94
Ć w i c z e n i e 11
Straty energii podczas przepływu wody przez rurociąg
1. Wprowadzenie
Celem ćwiczenia jest praktyczne wyznaczenie współczynników strat liniowych i
miejscowych podczas przepływu wody przez rurociąg i określenie ich zmienności w
funkcji liczby Reynoldsa.
Zagadnienia przepływu cieczy przewodem zamkniętym, tzn. takim, którego
dowolny przekrój poprzeczny jest całkowicie wypełniony cieczą, mają niezmiernie
istotne i oczywiste znaczenie w technice. Przedstawione zostaną one w sposób zgodny
z potrzebami inŜyniera, jeśli chodzi o dokładność, prostotę i łatwość wykonywania
obliczeń.
Przepływ, którego schemat obrazuje rys. 1, traktowany będzie jako ustalony i
jednowymiarowy, co oznacza, Ŝe dla jego wyznaczenia na pewnym odcinku przewodu
(ograniczonym przekrojami 1-1 i 2-2) wystarczą dwa podstawowe równania:
- ciągłości
const
U
F
U
F
Q
=
⋅
=
⋅
=
2
2
1
1
(1)
- Bernoulliego dla cieczy rzeczywistej (równania zachowania energii), gdy wartość
współczynnika Coriolisa wynosi α = 1:
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
−
∆
+
+
+
=
+
+
s
h
z
g
p
g
U
z
g
p
g
U
ρ
ρ
(2)
gdzie:
Q - strumień objętości przepływu cieczy,
F - pole przekroju,
U - prędkość średnia,
p - ciśnienie statyczne,
z - wysokość połoŜenia,
ρ - gęstość przepływającej cieczy,
g - przyspieszenie ziemskie,
Rys. 1. Schemat przepływu przez rurociąg
95
∆h
s1-2 -
wysokość strat hydraulicznych na odcinku 1-2.
Zgodnie z zasadą superpozycji, łączna wielkość strat hydraulicznych jest traktowana
jako suma strat tarcia i strat miejscowych na poszczególnych charakterystycznych
odcinkach przewodu, pomijając ich wzajemne oddziaływania, co ująć moŜna
związkiem:
g
U
d
1
g
U
∆h
s
2
2
2
2
2
1
ξ
λ
+
=
−
(3)
gdzie:
λ - współczynnik strat tarcia,
ξ - współczynnik straty miejscowej,
l - długość przewodu,
d - średnica przewodu.
ZałoŜenie takie znacznie upraszcza obliczenia, nie prowadząc przy tym do
powaŜniejszych błędów, przynajmniej w większości przypadków mających znaczenie
praktyczne [2].
1.1.
Współczynnik strat tarcia
Pomiary współczynnika strat tarcia λ naleŜą do najstarszych badań
doświadczalnych w dziedzinie mechaniki płynów. Niezwykle bogaty materiał
uzyskany w wyniku tych badań, odnoszący się do najrozmaitszych warunków
przepływu, ujęty został w szereg formuł empirycznych o ograniczonym zwykle
zastosowaniu. W szczególności badania te dowiodły, Ŝe współczynnik straty tarcia
zaleŜy w pierwszym rzędzie od kształtu geometrycznego przewodu, a ponadto od
chropowatości względnej i liczby Reynoldsa. Wpływ tych dwu ostatnich wielkości dla
przewodu kołowego przedstawia rys. 2, zwany wykresem Nikuradsego.
Parametrem poszczególnych linii λ(Re) jest chropowatość względna, definiowana
jako stosunek wysokości lokalnych nierówności s do promienia rury r. Badania
Nikuradsego dowiodły niezaleŜności współczynnika strat od chropowatości dla
Rys. 2. ZaleŜność współczynnika strat tarcia od chropowatości względnej i liczby
Reynoldsa dla przewodu kołowego.
96
przepływów laminarnych. Jego wielkość moŜna określić dostateczną dokładnością na
drodze analitycznej, korzystając z prawa Hagena i Poiseulle’a:
Re
64
=
λ
(4)
Związek powyŜszy wykazuje dobrą zgodność z doświadczeniem. Nieznaczne róŜnice
widoczne na rys. 2 naleŜy przypisać głównie zmniejszeniu przekroju czynnego rury w
stosunku do obliczeniowego. Po strefie przejścia, linia λ(Re) dla rury gładkiej z
dobrym przybliŜeniem odpowiada linii wyznaczonej według tzw. wzoru Blasiusa:
4
316
,
0
Re
=
λ
(5)
który jest formą czysto empiryczną.
Wzór Blasiusa moŜna stosować do obliczenia współczynnika strat w rurach gładkich i
chropowatych, jeŜeli r/s > 500 w zakresie:
Re
kr1
≤ Re ≤ Re
kr2
Dla rur o większej chropowatości, przy przepływach o liczbie Re > Re
kr1
,
współczynnik λ wyraźnie zaleŜy od stosunku r/s, osiągając płytkie minimum, by dalej
przyjąć wartość stałą, niezaleŜną od liczby Reynoldsa.
Istnieje bardzo wiele formuł półempirycznych, opartych z jednej strony na
przybliŜonych teoriach ruchu turbulentnego, a z drugiej na wynikach doświadczeń.
Formuły te określające λ(Re, r/s) podaje literatura [2, 3, 4], jednak podczas
korzystania z nich naleŜy przeprowadzić krytyczną analizę podobieństwa warunków
przepływu dla konkretnego przypadku.
1.2. Współczynnik strat miejscowych
Wartości współczynnika strat miejscowych (lokalnych) ξ wyznacza się niemal
wyłącznie metodami doświadczalnymi, głównie ze względu na skomplikowany obraz
Rys.3. Wartość współczynnika ξ w zaleŜności od
liczby Reynoldsa dla przepływu laminarnego;
1 i 2 – zasuwy; 3 – zawór z ukośnym
zamknięciem; 4 – zawór zwykły
Rys.4. Wartość współczynnika ξ w zaleŜności od
liczby
Reynoldsa
dla
przepływu
turbulentnego; 1 i 2 – zawory zwykłe; 3
– zawór z ukośnym zamknięciem; 4 –
zawór o przepływie prostoliniowym
97
przepływu wewnątrz elementów (przeszkód), w których te straty zachodzą. Z
pomiarów przeprowadzonych dla przeszkód róŜnego rodzaju i kształtu wynika
następujący jakościowy obraz zaleŜności współczynnika strat miejscowych od liczby
Reynoldsa:
- w zakresie przepływu laminarnego, współczynnik ξ maleje ze wzrostem Re,
- w zakresie przejściowym ξ moŜe maleć lub rosnąć, w zaleŜności od kształtu
przeszkody,
- w zakresie przepływu turbulentnego dla dostatecznie duŜych liczb Reynoldsa,
współczynnik ξ na wartość w przybliŜeniu stałą.
Potwierdzeniem powyŜszych tendencji są przebiegi współczynnika strat urządzeń
zamykających, przedstawione na rys. 3 i 4.
1.3.
Linie ciśnień (piezometryczne) i spadku energii
Linią piezometryczną nazywamy wykres nadciśnienia statycznego wzdłuŜ długości
rozpatrywanego przewodu (x), gdzie miarą nadciśnienia jest wysokość słupa cieczy.
Opisana moŜe być ona funkcją:
g
p
p
x
f
ot
⋅
−
=
ρ
)
(
1
(6)
Linią energii całkowitej nazywamy wykres przedstawiający wysokość sumarycznej
Rys. 5. Przebieg linii piezometrycznej (a) i spadku energii (b)
a)
b)
98
jednostkowej energii cieczy wzdłuŜ rozpatrywanego przewodu:
g
p
p
g
U
z
x
f
ot
ρ
−
+
+
=
2
2
2
)
(
(7)
Przykładowy przebieg tych linii przedstawia rys. 5.
Linia energii całkowitej, która dla cieczy doskonałej przebiegałaby poziomo, w
przypadku cieczy lepkiej zawsze opada w kierunku przepływu.
Linia piezometryczna ma mniej regularny przebieg niŜ linia energii całkowitej,
ciśnienie statyczne moŜe bowiem maleć wzdłuŜ przewodu bądź teŜ rosnąć, co wynika
między innymi ze zmiany energii kinetycznej przy zmianie przekroju przewodu. Linia
piezometryczna znajduje zastosowanie praktyczne przy projektowaniu np. sieci
cieplnej, gdyŜ na podstawie jej przebiegu wnioskować moŜna między innymi o
moŜliwości pojawienia się kawitacji.
2. Metodyka badań i opis stanowiska pomiarowego
Analiza równań (1÷3) pozwala stwierdzić, Ŝe dla wyznaczenia współczynnika λ
naleŜy określić strumień objętości przepływu Q, ciśnienia statyczne p w dwu
przekrojach kontrolnych 1-1 i 2-2 oddalonych o pewien odcinek l oraz znać średnicę
przewodu i jego połoŜenie. Pomiaru ciśnienia statycznego moŜna dokonać za pomocą
tzw. „piezometrów”, tj. pionowych rurek szklanych połączonych bezpośrednio z
wnętrzem przewodu, w których ciecz ustala się na poziomie odpowiadającym róŜnicy
ciśnienia statycznego w rurociągu i ciśnienia atmosferycznego.
Układ pomiarowy przedstawiony na rys. 6 składa się z szeregu elementów
będących źródłem strat miejscowych (kolanka, nagłe i stopniowe zwęŜenie lub
rozszerzenie przewodu) oraz odcinków prostych do wyznaczania strat liniowych.
Układ przewodów zbudowany jest poziomo na tablicy i zasilany cieczą dopływającą
ze zbiornika 1, przy czym rura przelewowa 3 zapewnia utrzymanie stałego poziomu
wody. Napełnienie zbiornika następuje przewodem 4 po otwarciu zaworu 5. Przed i za
kaŜda przeszkodą wbudowane są szklane rurki piezometryczne, przymocowane do
tablicy na tle podziałki milimetrowej, umoŜliwiającej odczyt poziomu wody w czasie
pomiarów. Na wypływie z układu pomiarowego zabudowany jest zawór 6
umoŜliwiający regulację natęŜenia przepływu wody.
3. Szczegółowy przebieg ćwiczenia i obliczeń
Przed przystąpieniem do ćwiczenia naleŜy napełnić zbiornik układu pomiarowego
w taki sposób, aby nadmiar wody w sposób ciągły odpływał z niego rurą przelewową.
Stan taki zapewni – po otwarciu zaworu 6 na wylocie – uzyskanie przepływu
ustalonego. JeŜeli w układzie znajdują się pęcherzyki powietrza, naleŜy przed
przystąpieniem do pomiaru odpowietrzyć go zaworem 7. Po ustaleniu natęŜenia
przepływu zaworem 6 naleŜy sprawdzić, czy poziom wody w rurkach
piezometrycznych jest ustalony i przystąpić do pomiaru. Po odczytaniu wysokości
słupów wody w rurkach piezometrycznych, których numery znajdują się w tablicy
pomiarowej, naleŜy zmierzyć strumień objętości wody za pomocą cylindra
pomiarowego i stopera. Pomiary przeprowadzić dla trzech wartości strumienia
przepływu tzn. róŜnych liczb Reynoldsa, wpisując wyniki do tablicy pomiarowej.
9
9
R
y
s.
6
.
S
ch
em
at
s
ta
n
o
w
is
k
a
p
o
m
ia
ro
w
eg
o
100
Strumień objętości przepływu:
,
τ
V
Q =
m
3
/s
(8)
gdzie:
V - zmierzona objętość wypływającej wody, m
3
τ - czas wypływu, s.
Średnia prędkość wody w określonym miejscu przewodu o średnicy d wynosi:
,
4
2
d
Q
U
π
=
m/s.
(9)
Korzystając z równania zachowania energii (2) dla kolejnych przekrojów
pomiarowych, otrzymamy:
(
)
]
1
[
2
1
1
2
1
2
2
n
n
s
n
n
n
n
n
n
h
z
g
p
g
U
z
g
p
g
U
−
−
−
−
−
∆
+
+
⋅
+
=
+
⋅
+
ρ
ρ
(10)
W przypadku gdy odcinek rurociągu jest poziomy, dla wszystkich przekrojów tego
odcinka z
n-1
= z
n
, zaś wysokość ciśnienia p
n
/ρּg wyraŜona jest w metrach i równa się
wysokości słupa wody w rurkach piezometrycznych h
n
. Po uwzględnieniu powyŜszych
zaleŜności równanie (10) przyjmie postać:
(
)
[
]
n
n
s
n
n
n
n
h
h
g
U
h
g
U
−
−
−
−
∆
+
+
=
+
1
2
1
2
1
2
2
(11)
a stąd wysokość strat na odcinku między przekrojami n-1 i n wynosi:
(
)
[
]
g
U
U
h
h
h
n
n
n
n
n
n
s
2
2
2
1
1
1
−
+
−
=
∆
−
−
−
−
(12)
W przypadku wystąpienia strat miejscowych otrzymamy:
(
)
[
]
(
)
[
]
g
U
h
n
n
n
n
n
sm
2
2
1
1
−
−
−
−
=
∆
ξ
(13)
a stąd współczynnik:
(
)
[
]
−
+
−
=
−
−
−
−
g
U
U
h
h
U
g
n
n
n
n
n
n
n
2
2
2
2
1
1
2
1
ξ
(14)
JeŜeli na rozpatrywanym odcinku występują straty tarcia, ich wysokość wynosi:
(
)
[
]
g
U
d
l
h
n
n
n
st
2
2
1
λ
=
−
−
,
(15)
zaś współczynnik strat tarcia jest określany zaleŜnością:
(
)
n
n
n
h
h
U
g
l
d
−
=
−1
2
2
λ
(16)
Obliczone wg powyŜszych zaleŜności wyniki naleŜy wpisać do tabeli wyników.
Dane o średnicach rurociągu w punktach pomiaru wysokości ciśnienia podano w
Tabeli 1.
101
Tabela 1
Numer punktu
pomiarowego
n
Średnica rurociągu w
przekroju pomiarowym
d
n
-
mm
3
52
4
18
7
54
8
18
9
18
10
34
13
18
14
34
19
18
20
18
21
18
22
13
29
20
30
20
31
13
32
13
Literatura:
1.
Bukowski J.: Mechanika płynów, PWN, Warszawa 1960
2.
Prosnak W.J.: Mechanika płynów, PWN, Warszawa 1971
3.
Troskolański T.A.: Hydromechanika, WNT, Warszawa 1967
4.
Walden H., Stasiak J.: Mechanika cieczy i gazów, Arkady, Warszawa 1971
1
0
2
T
a
b
el
a
p
o
m
ia
ro
w
a
V
τ
h
3
h
4
h
7
h
8
h
9
h
1
0
h
1
3
h
1
4
h
1
9
h
2
0
h
2
1
h
2
2
h
2
9
h
3
0
h
3
1
h
3
2
L
.p
.
m
3
s
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
1
2
3
4
T
a
b
el
a
w
y
n
ik
ó
w
Q
U
3
U
4
U
7
U
1
0
U
2
2
U
2
9
L
.p
.
m
3
/s
m
/s
m
/s
m
/s
m
/s
m
/s
m
/s
ξ
3
-4
ξ
7
-8
ξ
9
-1
0
ξ
1
3
-1
4
ξ
1
9
-2
0
ξ
2
1
-2
2
λ
2
9
-3
0
λ
3
1
-3
2
1
2
3
4