Przekształcenie liniowe
stosowane w analizie obwodów
trójfazowych.
Składowe symetryczne.
EXIT
MENU
WYKŁAD NR 20
Przekształcenie liniowe
stosowane w analizie obwodów
trójfazowych.
Składowe symetryczne.
EXIT
MENU
WYKŁAD NR 20
Wykład 20
•
•
Metoda składowych symetrycznych.
Metoda składowych symetrycznych.
•
•
Filtry składowych symetrycznych.
Filtry składowych symetrycznych.
MENU
EXIT
Istnieją trzy układy napięć trójfazowych
0
2
1
A
A
A
U
U
U
Wykład 20
Wykład 20
;
;
;
0
0
2
2
1
2
1
A
B
A
B
A
B
U
U
U
a
U
U
a
U
=
=
=
0
0
2
2
2
1
1
A
C
A
C
A
C
U
U
U
a
U
U
a
U
=
=
=
MENU
EXIT
(1)
(2)
(3)
układ zgodny (1), układ przeciwny (2) i układ zerowy (3):
• Idea
metody składowych symetrycznych
polega na tym, że stosując odpowiednie
przekształcenie liniowe zastępujemy układ
trzech wektorów niesymetrycznych przez
trzy równoważne układy symetryczne.
MENU
EXIT
Wykład 20
Wykład 20
• Załóżmy, że dane są trzy napięcia
tworzące układ niesymetryczny. Jeżeli układ tych
wektorów zastępujemy przez trzy układy symetryczne, to
każde z napięć wyrażamy przez sumę trzech napięć po
jednym z każdego układu symetrycznego:
C
B
A
U
U
U
,
,
2
2
1
0
2
1
2
0
2
1
0
A
A
A
C
A
A
A
B
A
A
A
A
U
a
U
a
U
U
U
a
U
a
U
U
U
U
U
U
+
+
=
+
+
=
+
+
=
MENU
EXIT
Wykład 20
Wykład 20
(4)
• Przyjmujemy, że wektorem podstawowym
każdego układu jest wektor odpowiadający fazie
A i wprowadzimy oznaczenia:
• Wektory nazywamy składowymi
symetrycznymi odpowiednio zerową, zgodną i
przeciwną. Uwzględniając składowe symetryczne:
.
;
;
2
2
1
1
0
0
A
A
A
U
U
U
U
U
U
=
=
=
,
,
,
2
1
0
U
U
U
2
2
1
0
2
1
2
0
2
1
0
U
a
U
a
U
U
U
a
U
a
U
U
U
U
U
U
C
B
A
+
+
=
+
+
=
+
+
=
MENU
EXIT
Wykład 20
Wykład 20
(5)
(6)
• Napięcia układu niesymetrycznego wyraziliśmy w funkcji
trzech składowych symetrycznych. W postaci
macierzowej:
• Wprowadzimy oznaczenia:
•
- macierz kolumnowa (wektor) napięć
niesymetrycznych
- macierz kolumnowa (wektor) składowych
symetrycznych
- macierz przekształcenia.
MENU
EXIT
Wykład 20
Wykład 20
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
C
B
A
U
U
U
U
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
2
1
0
U
U
U
U
S
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
2
2
1
1
1
1
1
a
a
a
a
S
(7)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
0
2
2
1
1
1
1
1
U
U
U
a
a
a
a
U
U
U
C
B
A
• Równanie (7) można zapisać krótko w postaci
podobnie dla prądów .
Równania (8), (9) stosujemy wtedy, gdy są dane składowe
symetryczne, a należy wyznaczyć układ niesymetryczny.
Przeważnie jednak interesuje nas zagadnienie odwrotne:
wyznaczenie składowych symetrycznych przy danym
układzie niesymetrycznym. W tym celu pomnożymy
lewostronnie równanie (8) przez macierz odwrotną ,
W wyniku czego otrzymamy .
Stąd przy czym:
S
SU
U
=
S
SI
I
=
(8)
(9)
1
−
S
S
SU
S
U
S
1
1
−
−
=
U
S
U
S
1
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−
a
a
a
a
S
2
2
1
1
1
1
1
1
3
1
MENU
EXIT
Wykład 20
Wykład 20
(10)
(11)
(11)
• W postaci rozwiniętej równanie (11) napiszemy tak:
czyli:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
C
B
A
U
U
U
a
a
a
a
U
U
U
2
2
2
1
0
1
1
1
1
1
3
1
(12)
(
)
(
)
(
)
C
B
A
C
B
A
C
B
A
U
a
U
a
U
U
U
a
U
a
U
U
U
U
U
U
+
+
=
+
+
=
+
+
=
2
2
2
1
0
3
1
3
1
3
1
(13)
Wykład 20
Wykład 20
MENU
EXIT
• Dla zilustrowania przedstawionych równań
przeanalizujemy następujące zagadnienie. Załóżmy, że
odbiornik trójfazowy symetryczny jest zasilany ze źródła
trójfazowego niesymetrycznego o napięciach
(rys. 1a). W wyniku rozłożenia niesymetrycznego układu
napięć na składowe symetryczne, obwód pokazany na rys.
1a można zastąpić obwodem jak na rys. 1b.
Wykład 20
Wykład 20
MENU
EXIT
C
B
A
U
U
U
,
,
1a)
1b)
• Rys. 1. Ilustracja metody składowych symetrycznych w
zastosowaniu do układu trójfazowego zasilanego
napięciami niesymetrycznymi: a) układ wyjściowy; b)
układ z zaznaczonymi składowymi symetrycznymi napięć;
c) układy składowe: zerowy, zgodny i przeciwny.
Wykład 20
Wykład 20
MENU
EXIT
=
1c)
+
+
• Jeżeli następnie zastosujemy zasadę superpozycji, to
wydzielimy 3 generatory symetryczne i utworzymy 3
niezależne układy trójfazowe symetryczne zasilane
układem napięć: zerowym, zgodnym i przeciwnym. W
każdym układzie obliczamy rozpływ prądów, przy czym
obliczenia są przeważnie bardzo proste, gdyż dotyczą
układów symetrycznych. Wypadkowy rozpływ prądów
otrzymujemy w wyniku geometrycznego dodania prądów
obliczonych w każdym układzie.
W metodzie składowych symetrycznych oblicza się nie
wszystkie wielkości, lecz wielkości odniesione do fazy
podstawowej, którą jest faza A.
Wykład 20
Wykład 20
MENU
EXIT
•
Napiszemy, zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa,
równania dla oczek schematów z rys. 1c obejmujących
fazę A i przewód zerowy.
– Dla schematu składowej zerowej:
przy czym .
Stąd
,
gdzie: - impedancja dla składowej zerowej.
-- Dla schematu składowej zgodnej ,
gdzie - impedancja dla składowej zgodnej.
-- Dla schematu składowej przeciwnej ,
gdzie: - impedancja dla składowej przeciwnej.
Wykład 20
Wykład 20
MENU
EXIT
N
N
I
Z
I
Z
U
+
=
0
0
0
3I
I
N
=
0
0
0
0
0
3
I
Z
I
Z
I
Z
U
N
=
+
=
N
Z
Z
Z
3
0
+
=
1
1
I
Z
U
=
Z
Z
=
1
2
2
I
Z
U
=
Z
Z
=
2
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
•
Równaniom (16), (17), (18) odpowiadają schematy
jednofazowe przedstawione na rys. 2:
• Moc pozorna w postaci zespolonej
• Stąd moc czynna
• Moc bierna
Wykład 20
Wykład 20
MENU
EXIT
0
I
1
I
2
I
0
U
1
U
2
U
Z
N
Z
3
Z
Z
=
1
Z
Z
=
2
(
)
*
2
2
*
1
1
*
0
0
3
I
U
I
U
I
U
S
+
+
=
(19)
(
)
2
2
2
1
1
1
0
0
0
cos
cos
cos
3
Re
ϕ
ϕ
ϕ
I
U
I
U
I
U
S
P
+
+
=
=
(20)
(
)
2
2
2
1
1
1
0
0
0
sin
sin
sin
3
Im
ϕ
ϕ
ϕ
I
U
I
U
I
U
S
Q
+
+
=
=
(21)
Praktyczne wnioski z wzorów (13) i (15):
•
(a) w układzie trójfazowym trójprzewodowym składowa zerowa prądu
przewodowego jest równa zeru, ;
•
(b) w układzie trójfazowym czteroprzewodowym prąd w przewodzie
zerowym jest równy potrójnej wartości składowej zerowej,
•
(c) w układzie trójfazowym zarówno trójprzewodowym, jak i cztero-
przewodowym, składowa zerowa napięć międzyfazowych jest równa zeru,
gdyż suma napięć międzyprzewodowych zawsze jest równa zeru;
•
(d) w uzwojeniach źródła lub odbiornika połączonego w trójkąt, może krążyć
składowa zerowa prądów fazowych, ale nie może wyjść poza trójkąt;
•
(e) ponieważ w maszynach elektrycznych trójfazowych układ zgodny prądów
wywołuje pole wirujące zgodne z kierunkiem prędkości obrotowej, a układ
przeciwny prądów wywołuje pole wirujące przeciwne do kierunku prędkości
obrotowej, zatem duża niesymetria w układzie trójfazowym może
spowodować zmianę kierunku wirowania maszyn (przy przewadze składowej
przeciwnej);
Wykład 20
Wykład 20
MENU
EXIT
0
0
=
I
;
3
0
I
I
N
=
Praktyczne wnioski z wzorów (13) i (15):
• (f) występowanie składowej przeciwnej jest dla pracy
maszyn elektrycznych niekorzystne, gdyż pole
magnetyczne wirujące przeciwnie do kierunku wirowania
maszyny indukuje prądy o podwójnej częstotliwości:
• (g) przy przepływie przez linię elektroenergetyczną
składowych zerowych prądu, powstaje w otoczeniu linii
pole magnetyczne, które może wywierać niekorzystny
wpływ na przebiegające w sąsiedztwie inne linie, np. linie
telekomunikacyjne.
Wykład 20
Wykład 20
MENU
EXIT
Filtry składowych symetrycznych
•
Filtrami składowych symetrycznych są nazywane
urządzenia, których zadaniem jest wydzielenie
odpowiednich składowych symetrycznych napięcia i prądu
występujących w układzie trójfazowym. Zaciski
wejściowe filtru są dołączone do odpowiedniej sieci
trójfazowej, a do jego zacisków wyjściowych jest
dołączony przyrząd pomiarowy lub przekaźnik. Zadaniem
przekaźnika jest albo sygnalizowanie niesymetrii, która
może powstać w wyniku występującego w sieci
zakłócenia, albo spowodowanie wyłączenia pewnych
urządzeń wrażliwych na działanie składowych
symetrycznych zerowych lub przeciwnych.
•
Rozróżniamy filtry składowej zerowej, składowej
przeciwnej i składowej zgodnej.
Wykład 20
Wykład 20
MENU
EXIT
• Rys. 2. Filtry składowej zerowej prądu: a) zastosowanie
trzech przekładników prądowych połączonych równolegle;
b) przekładnik Ferrantiego.
Wykład 20
Wykład 20
MENU
EXIT
2a)
2b)
•
W
układzie trójfazowym czteroprzewodowym
włączenie amperomierza do przewodu zerowego pozwala
stwierdzić, czy istnieje składowa zerowa prądów. Prąd w
przewodzie zerowym jest bowiem równy potrójnej
wartości składowej zerowej prądów przewodowych. Tak
włączony amperomierz spełnia więc rolę filtru składowej
zerowej. W układzie trójfazowym trójprzewodowym
stosuje się filtry składowej prądu jak pokazano na rys. 2.
W układzie z rys. 2a przez amperomierz płynie suma
prądów przetransformowanych przez przekładniki
prądowe. Układ przedstawiony na rys. 2b stosujemy np. w
sieci kablowej, gdy nie ma możliwości włączenia
przekładników do poszczególnych faz sieci. Układ ten nosi
nazwę przekładnika Ferrantiego. Działa on na zasadzie
indukowania w uzwojeniu przekładnika napięcia w
przypadku, gdy w otoczeniu kabla istnieje zmienne pole
magnetyczne.
Wykład 20
Wykład 20
MENU
EXIT
• Na rys. 3 jest
przedstawiony
filtr składowej
zerowej napięcia
fazowego.
Uzwojenie
pierwotne filtru
jest połączone w
gwiazdę z
uziemionym
punktem
zerowym, a
uzwojenie wtórne
w otwarty trójkąt.
Wykład 20
Wykład 20
MENU
EXIT
Rys. 3
• Rys. 4. Filtr składowej symetrycznej zgodnej i przeciwnej.
Wykład 20
Wykład 20
MENU
EXIT
Rys. 4
• C.d.: Przedstawiamy dla przykładu jeden ze stosowanych
układów (rys. 4). Założymy, że w rozpatrywanym układzie
składowa zerowa prądów jest równa zeru, co jest jak
wiadomo spełnione w układach trójprzewodowych. Ustalimy
warunki, jakie muszą spełniać impedancje i . Impe-
dancję przekaźnika lub innego elementu reagującego na
występowanie określonej składowej symetrycznej oznaczono
•
Na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa dla oczka
obejmującego impedancje mamy
•
.
•
Na podstawie pierwszego prawa Kirchhoffa dla węzłów
K i L:
•
Podstawiając prądy i do równania (22)
otrzymamy
Wykład 20
Wykład 20
MENU
EXIT
C
Z
A
Z
p
Z
p
A
C
Z
Z
Z
,
,
0
=
+
+
p
p
LO
A
KO
C
I
Z
I
Z
I
Z
(22)
;
p
C
KO
I
I
I
+
=
.
p
A
LO
I
I
I
+
=
(23)
KO
I
LO
I
p
C
A
C
C
A
A
p
Z
Z
Z
I
Z
I
Z
I
+
+
+
−
=
. (24)
• Prądy oraz są prądami płynącymi po stronie
wtórnej transformatorów prądowych, a więc w pewnej
skali wyrażają prądy przewodowe. Przy przyjętym
założeniu, że w układzie nie występują skłądowe zerowe,
można napisać
• Po podstawieniu prądów oraz wyrażonych za
pośrednictwem skłądowych zgodnej i przeciwnej, do
równania (24) otrzymamy
skąd po przegrupowaniu wyrazów licznika
Wykład 20
Wykład 20
MENU
EXIT
C
I
A
I
;
2
1
I
I
I
A
+
=
.
2
2
1
I
a
I
a
I
C
+
=
(25)
A
I
C
I
,
)
(
)
(
2
2
1
2
1
p
C
A
C
A
p
Z
Z
Z
I
a
I
a
Z
I
I
Z
I
+
+
+
+
+
−
=
(26)
.
)
(
)
(
2
2
1
p
C
A
C
A
C
A
p
Z
Z
Z
Z
a
Z
I
Z
a
Z
I
I
+
+
+
+
+
−
=
(27)
• Prąd przekaźnika reaguje tylko na składową zgodną,
jeśli
czyli
Warunek określony równaniem (29) można spełnić
przyjmując np.
Układ z rys. 4 jest filtrem składowej zgodnej jeśli
impedancje i są dobrane zgodnie z zależnościami
(30): Prąd przekaźnika reaguje tylko na składową
przeciwną, jeśli
czyli
Wykład 20
Wykład 20
MENU
EXIT
p
I
,
0
2
=
+
C
A
Z
a
Z
(28)
.
3
2
Π
=
−
=
j
C
C
A
e
Z
Z
a
Z
(29)
;
R
Z
C
=
.
3
2
2
*
3
R
j
R
e
R
Z
j
A
+
=
=
π
(30)
A
Z
C
Z
p
I
,
0
=
+
C
A
Z
a
Z
(31)
.
3
π
j
C
C
A
e
Z
Z
a
Z
−
=
−
=
(32)
•
Warunek określony równaniem (32) można spełnić
przyjmując np.
• Układ z rys. 4 jest filtrem składowej przeciwnej jeżeli
impedancje i są dobrane zgodnie z zależnościami
(32). W przypadku filtru składowej zgodnej impedancja
ma charakter indukcyjny, w przypadku filtru składowej
przeciwnej impedancja ma charakter pojemnościowy,
przy czym moduły tej impedancji w obu przypadkach są
jednakowe.
Wykład 20
Wykład 20
MENU
EXIT
;
R
Z
C
=
.
3
2
2
*
3
R
j
R
e
R
Z
j
A
−
=
=
−
π
(33)
A
Z
C
Z
A
Z
A
Z