Przykład 7.4. Belka złożona – połączenie przegubowe
Narysować wykresy sił przekrojowych dla poniższej belki.
α =
Rozwiązanie
Rozwiązywanie zadania rozpocząć należy od oznaczenia punktów charakterystycznych,
składowych reakcji i przyjęcia układu współrzędnych.
α =
W celu obliczenia reakcji należy wykorzystać równania równowagi. Ponieważ belki
połączone przegubem oddziaływają na siebie wyłącznie poprzez siły podłużne i poprzeczne,
a nie przekazują momentu zginającego, moment ten policzony dla jednej bądź drugiej z belek
musi być równy zero. Korzystając z tego warunku możemy napisać cztery równania
równowagi:
2
2
2
4
1
4
3
0
0
4
3
2
1
2
4
9
3
45
2
4
9
3
0
3
0
4
9
2
1
2
4
9
45
2
4
9
0
0
2
4
9
2
9
2
1
2
0
45
2
2
9
0
2
3
2
1
3
0
ql
M
l
ql
ql
M
ql
l
V
M
M
ql
V
ql
ql
V
cos
ql
ql
V
sin
R
l
q
V
P
ql
H
ql
H
cos
ql
H
cos
R
H
P
ql
R
ql
R
sin
R
ql
l
sin
R
l
l
q
M
A
A
B
A
l,
C
B
B
o
B
B
B
y
A
A
o
A
B
A
x
D
D
o
D
D
p
,
C
=
⇒
⋅
−
=
⇒
⇒
=
−
⋅
+
⇔
=
=
⇒
⋅
−
=
⇒
⇒
⋅
−
=
⇒
=
⋅
+
⋅
−
⇔
=
=
⇒
⇒
⋅
=
⇒
⋅
=
⇒
=
−
⋅
−
⇔
=
=
⇒
⇒
=
⋅
⇒
=
⋅
−
⇒
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⇔
=
∑
∑
∑
∑
−
−
α
α
α
α
α
α
α
Tak więc
√
α =
Obecnie możemy już przystąpić do rysowania wykresów sił przekrojowych.
Wykres siły normalnej N
Jak widać jedynym obciążeniem podłużnym działającym na rozpatrywaną belkę są siły
skupione - reakcje podpór działające w punktach A i D. Wynika z tego, że na wykresie N
w punktach tych musi pojawić się skok wartości funkcji N(x), natomiast pomiędzy nimi
wykres musi być stały. Kierunek działania reakcji – „do belki” – oznacza ujemny znak siły N.
Poza odcinkiem A-D, tj. na odcinku D-E siła N=0.
Wykres siły tnącej T
Rysowanie ponownie zaczynamy w punkcie A, przesuwać się będziemy w prawo. Ponieważ
na odcinku A-B nie występują siły działające prostopadle do belek, więc N=0.
2
W punkcie B przyłożona jest siła ql
4
3
wywołująca obrót rozważanej (lewej) części układu
zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara, co oznacza, że siła T zwiększa się skokowo
w tym punkcie o ql
4
3
.
Na odcinku B-C nie występują obciążenia poprzeczne, więc funkcja T(x) jest stała.
Pomiędzy punktami C i D działa do dołu obciążenie równomiernie rozłożone o wartości ,
czyli na odcinku C-D wartość funkcji T zmniejsza się liniowo, w sumie o wypadkową
obciążenia, czyli
.
q
ql
2
Jak widać wykres T zeruje się w punkcie odległym o od C. Wartość łatwo policzymy
z proporcji:
x
x
l
x
l
x
l
x
ql
ql
ql
4
3
8
3
2
2
4
5
4
3
4
3
=
⇒
⋅
=
⇒
=
+
3
W punkcie D występuje siła poprzeczna, której składowa pionowa wywołuje obrót
rozważanej (lewej) części układu zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara i ma wartość
ql
4
9
. Wynika z tego skokowe zwiększenie siły T o ql
4
9
.
Na odcinku D-E działa obciążenie równomiernie rozłożone, czyli wykres T musi zmieniać się
liniowo aż do zera w punkcie E (gdyż jest to nie obciążony siłą skupioną koniec belki). Tak
więc ostatecznie wykres siły T ma postać:
4
Wykres momentu zginającego M
Zaczynamy od punktu A. W punkcie tym działa skupiony moment o wartości
4
2
ql
rozciągający dolne włókna belki.
Na odcinku A-B siła T=0, więc funkcja M jest stała.
Na odcinku B-C wykres T jest stały, więc wykres M musi być liniowo zmienny. Wartość
momentu zginającego po lewej stronie punktu C ustalimy rozpatrując równowagę
następującego układu:
2
2
2
4
3
4
1
ql
ql
ql
l
T
M
M
B
B
l
C
=
+
=
⋅
+
=
.
5
Z prawej strony przegubu w punkcie C moment skupiony nie występuje, więc
. Na
odcinkach C-D, oraz D-E wykres M jest parabolą wygiętą do dołu, gdyż na tych odcinkach
działa obciążenie poprzeczne równomiernie rozłożone i skierowane do dołu. W punkcie E
oczywiście
, gdyż jest to nieobciążony momentem skupionym koniec belki. Moment
w punkcie D można policzyć rozpatrując równowagę odcinka D-E.
0
=
p
C
M
0
=
M
2
2
1
2
ql
l
ql
M
D
=
⋅
=
Moment ten rozciąga włókna górne.
Pozostaje nam narysowanie wykresu pomiędzy punktami C i D. Wiemy, że wykresem na tym
odcinku jest parabola, wiemy również, że w punkcie o l
4
3
odległym od C występuje
ekstremum lokalne funkcji M. Wartość momentu w tym punkcie obliczymy rozpatrując
równowagę fragmentu
6
2
32
9
16
9
4
3
2
1
4
3
4
3
4
3
ql
l
l
q
l
ql
M
.
ekstr
−
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
=
Tak więc ostatecznie wykres M ma postać:
7
Dla ukazania zależności pomiędzy geometrią, sposobem podparcia i obciążenia belki oraz
wykresami sił przekrojowych umieszczony został poniżej rysunek zbiorczy
α =
8