zbiorem otwartym. Funkcj wektorow
m
F : U
,
→
→
→
→
która ka demu punktowi
x U
∈
∈
∈
∈ przyporz dkowuje wektor
(((( ))))
F x
o pocz tku w punkcie
x
nazywa si
POLEM WEKTOROWYM.
Niech
K b dzie
KRZYW REGULARN , tzn. jest sum sko czonej ilo ci łuków
regularnych. Niech
K b dzie krzyw zawart w zbiorze
3
U ⊂
⊂
⊂
⊂
w postaci:
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
[[[[ ]]]]
x x t
K : y y t , t
,
z z t
α β
====
=
∈
=
∈
=
∈
=
∈
====
Niech
3
F : U
K
⊃ →
⊃ →
⊃ →
⊃ →
b dzie polem wektorowym
[[[[
]]]]
F
P ,Q,R
====
Niech
P b dzie podziałem przedziału
[[[[ ]]]]
,
α β
na
n cz ci
((((
))))
n ∈
∈
∈
∈
.
0
1
n
P :
t
t
... t
α
β
= < < < =
= < < < =
= < < < =
= < < < =
Niech
(((( ))))
{{{{
}}}}
1
1
k
k
k
k
P : max t : t
t
t , k
,..,n
δ
∆
∆
−−−−
=
= −
=
=
= −
=
=
= −
=
=
= −
=
b dzie rednic podziału
P oraz
(((( ))))
0
n
lim P
δ
→∞
→∞
→∞
→∞
====
Niech
1
1
k
k
k
t ,t , k
,...,n
ξ
−−−−
∈
=
∈
=
∈
=
∈
=
b dzie punktem po rednim
Punktom podziału
0 1
k
t , k
, ,...,n
====
odpowiadaj na krzywej
K punkty
0 1
k
A , k
, ,...,n
====
o wektorach wodz cych
(((( ))))
0 1
k
k
r t
OA , k
, ,...,n
=
=
=
=
=
=
=
=
Niech
(((( ))))
1
k
k
k
B , OB
r
, k
,...,n
ξ
=
=
=
=
=
=
=
=
oznacza punkt po redni łuku
1
k
k
A A
−−−−
CAŁK KRZYWOLINIOW ZORIENTOWAN (SKIEROWAN ) Z POLA
WEKTOROWEGO
[[[[
]]]]
F
P ,Q,R
====
PO KRZYWEJ K definiuje si wzorem:
((((
))))
((((
))))
((((
))))
(((( ))))
1
1
n
k
k
k
n
k
K
P x, y,z dx Q x, y,z dy R x, y,z dz : lim
F B
A A
−−−−
→∞
→∞
→∞
→∞ ====
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
o ile granica jest wła ciwa i nie zale y od wyboru podziału
P i punktów po rednich
1
k
B , k
,...,n
====
INTERPRETACJA FIZYCZNA CAŁKI
KRZYWOLINIOWEJ ZORIENTOWANEJ
Całka krzywoliniowa zorientowana wyra a liczbowo prac jak wykonuje siła
[[[[
]]]]
F
P ,Q,R
====
wzdłu krzywej
K zgodnie z jej orientacj .
TWIERDZENIE
Je eli krzywa
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
[[[[ ]]]]
x x t
K : y y t , t
,
z z t
α β
====
=
∈
=
∈
=
∈
=
∈
====
jest łukiem regularnym oraz funkcja wektorowa
[[[[
]]]]
F
P ,Q,R
====
jest ci gła na krzywej
K, tzn. funkcje
P ,Q,R
s ci głe na krzywej
K,
to całka krzywoliniowa zorientowana z funkcji
F
po krzywej
K istnieje i zachodzi wzór
((((
))))
((((
))))
((((
))))
K
P x, y,z dx Q x, y,z dy R x, y,z dz
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
((((
))))
(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
((((
))))
(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
((((
))))
(((( ))))
P x t , y t ,z t x t
Q x t , y t ,z t y t dt
R x t , y t ,z t z t dt
β
β
α
α
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
UWAGA
(i) Niech
(((( ))))
(((( ))))
[[[[ ]]]]
x x t
K :
, t
,
y y t
α β
====
∈
∈
∈
∈
====
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
[[[[ ]]]]
x x t
K :
, t
,
y y t
β α
====
−
∈
−
∈
−
∈
−
∈
====
Wtedy
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
K
K
P x, y dx Q x, y dy
P x, y dx Q x, y dy
−−−−
+
= −
+
+
= −
+
+
= −
+
+
= −
+
(ii)
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
1
2
1
2
K
K
K
K
P x, y dx Q x, y dy
P x, y dx Q x, y dy
P x, y dx Q x, y dy
∪
∪
∪
∪
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
TWIERDZENIE (WZÓR GREENA)
Niech
2
D ⊂
⊂
⊂
⊂
b dzie obszarem domkni tym daj cym si podzieli krzywymi kl.
1
C
na sko czon liczb obszarów normalnych wzgl dem obu osi układu.
Niech
K krzywa regularna b dzie brzegiem obszaru D zorientowanym dodatnio, tzn. przy
poruszaniu si po krzywej
K obszar D jest po lewej stronie. Je eli funkcje P i Q s kl.
1
C
w pewnym obszarze zawieraj cym obszar
D, to zachodzi wzór
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
K
D
Q
P
P x, y dx Q x, y dy
x, y
x, y dxdy
x
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
DEFINICJA
Niech
3
D ⊂
⊂
⊂
⊂
i
[[[[
]]]]
F
P ,Q,R
====
b dzie polem wektorowym okre lonym na
D.
Mówimy, e
CAŁKA Z
F
NIE ZALE Y OD DROGI CAŁKOWANIA W OBSZARZE
D, gdy dla dowolnych dwóch punktów A i B oraz dowolnych krzywych regularnych
1
2
K , K
,
których pocz tkiem jest punkt A i ko cem punkt B
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
1
2
K
K
P x, y,z dx Q x, y,z dy R x, y,z dz
P x, y,z dx Q x, y,z dy R x, y,z dz
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
Pole
F
o takiej własno ci nazywa si
POLEM POTENCJALNYM
Wtedy zapisujemy
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
1
K
AB
P x, y,z dx Q x, y,z dy R x, y,z dz
P x, y,z dx Q x, y,z dy R x, y,z dz
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
((((
))))
((((
))))
((((
))))
B
A
P x, y,z dx Q x, y,z dy R x, y,z dz
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
TWIERDZENIE (WKW potencjalno ci pola)
Niech
2
D ⊂
⊂
⊂
⊂
b dzie obszarem jednospójnym i funkcje
P, Q niech b d kl.
1
C
w obszarze
D. Równo
((((
))))
((((
))))
Q
P
x, y
x, y
x
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
====
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
jest WKW na to, aby całka krzywoliniowa
((((
))))
((((
))))
AB
P x, y dx Q x, y dy
++++
wzdłu łuku
AB
zawartego w obszarze
D nie zale ała od drogi całkowania, a jedynie
od poło enia punktów A i B.
UWAGA
W przypadku obszaru w
3
i
[[[[
]]]]
F
P ,Q,R
====
WKW istnienia pola potencjalnego
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
Q
P
x, y,z
x, y,z
x
y
Q
R
x, y,z
x, y,z
z
y
R
P
x, y,z
x, y,z
x
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
====
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
====
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
====
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
DEFINICJA (potencjału pola)
Niech
((((
))))
A
A
A
x , y
D.
=
∈
=
∈
=
∈
=
∈
Funkcj
((((
))))
((((
))))
((((
))))
(((( ))))
((((
))))
((((
))))
A
A
x ,y
x , y
U x, y :
P x, y dx Q x, y dy,
x, y
D
=
+
∈
=
+
∈
=
+
∈
=
+
∈
nazywa si
POTENCJAŁEM POLA
[[[[
]]]]
F
P ,Q
====
. Wtedy
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
)))) ((((
))))
B
B
A
A
x ,y
B
B
A
A
x ,y
P x, y dx Q x, y dy U x , y
U x , y
U( B ) U( A )
+
=
−
=
−
+
=
−
=
−
+
=
−
=
−
+
=
−
=
−
UWAGA (o potencjale pola)
Potencjał spełnia nast puj ce warunki:
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
U
x, y
P x, y
x
U
x, y
Q x, y
y
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
∂∂∂∂