1
Całka nieoznaczona
∫
=
)
(
)
(
x
f
dx
x
g
Wynik operacji całkowania:
znaleziona funkcja pierwotna f(x) ma taką własność, Ŝe po zróŜniczkowaniu
jej otrzymujemy funkcję podcałkową g(x):
C
x
f
dx
x
g
+
=
∫
)
(
)
(
ściślej:
Przykłady:
C
x
1
n
1
dx
x
1
n
n
+
+
=
+
∫
∫ e
x
dx = e
x
+ C
∫ (1/x) dx = ln x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ sin x dx = - cos x + C
)
(
)
(
]
)
(
[
x
g
dx
x
df
dx
C
x
f
d
=
=
+
Całka oznaczona:
[
] [
]
∫
∫
=
=
+
−
+
=
−
b
a
b
a
dx
x
g
dx
x
g
C
a
f
C
b
f
a
f
b
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
C
x
f
dx
x
g
+
=
∫
)
(
)
(
Niech :
przyrost funkcji pierwotnej na przedziale [a,b]:
nazywamy całką oznaczoną.
)
(
)
(
)
(
a
f
b
f
dx
x
g
b
a
−
=
∫
CZYLI CAŁKA OZNACZONA TO:
C
x
f
dx
x
g
+
=
∫
)
(
)
(
gdzie:
)
(
)
(
]
)
(
[
x
g
dx
x
df
dx
C
x
f
d
=
=
+
2
S
x
x
g
x
x
f
x
a
f
b
f
dx
x
g
i
N
i
i
i
N
i
i
i
b
a
=
∆
→
∆
=
∆
→
∆
=
−
=
∑
∑
∫
)
(
0
lim
)
(
0
lim
)
(
)
(
)
(
Znaczenie całki oznaczonej:
i
i
i
i
x
x
f
x
dx
x
df
x
g
∆
∆
→
∆
=
=
)
(
0
lim
)
(
)
(
i
i
i
x
x
g
x
f
∆
=
∆
)
(
)
(
∫
=
b
a
dx
x
g
S
)
(
Przykłady liczenia energii potencjalnej
Energia potencjalna w pobliŜu powierzchni Ziemi (punkt odniesienia na powierzchni Ziemi y
0
= 0)
mgy
y
mg
E
y
E
y
p
p
=
−
−
=
∫
'
d
)
(
)
0
(
)
(
0
0
)
0
(
=
p
E
dla:
Energia potencjalna idealnej niewaŜkiej spręŜyny (punkt odniesienia x
0
= 0)
2
0
2
1
'
d
)
'
(
)
0
(
)
(
kx
x
kx
E
x
E
x
p
p
=
−
−
=
∫
0
)
0
(
=
p
E
dla:
3
Energia potencjalna w dowolnym punkcie nad powierzchnią Ziemi, odległym o r od środka Ziemi
(zerową energię potencjalną przypisujemy punktowi odniesienia w nieskończoności r → ∞).
r
Mm
G
r
Mm
G
r
r
Mm
G
r
F
E
r
E
r
r
r
p
p
−
=
−
=
−
−
=
−
∞
=
∞
∞
∞
∫
∫
'
'
d
'
'
d
)
(
)
(
2
r
Mm
G
r
E
p
−
=
)
(
0
)
(
=
∞
p
E
dla:
Przykład 1
s
f
>
θ
tg
θ
mg
f
θ
mg
θ
mg
f
N
f
T
T
F
s
s
s
cos
sin
cos
max
max
>
=
=
>
2
2
v
m
E
k
=
∆
mgh
mg
h
smg
W
E
F
p
−
=
−
=
−
=
−
=
∆
θ
θ
θ
sin
sin
sin
θ
θ
θ
θ
ctg
cos
sin
)
cos
(
k
k
k
T
f
mgh
mg
f
h
mg
f
s
W
U
=
=
−
−
=
−
=
∆
0
=
∆
+
∆
+
∆
U
E
E
p
k
0
ctg
2
2
=
−
+
mgh
f
mgh
m
k
θ
v
)
ctg
1
(
2
θ
k
f
gh
−
=
v
Przykłady dotycz
ą
ce prawa zachowania energii
4
Skoczek na linie "bungee" skacze z punktu A i osi
ą
ga najni
Ŝ
szy punkt B. Obliczy
ć
współczynnik spr
ęŜ
ysto
ś
ci liny k (F = -kx) je
ś
li wiadomo,
Ŝ
e miała ona długo
ść
poczatkow
ą
l i podczas skoku rozciagn
ę
ła si
ę
o x = 50% w stosunku do długo
ś
ci
pocz
ą
tkowej. Masa skoczka wynosi m.
mgh
E
A
=
2
)
(
2
kx
x
l
h
mg
E
B
+
−
−
=
Przykład 2
2
)
(
2
kx
x
l
h
mg
mgh
+
−
−
=
dla x = 0.5l :
0
2
2
=
−
−
mgx
mgl
kx
l
mg
k
12
=
0
2
1
2
2
1
2
=
−
−
l
mg
mgl
l
k
mgl
l
k
2
3
8
1
2
=
Przykłady dotycz
ą
ce prawa zachowania energii
Zderzenia:
-doskonale niespręŜyste
-doskonale spręŜyste
-inne
p
1
+p
2
=p’
doskonale niespręŜyste:
-zas. zach. energii mechanicznej –
-niespełniona
- zas. zach. pędu -
spełniona
+
−
=
+
−
=
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
'
'
m
m
m
m
m
m
m
y
y
x
x
x
v
v
v
v
v
+
=
−
+
=
−
'
(
'
(
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
y
)v
v
)v
v
v
m
m
m
m
m
m
m
y
x
x
x
5
przykład zderzenia niecentralnego:
−
=
+
=
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
sin
'
sin
'
0
cos
'
cos
'
θ
θ
θ
θ
v
v
v
v
v
m
m
m
m
m
2
2
2
1
)
'
(
)
'
(
v
v
v
m
2
1
+
m
2
1
=
m
2
1
2
1
2
1
1
zas. zach. energii
zas. zach. pędu
p
1
+p
2
=p
1
’+ p
2
’
doskonale spręŜyste:
- zas. zach. energii mechanicznej -
spełniona
- zas. zach. pędu -
spełniona
E
k1
+E
k2
=E
k1
’+ E
k2
’
przykład zderzenia centralnego (
θ
1
= θ
2
=0
)
+
=
2
2
2
1
2
2
1
1
1
1
)
'
(
)
'
(
'
'
v
v
v
v
v
v
m
2
1
+
m
2
1
=
m
2
1
m
m
m
2
1
2
1
1
zas. zach. energii
zas. zach. pędu
+
−
=
−
2
2
1
1
2
2
1
1
1
)
'
(
)
'
)(
'
(
'
)
'
(
v
v
v
v
v
v
v
v
m
=
m
m
m
2
1
1
1
+
=
−
'
)
'
(
'
)
'
(
2
1
2
2
1
1
1
v
v
v
v
v
v
=
m
m
1
+
+
=
−
'
)
'
(
)
'
(
)
'
(
2
1
1
2
1
1
1
v
v
v
v
v
v
v
=
m
m
1
1
+
=
+
−
=
v
v
v
v
1
1
m
m
m
m
m
m
m
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
'
'
przypadek szczególny gdy m
1
=m
2
=m:
=
=
1
2
1
'
0
'
v
v
v
1
1
'
v
v
≠
→
−
≈
0
'
'
2
1
1
v
v
v
przypadek szczególny gdy m
1
<<m
2:
6
przypadek szczególny: odbicie od bardzo duŜej masy tzn. M>>m
+
=
+
−
=
v
v
v
v
1
1
m
M
m
M
m
M
m
1
1
2
1
1
1
2
'
'
+
=
+
−
=
v
v
v
v
1
1
m
M
m
M
m
M
m
1
1
2
1
1
1
2
'
1
/
1
/
'
→
−
≈
0
'
'
2
1
1
v
v
v
0
1
→
M
m
zas. zach. energii
2
2
2
1
)
'
(
)
'
(
v
v
v
M
2
1
+
m
2
1
=
m
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
2
)
'
(
M
m
M
2
1
+
m
2
1
=
m
2
1
1
1
2
1
1
v
v
v
m
2
1
m
2
1
1
2
1
1
2
1
)
'
(
v
v
≈
0
'
2
1
1
1
1
v
v
v
M
m
m
+
−
≈
'
2
2
1
1
v
v
M
m
≈
M
m
1
1
2
2
'
v
v
≈
zas. zach. pędu
'
'
2
1
1
1
1
v
v
v
M
m
m
+
=
0