SPRĘŻYSTOŚĆ CIAŁ

Zadanie 9.1
Jaki jest współczynnik sprężystości sprężyny, która pod ciężarem o masie m = 3 kg rozciągnęła się o 
Δl = 5 cm?
Odp. K = 598 n/M

Zadanie 9.2
Dwie jednakowe sprężyny o współczynniku sprężystości k połączono tak, że otrzymano jedną sprężynę dwa razy 
dłuższą. Jaki będzie współczynnik sprężystości tej długiej sprężyny?

a) 0,5 • k           b) k
c) 2 • k               d) k

2

Zadanie 9.3
Długą sprężynę o współczynniku sprężystości k powieszono pod sufitem i rozciągnięto siłą F o pewną długość 
Δx. Sprężynę tę podzielono następnie na trzy równe części i powieszono je obok siebie, w równych odległo-
ściach, pod sufitem. Za pomocą listewki o masie do pominięcia rozciągnięto jednocześnie te trzy sprężyny siłą F 
taką jak poprzednio. O ile teraz wydłuży się każda ze sprężyn?

a) o 

1

/

9

 Δx

b) o 

1

/

3

 Δx

c) o Δx

d) o

Zadanie 9.4
Na gładkim stole (leżą dwa ciężarki o masach m

1

 i m

2

 połączone sprężyną o współczynniku sprężystości k. Jaka 

siła F działająca poziomo, przyłożona do pierwszego ciężarka spowoduje wydłużenie sprężyny o Δl? Załóż, że 
ciężarki mogą poruszać się bez tarcia.

Zadanie 9.5
Dwie sprężyny o jednakowych długościach rozciągane są jednakową siłą F. Jedna z nich, o współczynniku 
sprężystości k

1

 =500 N/m, zwiększyła swoją długość o Δl

1

 = 2 cm. Jaki jest współczynnik sprężystości drugiej 

sprężyny, jeżeli rozciągnęła się o l

2

 = 5 cm?

a) 100 N/m

b) 200 N/m

c) 400 N/m

d) 500 N/m

Zadanie 9.6
Dwie sprężyny o jednakowych długościach i współczynnikach sprężystości  k

1

 =400 N/m  i  k

2

=600 N/m 

powieszono tak, że swobodnie zwisały w odległości l = 0,8 m od siebie. Do dolnych końców sprężyn 
przyczepiono poziomą, metalową listewkę, o pomijalnej masie. W jakiej odległości x od jednego z końców 
listewki należałoby powiesić ciężarek, aby listewka pozostała pozioma?
Odp. x = 0,48 m

Zadanie 9.7
Przez nieruchomy bloczek przerzucono nić i do jednego jej końca doczepiono ciężarek o masie m

1

 = 60 g, a do 

drugiego końca przymocowano sprężynę o długości l = 15 cm i do niej ciężarek o masie m

2

 = 100 g. Jaka bę-

dzie długość sprężyny, gdy ciężarki m

1 

i m

2

 będą się poruszać? Uwaga: sprężyna ta pod działaniem siły o 

wartości F = 0,2 N wydłuża się o  Δl = 3 cm.
Odp. l + x  = 26,2 cm

Zadanie 9.8
Na rysunku 9.1. przedstawiono układ sprężyna-ciężarek będący w równowadze, który znajduje się na wózku. W 
pewnej chwili wózek zaczął się poruszać z przyspieszeniem o wartości a, co spowodowało odchylenie ciężarka o 
kąt α w stronę przeciwną do ruchu wózka. Jak zachowa się sprężyna?

a) jej długość się nie zmieni
b) ściśnie się
c) rozciągnie się
d) zacznie okresowo ściskać się i rozciągać

Zadanie 9.9
Do jednego końca nici przerzuconej przez nieruchomy bloczek przyczepiony jest ciężarek o masie 
m

1

 = 75 g, a do drugiego - sprężynka z przymocowanym do jej dolnego końca drugim ciężarkiem o masie m

2

 = 

150 g. W czasie ruchu ciężarków długość sprężyny wynosi l

1

 = 15 cm. Jaka jest długość sprężyny 

nierozciągniętej? Pod działaniem siły F

0

 = 10 N sprężyna ta wydłuża się o Δl = 20 cm.

Odp. l = 13 cm

Zadanie 9.10
Na rysunku 9.2. przedstawiono zależność wydłużenia sprężyny Δx od wartości F przyłożonej siły. Na podstawie 
tego wykresu oblicz pracę, jaką trzeba wykonać, aby rozciągnął sprężynę o Δx = 5 cm.

Odp. W = 0,25 J

Zadanie 9.11
Sprężyna łączy sobą dwa ciężarki o masach m i M. Jeżeli powiesi się układ, przyczepiając ciężarek m do sufitu, 
to długość sprężyny wynosi l

1  

(rysunek 9.3a). Jeżeli postawi się układ na stole tak, żeby ciężarek M był na dole, 

to długość sprężyny wynosi /

2

 < l

1

 (rysunek 9.3b.). Jaka jest długość sprężyny /

0

 w stanie nienaprężonym?

Zadanie 9.12

Niewielki ciężarek o masie m podnoszony jest na gumowej lince pionowo do góry z przyspieszeniem a

1

 

następnie zaś opuszczany z takim samym przyspieszeniem. Współczynnik sprężystości linki wynosi k. Oblicz 
różnicę długości linki l

1

 – l

2

, gdzie l

1

 - długość linki podczas podnoszenia ciężarka, a l

2

 -długość linki podczas 

opuszczania.

Zadanie 9.13
Dwie płytki o masach m

1

 i m

2

 znajdują się jedna nad drugą połączone sprężyną o współczynniku sprężystości k, 

jak pokazano na rysunku 9.4. Jaką siłą F należałoby nacisnąć na górną płytkę, dodatkowo ściskając sprężynę, 
aby po odjęciu siły układ płytek oderwał się od podłoża (podskoczył)? Czy zawsze jest to możliwe?

Zadanie 9.14
Sprężyna o współczynniku sprężystości k = 800 N/m była wstępnie rozciągnięta o Δx

1

= 4 cm. Jaką pracę trzeba 

wykonać, aby jej rozciągnięcie osiągnęło Δx

2

 = 14 cm?

Odp. 8 J

Zadanie 9.15
Na stole leży ciężarek o masie m = 10 kg, do którego przyczepiona jest sprężyna o współczynniku sprężystości k 
= 500 N/m. Wolny koniec sprężyny zaczęto ciągnąć pewną siłą równoległą do powierzchni stołu w taki sposób, 
że ciężarek zaczął przesuwać się ruchem jednostajnym. Jaką pracę wykonano, przesuwając ciężarek na 
odległość s = 2,5 m, jeżeli współczynnik tarcia ciężarka o stół f = 0,2?
Odp. 50,4 J

Zadanie 9.16
Niewielka płytka o masie m leżąca na stole ma przymocowaną w środku sprężynkę o współczynniku sprężysto-
ści k. Jaką pracę trzeba wykonać, aby ruchem jednostajnym podnieść płytkę na wysokość h nad powierzchnię 
stołu, ciągnąc za wolny koniec sprężynki?

Zadanie 9.17
Jaką co najmniej średnicę d musi mieć drut aluminiowy, aby utrzymał - zawieszony na nim ciężar 
Q = 10 kN? Wytrzymałość na zerwanie drutu aluminiowego W = 11• 10

7 

N/m

2

.

Odp. d = 11 mm

Zadanie 9.18
Jaką długość może mieć zwisający drut miedziany umocowany jednym końcem, aby nie zerwał się pod 
własnym ciężarem? Wytrzymałość na zerwanie drutu miedzianego W = 24,5 • 10

7

 N/m

2

, a jego gęstość 

ρ = 9000 kg/m

3

.

Odp. l = 2775 m

Zadanie 9.19
W celu zmierzenia głębokości morza spuszczono na stalowym drucie niewielki ciężarek. Jaka jest największa 
głębokość morza, którą można zmierzyć tą metodą? Wytrzymałość na zerwanie drutu stalowego W = 78,5•10

7

 

N/m

2

, gęstość stali   ρ

1 

=7500 kg/m

3

, gęstość wody morskiej ρ

 2

 = 1000 kg/m

3. 

Należy przyjąć, że gęstość wody 

morskiej nie zmienia się z głębokością, a masa ciężarka jest do pominięcia.
Odp. l = 12300 m

Zadanie 9.20
Do sufitu umocowany jest stalowy pręt o długości l = 1,5 m i przekroju poprzecznym S = 0,01 cm

2

. Do jego 

dolnego końca przyczepiono ciężar o masie m = 250 kg. O ile wydłuży się pręt, jeżeli moduł Younga stali wynosi 
E =196 •10

9

 Pa? Zaniedbaj masę pręta.

Odp. Δl = 12,5 mm

Zadanie 9.21
Podczas rozciągania ekspandera (sprężyny do treningu sportowego) maksymalna przyłożona siła ma wartość F 
= 200 N; efektywny współczynnik sprężystości sprężyny ekspandera wynosi k = 2000 N/m. Oblicz pracę wy-
konaną przez sportowca podczas n = 50 krotnego rozciągania ekspandera.
Odp. W = 500 J

Zadanie 9.22
Na drucie stalowym o długości l = 2 m i polu przekroju poprzecznego S = 2,5 mm

2

 powieszono ciężar o masie 

m = 150 kg. Jaka praca została wykonana podczas rozciągania drutu przez ten ciężar? Moduł Younga stali, z 
której wykonany jest drut, wynosi  E = 210•10

9 

N/m

2

.

Odp. W = 41 mJ

Zadanie 9.23
Metalowy walec o masie m = 200 kg powieszono na czterech równooddalonych drutach mających takie same 
długości i pola przekroju poprzecznego (rysunek 9.5.). Jaką siłą będzie rozciągany każdy z drutów, jeżeli skrajne 
wykonane są ze stali, a środkowe z miedzi? Moduł Younga stali jest n = 1 razy większy niż moduł Younga 
miedzi.

Odp. F

cu

 = 327 N; F

s

 = 654 N

Zadanie 9.24
Profilowany pręt o dwu różnych średnicach umocowany jest w ścianie (rysunek 9.6.). Odcinek grubszego pręta o 
polu przekroju poprzecznego S

1

 = 4 cm

2

 ma długość l

1

 = 2 m, natomiast odcinek cieńszego - o polu przekroju 

poprzecznego S

2

 = 2 cm

2

 ma długość l

2

 = 1 m. Na pręt działa pozioma siła ściskająca o wartości F = 600 kN.

Jakie będzie całkowite skrócenie pręta, jeżeli wykonany jest z materiału, którego moduł Younga wynosi 
E = 10

5

 MPa?

Odp. Δl = 1 cm

Zadanie 9.25
Na rysunku 9.7. pokazano cztery wykresy. Który z wykresów i lustruje zależność energii sprężystości E

s

 od 

wydłużenia sprężyny x?

a) l                   b) II
c) III                   d) IV

Zadanie 9.26
O ile wydłuży się pręt niklowy o długości l = 2 m i polu przekroju poprzecznego S = 2 cm

2

, jeżeli przy jego 

rozciąganiu wykonano prace W= 0,25 J? Moduł Younga niklu wynosi E = 2•10" Pa.
Odp. Δl = 0,16 mm

Zadanie 9.27
Kula o masie m uderza w sprężynę z szybkością V i ściska ją o Δx. O ile skróci się sprężyna, jeżeli uderzy w nią 
ta sama kula z szybkością 2v?

a) o Δx            b) o 2 Δx
c) o 4 Δx           d) o 0,5 Δx

Zadanie 9.28
Jeżeli na nici o długości l zostanie zawieszony ciężarek o masie M, to nastąpi jej wydłużenie o Δx = 1 % długości, 
a jednocześnie zostanie przekroczona granica wytrzymałości nici i nastąpi jej zerwanie. Do takiej nici 
przyczepiono ciężarek o masie m < M. Na jaką co najmniej wysokość h należy unieść zwisający ciężarek m, aby 
po swobodnym jego puszczeniu zerwał nić?

Zadanie 9.29
Do rozciągnięcia sprężyny o Δx

1

= 4 cm trzeba użyć pewnej siły, gromadząc w ten sposób energię potencjalną 

sprężystości. Ile razy wzrośnie ta energia, jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta do Δx

2

 = 8 cm?

Odp. n = 4

Zadanie 9.30
Na stalowym pręcie, umocowanym jednym końcem w suficie, wisi kula o masie m, powodując wydłużenie pręta 
o Δx. Ile razy energia potencjalna ciężkości kuli zmaleje w stosunku do zwiększenia się energii potencjalnej 
sprężystości pręta? Ciężar pręta można zaniedbać.

a) 0,5 raza       b) 1 raz 
c) 2 razy           d) 4 razy

Zadanie 9.31
Do sprężyny o współczynniku sprężystości k

1

, umocowanej jednym końcem do sufitu, przyczepiono drugą 

sprężynę o współczynniku sprężystości k

2

 Do dolnej sprężyny doczepiono ciężarek o masie m. Jaki jest stosunek 

energii potencjalnych sprężystości tych sprężyn n = E

p1

 : E

p2

, jeżeli zaniedbamy ciężary sprężyn?

Zadanie 9.32
Na stacji rozrządowej wagon towarowy o masie m = 50 t jechał po poziomym torze z szybkością v = 2 m/s do 
momentu sczepienia się automatycznie ze składem towarowym (pociągiem). O ile zostanie ściśnięta każda z 
czterech sprężyn amortyzatorów wagonu w trakcie sczepiania, jeżeli współczynnik sprężystości każdej z nich 
wynosi k = 2,25•10

5

 N/m? Przyjmij, że masa wagonu jest dużo mniejsza od masy składu.

Odp. 1,5 cm

Zadanie 9.33
Gimnastyk o masie m = 70 kg skoczył na batut z wysokości h = 5 m. O ile ugnie się batut, jeżeli pod stojącym 
na nim sportowcem ugina się o x

0

 = 20 cm?

Odp. x = 1,63 m

Zadanie 9.34

Metalową kulę o masie m = 0,75 kg upuszczono z wysokości h = 10 m na pionowo stojącą sprężynę o długości l 
= 20 cm. Spadająca kula ugięła sprężynę o połowę. Oblicz współczynnik sprężystości sprężyny.
Zadanie 9.35
W pistoleciku-zabawce można ścisnąć sprężynę i po włożeniu plastikowej kulki wystrzelić z niego. Jakie 
przyspieszenie a uzyskuje plastikowy pocisk, jeżeli po ściśnięciu sprężyny o Δl= 10 cm i skierowaniu lufy piono-
wo do góry pocisk wyskakuje na wysokość H = 0,5 m? Należy przyjąć, że plastikowa kulka odrywa się od 
sprężyny w momencie, kiedy jest ona całkowicie rozprężona. Opory ruchu kulki należy zaniedbać.
Odp. g = 19 g

Zadanie 9.36
Duży ciężar o masie m = 400 kg opuszczany jest powoli ze stałą prędkością o wartości v = 2 m/s na lince, 
której współczynnik sprężystości wynosi k = 4•10

5

 N/m. Jaką maksymalną siłą zostanie napięta linka, jeżeli 

opuszczanie zostanie gwałtownie zatrzymane?
Odp. k = 14800 N/m