Powierzchnie stopnia 2-go w przestrzeni 

Powierzchnie obrotowe 

Z: Krzywa k leży w płaszczyźnie 

O

xz i jest dana równaniem: 

(1) 

 , 

 

Obracamy krzywą k dookoła osi Oz. Wtedy każdy punkt P

0

k nie leżący na osi Oz 

zatoczy okrąg o równaniu: 

2. 

leżący w płaszczyźnie: 

3.

 

z = 

z

0 

Rugując

 z równań (2), (3) z

0

 

otrzymujemy równanie powierzchni zatoczonej 

przez krzywą k daną równaniem (1) dookoła osi Oz: 

4. 

 

  

Elipsoida 

Dana elipsa: 

(5) 

leżąca w płaszczyźnie Oxz: 

 

k: 

, 

 

Obracamy dookoła osi Oz krzywą k: 

(6)  

 

(6) – powierzchnia zwana elipsoidą obrotową powstała przez obrót elipsy (5) 
dookoła osi Oz. 

Analogicznie gdy 

 

(7)  

  

(7) - równanie sfery kulistej o środku (0,0,0) i promieniu 

 

(8) 

  

(8) - równanie sfery kulistej o środku 

i promieniu 

 

  

(9) 

  

(9) - równanie elipsoidy 3-osiowej (to nie jest powierzchnia obrotowa) 

Hiperboloida jednopowłokowa i dwupowłokowa  

Dana hiperbola:  

(10) 

leżąca w płaszczyźnie Oxz: 

 

k: 

, 

 

Obracamy krzywą k dookoła osi Oz, 

otrzymujemy powierzchnię

  

(11) 

 

(11) – powierzchnia zwana hiperboloidą jednopowłokową powstała przez obrót 
dookoła osi Oz hiperboli (10). 

12. 

 

(12) - hiperboloida jednopowłokowa 

Obracamy hiperbolę (10) dookoła osi Ox (krzywą k: 

, z = f(x), 

), 

otrzymamy powierzchnię: 

 

 

(13) 

 

 zwaną hiperboloidą obrotową 2-powłokową 

14.  

 

 

  

(14) - hiperboloida 2-powłokowa 

Paraboloida eliptyczna i hiperboliczna  

Dana parabola  

(15) 

leżąca w płaszczyźnie 

, 

 

Obracamy krzywą dookoła osi Oz 

(16) 

  

(16) - paraboloida obrotowa 

17. 

   

(17) - paraboloida eliptyczna. 

Równanie postaci 

18. 

 

przedstawia powierzchnię zwaną paraboloidą hiperboliczną (siodło). 

1) Płaszczyzna 

przecina powierzchnię po paraboli 

.  

2) Płaszczyzna 

przecina powierzchnię po paraboli 

. 

3) Płaszczyzny przechodzące przez oś Oz przecinają powierzchnię po 
parabolach (

 z dowol.) z wyjątkiem płaszczyzn: 

i 

 

które przecinają powierzchnie po prostych 

 

4) Płaszczyzna  do osi Oz 

przecina powierzchnię po hiperbolach 

, gdy 

hiperbola redukuje się do 2-ch prostych. 

Powierzchnie stożkowe 

Prosta  

(19) 

leżąca w płaszczyźnie Oxz: 

obraca się dookoła osi Oz. Otrzymamy 

powierzchnię zwaną stożkiem kołowym.  

(20)  

  

(20) - stożek kołowy 

(21)  

  

(21) - stożek eliptyczny 

Powierzchnie walcowe 

Na płaszczyźnie Oxy: 

dana jest elipsa, hiperbola, parabola: 

, 

, 

 

p – prosta || do osi Oz i poruszająca się przez wszystkie punkty krzywej 
opisze: 

(22)  

 (z – dowolne) 

(22) – walec eliptyczny, 

(23)  

 (z – dowolne)  

(23) - walec hiperboliczny 

(24) 

 (z – dowolne)  

(24) - walec paraboliczny 

Ogólnie: 

  

25. 

 

(25) - równanie powierzchni walcowej o kierownicy i 

tworzących

 || do osi Oz.