Kwantowy oscylator harmoniczny
a) klasyczny oscylator harmoniczny
b) Hamiltonian I operator Hamiltona
c) rozwiązanie równania Schrodingera
Mass m
x
V(x)
x
0
2
2 2
0
Force
Angular frequency =
1
1
Potential energy ( )
2
2
F
kx
k
m
V x
kx
m
x
ω
ω
= −
=
=
Siła harmoniczna
Częstość drgań własnych
Energia potencjalna
F=−kx
0
=
k
m
V x=
1
2
kx
2
=
1
2
m
0
2
x
2
H =
1
2m
p
x
2
1
2
m
0
2
x
2
Hamiltonian
p
x
p
x
=−
i ℏ ∂
∂
x
H =
1
2m
p
x
2
1
2
m
0
2
x
2
H =−
ℏ
2
2m
d
2
dx
2
1
2
m
0
2
x
2
Operator Hamiltona
H =E
Można wykazać, że wartości własne E są nieujemne
i całkujemy
∫
−∞
∞
mnożymy przez
*
/
H =E
∫
−∞
∞
*
H dx=E
∫
−∞
∞
*
x
2
dx0
∫
−∞
∞
*
−
d
2
dx
2
dx ? 0
−
∫
−∞
∞
*
d
2
dx
2
dx= −
*
d
dx
∣
∞
−∞
∫
−∞
∞
d
*
dx
⋅
d
dx
dx=
∫
−∞
∞
∣
d
dx
∣
2
dx0
0
E0 ! ! !
x=
ℏ
m
0
=
E
ℏ
0
H =E
Wtedy równanie
przyjmie postać
1
2
−
d
2
d
2
2
=
b
+
=
1
2
−
d
d
b
=
1
2
d
d
b
+
b
1
2
=
1
2
−
d
2
d
2
2
b
+
b
1
2
=
b
+
b
=−
1
2
b
b
+
−
b
+
b
=
1
Można wykazać, że
czyli
[
b
, b
+
]=
1
b
+
b
1
2
=
Działamy operatorem
b
na
b
b
+
b
1
2
b
=
b
b
b
+
1
2
b
=
b
1
b
+
b
1
2
b
=
b
b
+
b
1
2
b
=−
1 b
Uzyskujemy nową funkcję własną dla wartości własnej o 1 mniejszej
b
Działając wielokrotnie operatorem
Otrzymujemy coraz mniejsze wartości własne.
Ponieważ są one nieujemne, musi istnieć najmniejsza wartość własna
Oznaczmy ją
0
=
E
0
ℏ
0
0
b
0
≡
0
bo inaczej uzyskalibyśmy wartości własne
ujemne
b
+
b
1
2
0
=
0
0
1
2
0
=
0
0
⇒
0
=
1
2
E
0
=
1
2
ℏ
0
Najmniejsza energia drgań
Działamy teraz operatorem
b
+
na
b
+
b
1
2
=
b
+
b
1
2
b
+
=
1 b
+
Otrzymujemy
Dozwolone wartości energii możemy numerować liczbami naturalnymi
Tak samo odpowiadające im funkcje własne
n
=
0
n=
1
2
n
E
n
=
1
2
n ℏ
0
równoodległe
b
b
+
Operatory “drabinkowe” kreacji i anihilacji
Równanie dla H
Funkcje własne
Można pokazać, że rozwiązanie
asymptotyczne powinno być postaci
=
H exp
−
2
2
asymp
=
exp
−
2
2
d
2
H
d
2
−
2
dH
d
−
1 H =0
Stany stacjonarne oscylatora harmonicznego dla n = 0,1,2,3,4
n
=
1
2
n
n !
e
−
y
2
2
H
n
y
Gdzie H
n
(y) są to wielomiany Hermite'a
Energia potencjalna
drgającej cząsteczki
V R=V R
e
dV
dR
dR
e
1
2
d
2
V
dR
2
dR
e
2
1
8
d
3
V
dR
3
dR
e
3
...
V R= 1
2
d
2
V
dR
2
dR
e
2
=
1
2
k⋅dR
e
2
d
2
V
dR
2
=
k
0
0
małe
Częstości drgań własnych cząsteczki wody