A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
26
normatywnej teorii decyzji.
2. Uwagi na temat użyteczności pieniędzy
W wielu sytuacjach praktycznych, zwłaszcza w działalności
gospodarczej, perspektywy moŜna wyrazić jako sumy pienięŜne. Miarami
ilości pieniędzy są pewne liczby jednostek monetarnych (złotych, euro,
dolarów itp.). W takich przypadkach często a nawet zwykle traktuje się
liczby owych jednostek monetarnych jako uŜyteczności lub jako liczby
proporcjonalne do uŜyteczności, to jest zakłada się, Ŝe u(M) = M lub u(M) =
kM.
Objawia się to tym, Ŝe często w problemach decyzyjnych (np. zadaniach
optymalizacyjnych) dąŜymy do maksymalizacji uzyskanych kwot pieniędzy
lub minimalizacji kwot wydawanych. Ale jeśli nawet świadomie zaniedbamy
fakt, Ŝe taka funkcja uŜyteczności pomija inne aspekty perspektyw (np.
etyczne i humanitarne), to i tak ta skala wartości zwykle nie jest całkowicie
odpowiednią podstawą analizy problemów decyzyjnych dotyczących
pieniędzy. Przykład tak zwanego „paradoksu petersburskiego" jest ilustracją
wynikających stąd trudności.
Przykład (Paradoks Petersburski) Proponują Wam za opłatą,
następującą perspektywę losową. Zostanie Wam wypłacona kwota 2
N
złotych, pod warunkiem, Ŝe w serii rzutów monetą pierwszego orła uzyskacie
dopiero w N-tym rzucie. Oznacza to, Ŝe jeśli orzeł wypadnie za pierwszym
razem otrzymacie 2 zł , jeśli za pierwszym razem reszka a orzeł za drugim
dostaniecie 2
2
=4zł , …., jeśli przez pierwszych 9 rzutów wypadną reszki a
orzeł wypadnie za 10 to otrzymacie 2
10
=1024 zł, itd. Jaką opłatę zgodzicie
się wnieść za udział w tej loterii
? Zastanówmy się co wasza (nieznana mi)
odpowiedź oznacza dla przypuszczenia, Ŝe uŜyteczność pieniędzy jest dla
was proporcjonalna do ich ilości, tzn. Ŝe jest funkcją liniową. Oznaczmy
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
27
naszą grę jako mieszankę L = [ l, 2, 3, ...]
(1/2 ,1/4,1/8,...)
. Jak wiadomo
prawdopodobieństwo uzyskania pierwszego orła dopiero w N tym rzucie jest
równe 1/2
N
.
Zatem, zakładając, Ŝe uŜyteczność pieniędzy jest funkcją
liniową, tzn. u(M) = k M, dla dowolnej skończonej liczby N otrzymujemy:
u
(L) ≥
kN
k
k
u
n
n
n
n
N
n
n
=
+
+
+
+
=
=
∑
∑
∞
=
=
)
1
....
1
1
1
(
2
1
2
2
1
)
2
(
1
1
PoniewaŜ N moŜe być dowolnie duŜe, więc okazuje się, Ŝe u(L)=
• .
Okazało się więc, Ŝe jeŜeli uŜyteczność pieniędzy mierzy się wielkością
proporcjonalną do ich kwoty, to powinniście zgodzić się na wniesienie kaŜdej
opłaty w zamian za moŜliwość uczestnictwa w tej grze, poniewaŜ
uŜyteczność loterii wynosi nieskończoność, a zatem z własności A funkcji
uŜyteczności wynika, Ŝe loteria ta jest dla nas bardziej atrakcyjna od
dowolnej kwoty pieniędzy (np. 1 mln zł) bo uŜyteczność dowolnej,
określonej kwoty pieniędzy jest skończona. Jasne jest, Ŝe ludzie zdrowi na
umyśle nie wniosą dowolnie wielkiej zapłaty za udział w tej loterii - na ogół
nie chcą wnosić nawet skończonych, ale wysokich opłat za udział w tej grze.
Wynika z tego, Ŝe uŜyteczność pieniędzy nie jest liniową funkcją ich ilości.
W rzeczywistości badania behawioralne wykazują, Ŝe większość
ludzi ma nieliniową funkcję uŜyteczności pieniędzy. Na przykład całkowity
kapitał wielkości kilku groszy jest tak samo zły jak zupełny brak pieniędzy
— czyli uŜyteczność sum groszowych jest w istocie zerowa. Z drugiej strony
perspektywa otrzymania dwu miliardów złotych nie jest duŜo atrakcyjniejsza
niŜ perspektywa jednego miliarda - z pewnością nie jest dwukrotnie
atrakcyjniejsza! Gdy wielkość kapitału osiąga takie wyŜyny, przyrosty
uŜyteczności zdają się stopniowi maleć. Na rysunku 1 pokazano typowy
wykres funkcji uŜyteczności u(M), wykreśloną względem kapitału
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
28
całkowitego M - krzywa ta ilustruje funkcje uŜyteczności pieniędzy
charakterystyczne dla większości ludzi. Jest ona zawsze funkcją rosnącą,
zgodnie z obserwacją, Ŝe im większa jest ilość pieniędzy, tym większa jest jej
atrakcyjność. W normalnych sytuacjach nie zdarza się, by większy kapitał
był mniej „uŜyteczny" niŜ mniejszy, niezaleŜnie od osobistego stosunku
decydenta do pieniędzy. Wszak gdyby na przykład był pieniądzom zupełnie
niechętny właściciel kapitału mógłby nadmiar spalić, zakopać lub oddać
komuś (np. bardziej potrzebującym) osiągając w ten sposób wyŜszą
uŜyteczność.
Rys.1 Typowy kształt funkcji uŜyteczności pieniędzy
W trakcie rozwiązywania konkretnego problemu decyzyjnego
wygodnie jest czasem skupić uwagę na małym fragmencie krzywej
reprezentującej u(M), czyli naszą funkcję uŜyteczności pieniędzy, a
mianowicie, na tej części krzywej, która jest w danym problemie istotna.
Rzeczą naturalną jest przy tym odkładanie na osi odciętych raczej sum
pienięŜnych, które moŜna zyskać lub stracić, niŜ ogólnych zasobów
kapitałowych. Trzeba jednak pamiętać, Ŝe wówczas funkcja u(M), gdzie
M
u
(M)
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
29
przez M oznaczono przyrost lub zmniejszenie zasobów od stanu
początkowego M
0
,
jest w rzeczywistości funkcją u
Mo
(M)=u(M+M
o
). Stąd teŜ
przyjmowana przez daną osobę funkcja uŜyteczności pieniędzy moŜe
wydawać się róŜną, w róŜnych sytuacjach, po prostu dlatego, Ŝe osoba ta
działa wokół róŜnych punktów na swej pełnej krzywej uŜyteczności. JeŜeli
przyjęta funkcja uŜyteczności pieniędzy jest taka, jak pokazano na rysunku 1
to jest oczywiście moŜliwe, Ŝe (lokalne) funkcje uŜyteczności dla zysków i
strat będą wypukłe w jednych, a liniowe lub wklęsłe w innych przypadkach,
czyli takie, jak pokazane na kolejnych rysunkach.
Rys. 2. Wklęsła funkcja uŜyteczności
Rys. 3. Wypukła funkcja uŜyteczności
Rysunek 2 na ogół odpowiada „duŜemu” kapitałowi początkowemu
M
0
, rys 3 odpowiada sytuacjom, w których kapitał początkowy M
0
jest
„bliski” zera. Zastanówmy się co się kryje za jednym lub drugim kształtem
funkcji ryzyka.
Przykład. Przypuśćmy, Ŝe decydent staje przed następującym
wyborem: za 1600 zł moŜe wziąć udział w loterii [10 000 zł., 0zł.]
0.16
( np. w
losowaniu na kole fortuny, lub inwestycje w pewna spółkę). Znaczy to, Ŝe
jeŜeli zapłaci za udział w losowaniu (kupi akcje) to zyskuje 8 400 zł jeśli
wylosuje 10 000, jeŜeli z kolei wylosuje 0 to straci posiadane 1 600zł.
u
(M)
M
u
(M)
M
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
30
ZauwaŜmy, Ŝe wartość oczekiwana wygranej w loterii jest równa kwocie,
którą naleŜy uiścić za wzięcie w niej udziału. Inaczej mówiąc decydent stoi
przed wyborem: pewne 1600 zł czy (w zamian) udział w loterii, której
wartość oczekiwana wynosi dokładnie tyle samo. Co wybierze? Dowiemy się
o tym jeśli poznamy jego funkcji uŜyteczności. ZałóŜmy, Ŝe jest ona dla kwot
mniejszych od 1 000 000 zł dana wzorem:
M
M
u
=
)
(
Otrzymujemy, Ŝe u(0) = 0, u(1600) = 40, i u(10 000) = 100. W takim
razie uŜyteczność proponowanej decydentowi loterii wyliczamy nastepująco
u
([0, 10 000]
0.16
) = 0,84 u(0) + 0,16 u(10) = 16
UŜyteczność tego zakładu jest więc mniejsza niŜ uŜyteczność
zatrzymania 1 600zł przy sobie, wynosząca 40. Tak więc status quo będzie
atrakcyjniejsze dla tego decydenta niŜ perspektywa losowania, pomimo Ŝe
wartość oczekiwana wygranej w zakładzie jest identyczna jak kwota, która
trzeba by zainwestować. Powiemy, Ŝe nasz decydent ma awersje do ryzyka.
Rozumowanie podobne do przedstawionego w przykładzie stanowi
podstawę do umownego, ale zgodnego z intuicją podziału decydentów na
skłonnych
do ryzyka i na czujących awersje do ryzyka, no i na względem
ryzyka obojętnych.
JeŜeli decydent woli gwarantowaną kwotę M od udziału w loterii w
której oczekiwana wygrana wynosi M, to mówimy, Ŝe ma awersje do ryzyka.
Woli to znaczy, Ŝe dla niego uŜyteczność loterii jest mniejsza od
równowaŜnej jej kwoty pieniędzy uzyskiwanej na pewno. ZauwaŜmy, Ŝe
ryzykując, mógłby zyskać więcej, ale mógłby teŜ stracić i tego się właśnie
obawia. Ryzykując czyli biorąc udział w przedsięwzięciu, którego modelem
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
31
jest loteria, w praktyce moŜe to być inwestycja giełdowa lub jakieś inne
przedsięwzięcie gospodarcze zamiast np. pewnej inwestycji w obligacje
skarbu państwa. ZauwaŜmy, Ŝe taki decydent ma wklęsłą funkcję
uŜyteczności, tak jak pokazano na poniŜszym rysunku.
u
(M)
M
M
1
M
2
u
(M
2
)
u
(M
1
)
u
([M
1
,M
2
]
r
)=r u(M
1
)+(1-r)u(M
2
)
u
(r M
1
+
(1-r)M
2
)
Na rysunku tym czerwona linia reprezentuje uŜyteczności róŜnych
loterii (róŜne punkty zaleŜą od tego jakie jest prawdopodobieństwo r
wygranej M
1
). Widzimy, Ŝe uŜyteczności kwot równym wartościom
oczekiwanym loterii znajdują się ponad nimi tzn.
u
(E([M
1
,M
2
]
r
))=
u
(r M
1
+
(1-r)M
2
) > r u(M
1
)+(1-r)u(M
2
) = u([M
1
,M
2
]
r
)
czyli loterie są dla takiego decydenta mniej atrakcyjne.
Jest oczywiste, Ŝe analogicznie argumentując moŜemy wykazać, Ŝe
wypukła funkcja uŜyteczności obserwowana w pewnym przedziale kwot
pienięŜnych sygnalizuje skłonność decydenta do ryzyka, co w naszej
interpretacji ściśle rzecz ujmując oznacza, Ŝe decydent kaŜdą posiadaną
kwotę M uwaŜa za mniej atrakcyjną od udziału w loterii, w której
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
32
oczekiwana wygrana wynosi M, a wygrane naleŜą do z rozwaŜanego zakresu
kwot. Wynika teŜ z naszych rozwaŜań, Ŝe decydent obojętny wobec ryzyka
to taki którego funkcja ryzyka w zakresie obejmującym rozwaŜane w
problemie kwoty jest liniowa.
Na zakończenie wykładu poświęconego teorii uŜyteczności
przedstawimy jeszcze jeden interesujący przykład. Pochodzi on z pracy M.
Allais z 1953 roku. Ilustruje on dwa waŜne aspekty związane z
wykorzystywaniem tej teorii. RozwaŜmy mianowicie sytuację, w której
decydent ma przed sobą trzy (nielosowe) perspektywy uporządkowane
następująco: P1>P2>P3. Zgodnie z poznaną teorią zawsze moŜemy tak
wybrać funkcję uŜyteczności u, Ŝe u(P1)=1 oraz u(P3)=0. Zatem wszystkie
moŜliwe preferencje decydenta zaleŜą od wyboru wartości u
2
=u
(P2).
Dokładniej, preferencje te od tej wartości nie zaleŜą – mamy na myśli jedynie
to, Ŝe róŜne moŜliwe preferencje odzwierciedlane są jednoznacznie przez
jedyny odpowiadający im wybór wartości u
2
.
RozwaŜmy teraz dwie róŜne loterie tych perspektyw. O ich postaci
decyduje
wybór
prawdopodobieństw
wylosowania
poszczególnych
perspektyw. Niech dla pierwszej loterii będzie to L1=[P1,P2,P3]
(p1,p2,p3)
a dla
drugiej: L2=[P1,P2,P3]
(q1,q2,q3)
. ZauwaŜmy, Ŝe L1>L2 czyli u(L1)>u(L2) ma
miejsce wtedy tylko wtedy, gdy
p
1-q1+(p2-q2)u
2
> 0
(1.war)
Zatem nie znając dokładnych wartości funkcji, z samego faktu
jedynie, Ŝe funkcja uŜyteczności istnieje wnioskujemy ponad wszelką
wątpliwość , Ŝe np. loteria [P1,P2,P3]
(0.4,0.2,0.4)
> [P1,P2,P3]
(0.2,0.5,0.3)
wtedy i
tylko wtedy, gdy [P1,P2,P3]
(0.5,0,0.5)
> [P1,P2,P3]
(0.3,0.3,0.4)
, gdyŜ dla obu tych
A.Z.
G
RZYBOWSKI
W
YKŁADY Z
T
EORII
G
IER I
D
ECYZJI
Strona
33
loterii warunek (1.war) ma postać identyczną. To ciekawe spostrzeŜenie,
ilustruje fakt, ze wiele moŜna się dowiedzieć o problemie decyzyjnym
jedynie na podstawie faktu, Ŝe funkcja uŜyteczności istnieje.
Ale przykład ma jeszcze jeden aspekt – behawioralny. Pokazuje jak
trudno moŜe być zidentyfikować perspektywy stojące przed decydentem.
RozwaŜmy dwie sytuacje praktyczne. W pierwszej z nich decydent ma do
wyboru (pierwsza perspektywa): dostać 5 milionów złotych od razu lub
(druga perspektywa) wziąć udział w losowaniu 10 milionów zł. , 5 milionów
zł lub niczego z prawdopodobieństwami odpowiednio: 0.1, 0.89, 0.01. Jaką
decyzję byś podjął?
W drugiej sytuacji moŜliwe są następujące nagrody (trzecia
perspektywa) 5 milionów zł lub nic z prawdopodobieństwami odpowiednio:
0.11, 0.89 lub (czwarta perspektywa) 10 milionów zł. lub nic z
prawdopodobieństwami 0.1, 0.9. Co teraz byś wybrał czytelniku?
Na czym polega istota i osobliwość tego przykładu?
OtóŜ zgodnie z poprzednimi rozwaŜaniami powinno być:
[10 mln, 5 mln, nic]
(0,1,0)
> [10 mln, 5 mln, nic]
(0.1,0.89,0.01)
wtedy i tylko wtedy , gdy
[10 mln, 5 mln, nic]
(0, 0.11,0.89)
> [10 mln, 5 mln, nic]
(0.1, 0, 0.9)
Badania behawioralne pokazują, Ŝe przytłaczająca większość ludzi wskazuje
przeciwne znaki preferencji w przypadku tych loterii! Dlaczego?
CzyŜby przeczyło to całej teorii, jak tą sprzeczność wyjaśnić?