Zajęcia 6.
Materiały pomocnicze do ćwiczeo z Ekonometrii
Strona 1 z 4
mgr Emilia Modranka
emodranka@uni.lodz.pl
P
OSTAĆ POTĘGOWA I WYKŁADNICZA MODELI
Postać liniowa modelu
M
ODEL PRZYCZYNOWO
-
SKUTKOWY
–
LINIOWY
M
ODEL TRENDU
LINIOWEGO
t
t
t
X
Y
1
1
0
t
t
t
Y
1
0
α
o
Interpretacja: wartość zmiennej objaśnianej w
przypadku, w którym wszystkie zmienne
objaśniające przyjęłyby wartość zero. W
modelach
przyczynowo-skutkowych
parametr nieinterpretowany.
α
1
Interpretacja: Wzrost zmiennej X1 o jednostkę
powoduje
wzrost
wartości
zmiennej
zależnej Y średnio o
α
1
jednostek zmiennej
zależnej (jeśli mamy więcej niż jedna
zmienna
objaśniająca
–
dodajemy
założenie ceteris paribus – stałym poziomie
wartości
pozostałych
zmiennych
objaśniających)
α
o
Interpretacja: wartość zmiennej objaśnianej w
okresie poprzedzającym zakres próby (t=0)
według oszacowań modelu wyniosła
α
o
jednostek zmiennej objaśnianej
α
1
Interpretacja: Z okresu na okres, wartości
zmiennej objaśnianej rosły średnio w
przybliżeniu o
α
1
jednostek Y
Postać potęgowa modelu
M
ODEL PRZYCZYNOWO
-
SKUTKOWY
–
POTĘGOWY
M
ODEL TRENDU
POTĘGOWEGO
t
e
X
Y
t
t
1
1
0
,
t
k
e
X
X
X
Y
kt
t
t
t
...
2
1
2
1
0
t
e
t
Y
t
1
0
α
0
Interpretacja - poziom zmiennej zależnej Y, gdy
wszystkie zmienne objaśniające przyjmują
wartość 1.
α
1
Interpretacja: Wraz ze wzrostem zmiennej X
1
o 1%,
wartość Y rośnie w przybliżeniu o
α
1
%
(uwaga: nie mnożymy wartości parametru
przez 100, wartość jest już wyrażona w %),
przy założeniu ceteris paribus (w modelu z
wieloma zmiennymi objaśniającymi)
α
0
=exp(lnα
0
) -
poziom zmiennej zależnej Y, gdy
wszystkie zmienne objaśniające (tutaj t)
przyjmują wartość 1
α
1
Interpretacja: Z okresu na okres, wartości
zmiennej objaśnianej rosły średnio w
przybliżeniu o
α
1
% (uwaga: nie mnożymy
wartości parametru przez 100, wartość jest
już wyrażona w %)
0
- poziom zmiennej zależnej Y, gdy wszystkie zmienne objaśniające przyjmują wartośd 1.
k
,...,
,
2
1
- elastycznośd zmiennej zależnej Y względem zmiennej objaśniającej w wykładniku której
znajduje się parametr.
S
PROWADZANIE FUNKCJI
POTĘGOWEJ
DO POSTACI LINIOWEJ WZGLĘDEM PARAMETRÓW
ln
|
1
1
0
t
e
X
Y
t
t
,
ponieważ
b
a
b
a
log
log
)
log(
to:
t
e
X
Y
t
t
ln
ln
ln
ln
1
1
0
,
Wiemy, że:
a
b
a
b
ln
ln
e
X
Y
t
t
t
ln
ln
ln
ln
1
1
0
,
Skoro
1
log
ln
e
e
e
,
t
t
t
X
Y
1
1
0
ln
ln
ln
Zajęcia 6.
Materiały pomocnicze do ćwiczeo z Ekonometrii
Strona 2 z 4
mgr Emilia Modranka
emodranka@uni.lodz.pl
Postać wykładnicza modelu
M
ODEL PRZYCZYNOWO
-
SKUTKOWY
–
WYKŁADNICZY
M
ODEL TRENDU
WYKŁADNICZEGO
t
t
e
Y
X
t
1
1
0
t
kt
t
t
e
Y
X
k
X
X
t
...
2
1
2
1
0
t
e
Y
t
t
1
0
α
0
=exp(lnα
0
) -
poziom zmiennej zależnej Y, gdy
wszystkie
zmienne
objaśniające
(X)
przyjmują wartość 0.
α
1
Interpretacja:
α
1
jest stopą wzrostu. Wzrost
zmiennej X1 o jednostkę powoduje zmianę
zmiennej objaśnianej Y w przybliżeniu o
(
α
1
-1)100
%
α
0
=exp(lnα
0
) -
poziom zmiennej zależnej Y, gdy
wszystkie zmienne objaśniające (tutaj t)
przyjmują wartość 0, czyli podobnie jak w
modelu liniowym jest to wartość w okresie
poprzedzającym zakres próby, t=0.
α
1
Interpretacja:
α
1
jest stopą wzrostu. Z okresu na
okres, wartości zmiennej objaśnianej rosły
średnio w przybliżeniu o (
α
1
-1)100
%
S
PROWADZANIE FUNKCJI
WYKŁADNICZEJ
DO POSTACI LINIOWEJ WZGLĘDEM PARAMETRÓW
ln
|
1
1
0
t
t
e
Y
X
t
t
t
e
Y
X
t
ln
ln
ln
ln
1
1
0
t
t
t
X
Y
1
1
0
ln
ln
ln
)
exp(ln
1
ln
1
1
czyli
e
D
WUCZYNNIKOWA FUNKCJA
C
OBBA
-D
OUGLASA
Jest najlepiej rozpoznawalną funkcją produkcji.
e
L
K
V
t
t
t
V – wielkość produkcji,
K – kapitał, majątek trwały
L – praca
ξ – składnik losowy
α, β, γ – dodatnie parametry
Jest to model nieliniowy i aby oszacowad jego parametry za pomocą MNK, należy go sprowadzid do postaci
liniowej względem parametrów, przez obustronne zlogarytmowanie:
ln
|
e
L
K
V
t
t
t
=>
t
t
t
L
K
V
ln
ln
ln
ln
Procentowe przyrosty produkcji w zależności od przyrostów kapitału i siły roboczej
%
100
1
1
1
%
100
L
L
K
K
V
V
FUNKCJA
C
OBBA
-D
OUGLASA Z POSTĘPEM TECHNICZNO
-
ORGANIZACYJNYM
Szacowanie wpływu postępu techniczno-organizacyjnego za pomocą funkcji Cobba-Douglasa polega na
zdynamizowaniu (dołączeniu zmiennej czasowej) w sposób multiplikatywny modelu.
e
e
L
K
V
t
t
t
t
gdzie:
V – wielkość produkcji,
K – kapitał, majątek trwały
L – praca,
t – zmienna czasowa
ξ – składnik losowy,
α, β, γ, δ – dodatnie parametry
Zajęcia 6.
Materiały pomocnicze do ćwiczeo z Ekonometrii
Strona 3 z 4
mgr Emilia Modranka
emodranka@uni.lodz.pl
Jest to model nieliniowy i aby oszacowad jego parametry za pomocą MNK, należy go sprowadzid do postaci
liniowej względem parametrów, przez obustronne zlogarytmowanie:
t
L
K
V
t
t
t
ln
ln
ln
ln
δ – miernik neutralnego postępu technicznego.
Z okresu na okres produkcja dzięki postępowi techniczno-organizacyjnemu wzrasta średnio o (e
δ
-1)100%. lub w
przybliżeniu δ100%.
Zadanie 12
1
Dane są oszacowania parametrów modelu trendu wykładniczego
%
695
,
7
,
955
,
0
,
073324
,
0
)
00806
,
0
(
)
05003
,
0
(
10537
,
0
37228
,
0
ˆ
log
2
V
R
S
t
y
t
gdzie:
y
- produkcja przedsiębiorstwa w latach 1988-1997 (mln szt.), t – zmienna czasowa
przyjmująca wartości kolejnych liczb naturalnych.
Rozwiązanie 12
Parametry strukturalne modelu są statystycznie istotne, można zatem powrócić do postaci
wykładniczej. Po odlogarytmowaniu (czyli podniesieniu liczby e do potęgi o wykładnikach parametru
zerowego i przy zmiennej czasowej.
t
t
y
275
,
1
2356
ˆ
W 1987 roku, tj. w roku poprzedzającym pierwszy badany rok (t=0), wielkość produkcji w
przedsiębiorstwie kształtowała się na poziomie 2356 mln sztuk (α
0
) i w rozpatrywanym okresie
wzrastała średnio o (1,275-1)·100%, tj. 0 27,3%. Stopa wzrostu produkcji wyniosła 127,3%.
Zadanie 13
2
Na podstawie oszacowań parametrów dwuczynnikowej funkcji Cobba-Douglasa, oraz oszacowań
parametrów struktury stochastycznej:
0015
,
0
,
0015
,
0
,
0106
,
0
0819
,
13
3315
,
20
7572
,
14
)
0388
,
0
(
)
0222
,
0
(
)
1757
,
0
(
ln
5080
,
0
4521
,
0
5926
,
2
ln
2
e
e
t
t
t
V
S
L
K
V
1. Dokonać weryfikacji modelu;
2. Zapisać model w postaci potęgowej
3. Obliczyć elastyczności produkcji względem czynników produkcji oraz zinterpretować
otrzymane wyniki;
4. O ile procent wzrośnie produkcja, jeśli wartość majątku trwałego wzrośnie o 3%, a liczba
zatrudnionych zmniejszy się o 2%;
Rozwiązanie 13
1. Jednoprocentowy wzrost nakładów inwestycyjnych (K) powoduje w przybliżeniu wzrost
wielkości produkcji o 0,4521%, gdy pozostałe czynniki są na stałym poziomie.
Jednoprocentowy wzrost liczby pracujących powoduje w przybliżeniu wzrost wielkości
produkcji o 0,5080%, przy założeniu, że pozostałe czynniki są na stałym poziomie.
2.
5080
4521
,
0
5926
,
2
t
t
t
L
K
e
V
3. Zgodnie z definicją elastyczności wielkości produkcji względem kapitału:
K
K
V
V
KV
VK
K
V
/
1
zadanie 18. *w:+ Kukuła K. (red.), (2003), Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach, Wydawnictwo PWN, s.
65.
2
zadanie 28. *w:+ Kukuła K. (red.), (2003), Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach, Wydawnictwo PWN, s.
154.
Zajęcia 6.
Materiały pomocnicze do ćwiczeo z Ekonometrii
Strona 4 z 4
mgr Emilia Modranka
emodranka@uni.lodz.pl
i pracy
L
L
V
V
LV
VL
L
V
/
Interpretacja elastyczności w przybliżeniu:
Parametr przy zmiennej K: Zwiększenie majątku trwałego o 1% spowoduje średnio rzecz biorąc wzrost
produkcji o około 0,4521%, przy założeniu że średnia liczba zatrudnienia nie ulegnie zmianie.
Parametr przy zmiennej L: Wzrost średniej liczby zatrudnionych o 1% będzie powodować (średnio rzecz
biorąc) wzrost produkcji o 0,5080%.
Dokładne obliczenie przyrostów względnych, przy dowolnych lub jednoczesnych zmianach
względnych argumentów.
%
100
1
1
1
%
100
L
L
K
K
V
V
Jednoprocentowy wzrost zatrudnienia będzie wywoływał następujący względny przyrost produkcji
czystej:
%
100
1
1
%
100
L
L
V
V
, gdzie
01
,
0
L
L
%
5068
,
0
%
100
)
1
)
01
,
0
1
((
%
100
5080
,
0
V
V
4. Aby odpowiedzieć na pytanie o ile procent zmieni się produkcja, jeśli K zmieni się o
%
100
K
K
i jednocześnie L zmieni się o
%
100
L
L
%
100
%
100
L
L
K
K
V
V
W przybliżeniu
%
3403
,
0
5080
,
0
%)
2
(
4521
,
0
%
3
%
100
V
V
Dokładnie
%
3105
,
0
%
100
1
02
,
0
1
03
,
0
1
%
100
5080
,
0
4521
,
0
V
V
Jeśli kapitał produkcyjny wzrośnie o 3% a liczba zatrudnionych wzrośnie 2%, to wielkość produkcji
wzrośnie o 0,3105%